天津市滨海新区2024届高三第三次模拟考试数学试卷（解析版）

天津市滨海新区2024届高三第三次模拟考试

数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合"={123,4,5,6},4={1,3,4,6},一{4,5},则A%可=

A.{3,6}B.{1,3,6}

C.{3,4,6}D.{1,3,4,6}

K答案』B

K解析H'C/={1,2,3,4,5,6},B={4,5},：.^B={1,2,3,6},

又4={1,3,4,6},&B）={1,3,6}.

故选：B.

2.已知a,2eR,贝！是的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

k答案》D

K解析X若。，GR,a＞b,则0,a-Z?〉0,贝！J&Z?）20,

.•.“。＞6”是“后（。一匕）＞0”的不充分条件；

若日（a_b）＞0,y/a＞0＞a-b＞0,即

.•.“。＞6”是“6（1-1）＞0”的必要条件；

综上，“。＞6”是“G（a-》）＞0"必要不充分条件.

故选：D.

3.已知函数/（%）的图象如图所示，则函数/（力的K解析工式可能为（）

B./(x)=sin2x-lnX

X

C./(x)=e+eDf^=cos2x•In

XX

［答案XB

K解析工根据题意，由函数的图象，/(力的定义域为何％/。｝,其图象关于原点对

称，为奇函数；在(0,+“)上，函数图象与x轴存在交点.

由此分析选项：

对于A,e£,其定义域为｛*。0｝,

X

后"、e-'-e"，/、

有/(-X)=---------=----------=/(£),

—XX

/(X)为偶函数，不符合题意；

对于B,/(%)=sin2%」n'其定义域为｛Nxw。｝,

22

有/(-%)=sin(-2%)-In-=-sin2x-In=-/(%)，/(%)为奇函数，其图象

xx

关于原点对称；

当户也+］住eZ)时，sin2x=0J(x)=0,函数图象与x轴存在交点，符合题意；

对于C,〃x)=e'+e',当了>。时，>0,x>0,故/(x)>0恒成立，所以

X

该函数图象在(0,+8)上与X轴不存在交点，不符合题意；

21

对于D,/(%)=cos2%・ln'2，其定义域为｛Hxw。｝，

f+1，+］

W/(-%)=cos(-2x)-In———=cos2x-ln———=/(x),为偶函数,不符合题意.

XX

综上所述，只有选项B的函数满足，

故选：B.

1

4.已知。=21°比04,6=log2,c=-------—,则()

1*04

A.a>b>cB.b>a>C

C.c>a>bD.a>c>b

K答案1c

K解析Ha=2醺遴4=0.4,

Z?=log042<log04l=0,

0=log03l<log030.4<log030.3=1,则c〉l,故

故选：c.

5.己知数列｛%｝为各项不为零的等差数列，S,为数列｛%｝的前九项和，4S„=an-all+l,

则心的值为（）

A.4B.8C.12D.16

［答案XD

K解析X设等差数列｛%｝公差为2,♦••4S“=aja,+1,

.•.当〃=1时，4sl=4%=勾出，解得%=4,

**•+d=4,

当〃=2时,4s2=%•%n4（q+%）=4/n4（q+4）=4（q+2d）=d=2,

•**a1=2,

%=2+7x2=16.

故选：D.

6.下列说法中正确的是（）

A.一组数据3,4,2,8,1,5,8,6,9,9,的第60百分位数为6

B.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大

C.若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.91和0.89,则甲组数据的线性相关程度更强

D.在一个2x2列联表中，由计算得％2的值，则72的值越接近1,判断两个变量有关的把

握越大

［答案XC

K解析X对于A：将数据从小到大排列为：1,2,3,4,5,6,8,8,9,9,

zr.o

又10x60%=6,所以第60百分位数为——=7,故A错误；

2

对于B：将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；

对于C：具有线性相关关系的两个变量苍V的相关系数为小则N越接近与1,则X和y的

线性相关程度越强，

因为|-0.91］>|0.89|,所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；

对于D：在2x2列联表中，由计算得72的值，72的值越大，则两个变量有关的把握越

大，故D错误；

故选：c.

7.已知函数〃x）=sin12x—巳；关于该函数有下列四个说法：

（1）函数/（%）的图象关于点中心对称；

（2）函数/（x）的图象关于直线x=对称；

（3）函数“X）在区间（-兀,兀）内有4个零点；

（4）函数/（%）在区间一万,0上单调递增.

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

K答案1A

K解析X对于（1）,由/（2）=sin（2x2—5）=sin^=@wO，

1212632

所以|||,0）不是函数/（%）的图象的对称中心，所以（1）错误；

对于（2）中，由/（-3）=sin（-2x'—2）=sin（-型）w±l,

88612

所以X=-四不是函数/（尤）的图象的对称轴，所以（2）错误；

8

jrjrKTL

对于（3）中，令2%——=kit,keZ,可得x=---1---,keZ,

6122

jr711S1E

当左=0时，可得x=一；当左=1时，可得X=——；当％=—1时，可得x=——；

121212

11JT-

当左=—2时，可得x=—五，所以在（―兀,兀）内，函数/（%）有4个零点，所以（3）正

确；

对于（4）中，由xe--,0,可得2x—qe-■—,此时函数/（九）不是单调函

数，所以（4）错误.

故选：A.

8.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官

员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使

用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个

正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4,体积之比为

3:1,且该几何体的顶点在球。的表面上，则球。的表面积为（）

图1

A.36兀

（答案】A

k解析X・••正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3:1,且共一个底面,

正四棱柱和正四棱锥的高相等，

设正四棱柱和正四棱锥的高为h,该几何体外接球的半径为R,

易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱锥的外接球，

(27?)2=42+42+/I2

R=h+-

2

解得h=2,R=3,

.•.球0的表面积为4兀义32=36兀.

故选：A.

22

9.已知双曲线E:工-与=1（。〉0］〉0）的焦点在右，过点耳的直线与两条渐近线的交

ab"

点分别为M、N两点（点耳位于点M与点N之间），且MN=3F1N,又过点耳作

耳尸，于P（点。为坐标原点），且|ON|=|OP|,则双曲线£的离心率0=（）

2百瓜

B.73

（答案】C

(解析力由题意，可得如下示意图:

其中，|ON|=|OP|知：_OPFi=_ONF[,又耳尸，。加，MN=3RN,即耳NLON

MNFM

且KN=KP="="

1132

pp]

.•.□△MP4中，有sinNPME==^=7,得NPA/片=工

F{M26

7Tb7T

:.在RtMNO中,NMON=—,若丁=—%与工轴夹角为。，即2。=—

3a3

，tana=2=@,由即可得e=£=友.

a3a3

故选：C.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

10.若复数z满足(1—2i)z=|3+4i](i为虚数单位)，则z的虚部为.

1答案X2

k解析I由题意，复数满足(1—2i)z=|3+4i|,

55.(l+2i)

即z-_―=l+2i

l-2il-2i(l-2i)(l+2i)

所以复数Z的虚部为2.

11.在二项式%-展开式中X的系数为

35

K答案》—

16

K解析】展开式的通项公式为7；M

令7—丁=1,解得厂=4,则x的系数为C；

27

12.已知圆。的圆心与抛物线必=4丁的焦点关于直线,=无对称，直线3x—4y+2=0与

C相交于A3两点，且耳=6,则圆C的标准方程为.

（答案』（%-1）2+/=10

K解析X依题意可知抛物线的焦点为（0,1）,

圆C的圆心与抛物线x2=4y的焦点关于直线V=%对称，

圆心坐标为（1,0）,

设圆的半径为r,圆心到直线3x—4y+2=0的距离为d,

则圆C的标准方程为（x—+/=io.

13.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅

游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游

船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率

为,这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不

相同的概率.

K答案X士5

K解析工设事件A表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，

则尸（A）='=L；

I'6x636

设事件8表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件C表示“他们选择的景点

不相同”，

则P（3）=l—"=P（BC）=—+—,

\'6x6361,6x66x618

5

・巴㈤-厘-运10

(

,P(B)"n11

36

14.在平行四边形ABC。中，NA=60°,AD=2AB,点石在边。C上，满足

3

DE=；DC,则向量4E在向量A。上的投影向量为（请用表示）；若

AB=3,点、M,N分别为线段A5,上的动点，满足浏/+加=1,则£70.硒的

最小值为.

523

k答案》-AD—

48

K解析工作E尸，AD于E

VZDAB=60，且四边形ABCD为平行四边形，故ABCD,

则NFDE=NDAB=60，

那么D27=DEcos60=—DE,

2

又DE=LDC,：.DE=-DC=-AB,

333

23131

又AD=—A3,故AB=—AD,ADE=-x-AD=-AD,

32322

24

.AF即AP=』A。,

,*AD44

则4E在向量AD上的投影向量为3A。；

3

如图以A为原点建立平面直角坐标系,

作轴于°,则AQ=ADcos60=1,DQ=ADsin60=石，则。

DE=1DC=|AB=1,则可2,追）.

设M(x,O),则8M=3-x,

又BM+BN=\,:.BN=1—BM=x—2,

BM<1x>2,BNvlnx—2vl—xv3,2<x<3.

作7Vp_L尤轴于P,则5P=BNcos60=-x-l,AP=—x-l-\-3=—x+2,

222

NP=BNstn6a=#(x—2)=#x—5

(]A/3)

则N—x+2,—x-.

故EM=(x-2,-6),EN=-x,—x-2y/3,

(22J

i315

故EM•EN=—t-x——x+6=—x2——x+6,

2222

•••/(%)在12,外单调递减，在31单调递增,

“、/5112525女23

iV«in=/[-J=-xT-T+6=-)

23

即EM•EN的最小值为--.

8

15.已知函数/(x)={xe"2—'1x>一0'若函数g(x)=/(x)-1向2-司1(左eR)(e为自

—x~-2x,%<0.

然对数的底数)恰有4个零点，则上的取值范围是.

I1答案UI-co,-|jL，(e,+co)

K解析】当x»0时，/'(x)=eAi+xexT=(x+l)e*T>0,/(x)单调递增,

/(0)=0,作出/■(%)的图象:

令〃（无）=忖2-ex|,

函数g（x）=/（尤）-6-同恰有4个零点等价于函数/（X）与函数人（龙）的图象恰好有4

个交点.

①当左=0时，/z（x）=|ex|,如图，

显然，函数/（X）与函数网力的图象不可能有4个交点，不符题意;

②当上<0时，如图，

要使函数/（九）与函数人⑴的图象恰好有4个交点，则■!〉-2,则左*

③当%>0时，如图，

要使函数/（%）与函数入⑺的图象恰好有4个交点,

则y=xe*T与y=Ax?一门；在尤>o时有两个交点,

即疣1=府-ex有两个正实数根，

e+e

即左二有两个正实数根,

x

人z\eA-1+e

令矶x)=--------,%>0n，

x

则丁=左与丁=加(%)在x>o时图象有两个交点，

Mx)」l)「一e,

X

令〃(x)=(x-l)e'T-e,x>0,

则〃(x)=xe"T>0,在x>0时单调递增，

〃⑼=---e<0,〃⑴=-evO,〃(2)=0,

e

・••当0vxv2时，n(x)<0,mr(x)<0,加(力单调递减;

当x〉2时，n(x)>0,mr(x)>0,加⑴单调递增.

•1•^)min=m(2)=e>

y=加(%)如图：

k>e.

综上所述，G^-oo,-1^<j(e,+co).

三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤.

16.在一ABC中，内角A5c所对的边分别为"c,/?sinA=«cosl5-^j,。=2,

。二3.

(1)求角与的大小:

(2)求)的值;

(3)求sin(2A—5)的值.

b

解：(1)在ABC中，由正弦定理上,可得加inA=〃sin5,

sinAsinB

又由bsinA=〃cos[得asin6=acosI

即sinB=cosfB-^\,

—sinB=-^-cosB，tanB=^•

・•・sin5二—cosB+-sinB,

2222

又因为5£(0,兀)，可得3二三；

TT

(2)在；ABC中，由余弦定理及。=2,c=3,B,

有"二/+/一2〃ccosB=Q，故b=y/1；

(3)由bsinA=acos18一弓,可得sinA=

2

因为a<c,所以A<C,故A为锐角，故cosA=五'

4、ni

因此sin2A=2sinAcosA=-----,cos2A=2cos~9A—l=—.

77

所以，sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=xJ__J_x-3下.

v'727214

17.如图，在三棱台48C-AIiCi中，ZBAC=90°,AB=AC=4,44=43=2,侧棱

平面ABC,点。是棱CCi的中点.

(1)证明：BBL平面ABC；

(2)求点Bi到平面ABD的距离；

(3)求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值.

(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得A（0,0,0）,5（4,0,0）,C（0,4,0）,4（2,0,2）,^（0,2,2）,D（0,3,l），

uuuu

则34=（-2,0,2）,AC=（0,4,0）,ABX=（2,0,2）,

设平面A4c的一个法向量为r=（d,e,/）,

rAC=4e=0

则^r=（l,0,-l）,

r-ABx=2d+2f=Q

则BBj=-2r,所以BBX1平面ABQ

(2)由(1)知AB=(4,0,0),AD=(0,3,1),

设平面形£)的一个法向量为〃=(a,b,c),

n-AB=4〃=0

则〈,取〃=（0,1,—31

r-AD=3b+c=0

IIIIIAB1•n|

所以点Bi到平面ABQ的距离为|做'cos（做,n）|=1।1=

（3）由（1）知，3C=（T,4,0）,Cr>=（O,-l,l）,

设平面BCD的一个法向量为m=(%,y,z),

m-BC=-4x+4y=0z、

则,取加=（1,1,1）,

m-CD=-y+z=0

设平面BCD与平面ABD的夹角为0,

贝Ucos0=|cos（m,n）|=2屈

6义回—15'

22

18.已知椭圆M：A+[=1(a>/?>0)的离心率为:，A3分别为椭圆的左顶点

a2b22

和上顶点，耳为左焦点，且448的面积为且

2

（1）求椭圆加的标准方程；

（2）设椭圆加的右顶点为C,P是椭圆M上不与顶点重合的动点.

①若点F。,%）（%＞。），点。在椭圆M上且位于x轴下方，设△APC和△DPC的面

3

积分别为S1,邑.若S1—S2=],求点。的坐标；

②若直线A5与直线CF交于点Q,直线5P交X轴于点N,设直线QN和直线QC的斜

率为，求证：2/CQN-^QC为定值，并求出此定值.

c_1

2

解：（1）由题意得＜l，

a=222

又c1;^—廿，解得＜。=1，，椭圆M的标准方程为土+匕=1.

43

[b=^3

（2）①由⑴可得。（2,0）,点（为＞°）在椭圆M上，代入椭圆方程得

3

%=5,

133

连接PC,f-SLS极-S—5X4X]-S,c=,

3

・•・直线OD的方程为y=—耳九，联立＜

=1XD=~l(

2

解得《3或<3(舍去)，，。1,

%=一7yD=-I

②设直线QC的斜率为左，则直线QC的方程为：丁=左(1—2),

又3(0,百)，4(—2,0),直线的方程为丁=x+2))

y=k(x-2)x=

由＜、，解得＜

y=x+2)4限

’2(2左+向4辰］

2k-6，2左一/，

y=k(x-2)

由＜口匚1,得(3+4左2)尤2—16左?x+16左2—12=0,

[43

/=256/—4(3+4左2)(16左2—12)>0,

16尸-128女2—6

则2x=

p3+4左2'"Xp~3+4ie

2、

(8k-6-12k

则为=k[xp-2)=k-2

(3+4左23+442'

7

(8k2-6-12k}

:.P

、3+4左2'3+4左2,

依题意3、P不重合，8左2一6/0，即左w土走,

2

—12k6

3+4/27—4辰-12k-36

8k②-6—8/—6

3+4?

直线BP的方程为y=-4石/]⑵一3百%+百，

8k2-6

人n—4正左2—12左一[-c而汨2也一6)

令,=。，即-----------—X+V3解得--------L,

8k-62k+#)

46k

.,_2k-0_8辰+12_1Q

QN-2(2k+党20左一网—F/T一”彳，

2k-也2k+g

-'-2%-限='为定值,

19.已知等差数列｛%｝的前几项和为S〃，％=5，品=63,数列出｝是公比大于1的等

比数列，且仇+。2+。3=14,岫2b3=64.

(1)求｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)数列｛4｝,｛2｝的所有项按照“当”为奇数时，句放在4的前面；当“为偶数时，

4放在2的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛qj：a,%,a2,b2,

4，a3,%,…，求数列｛5｝的前7项和7；及前4〃+3项和Q+3；

(3)是否存在数列｛4｝,满足等式£(。,-2)4+1.=2"+1-〃-2成立，若存在，求出数

1=1

列｛4｝的通项公式，若不存在，请说明理由.

解：(1)设等差数列｛%｝的公差为d,%=5，品=63,

可知S9=9(®；-)_9%=63,所以为=7.

又名=5,所以数列｛4｝公差2=1,

所以a”=%+(〃-3)d=〃+2,

设等比数列出｝的公比为4,4+旭+4=14,4她=64.

所以伪+4q+4/=14,bfq3=64.得到仇q=4,联立得2g2—5q+2=0

解得4=2或q=g(舍去)，代入4"=4中，解得乙=2

得数列｛4｝的通项公式为2=2".

(2)由题意

Tj=[+4+%+么+4+/+。4=(卬+。2+4+"4)+(4+"2+4)=32,

a

(〃+3="1++%+%+4+。3+%+"4I"1+2n-\+a2H+b2n+匕2鹿+1+%〃+l+%〃+2

=(q+/+&+%+…+。2”-1+%"+为/1+%”+2)+(4+b2+b3+---+b2n_]+b2n+b2n+l)

(G+*2)(2〃+2)J(1-22用)

-21-2

=4n+1+2n2+9/7+5.

(3)由已知£(4-2)dn+i=2n+1-n-2,

i=l

/?+l

得dn+2d〃_i+3dzi_2+—nd1=2—n—2①

当2时，4_]+2d“_2+3d〃_3H---F(zi—1)4=2"—1②，

①②两式相减得：dn+dn_x+dn_24----(4=2〃—1,

当〃=1时，4=25—1—2=1也符合4+4_]+弘_2+…+4=2〃—1③

所以+d〃_i+4?—2-*---^4=2"-1,对于〃wN’都成立.

又当〃22时dn_x+d—+…+&=2^-1④成立

③④两式相减得：4=2〃T,经检验〃=1也符合

故存在d〃=2〃T.

n+InY

20.已知函数〃x)=-------,其中。为实数.

X

(1)当4=1时，

①求函数/(力的图象在％=e(e为自然对数的底数)处的切线方程；

②若对任意的尤GZ),均有加则称为"(X)在区间D上的下界函数，

〃(X)为机⑴在区间。上的上界函数.若g(x)=—且g(x)为“X)在[1,+8)上的

人IJ.

下界函数，求实数人的取值范围.

(2)当〃=0时，若G(x)=e",=(x),且1<石<々，设

K_G(xJ-G(%2),_H(%,)-//(x2)

〜一,A/2一•HE明：

玉-x2x1-x2

G(3)+G(%2)]

ky—k2<

2

1

⑴解：①当a=l时，〃x)=qX,所以r(x)：x，x-0+lnx)山％,

X2X2

所以函数y=f(x)的图像在％=e处的切线斜率左=r(e)=-4.

e

又因为/(e)=j,

i3

所以函数y=/(x)的图象在％=e处的切线方程为,=—=%+—,

ee

②因为函数y=g(x)为y=/(%)在[1,+。。)上的下界函数，

所以g(x)</(x),即

「1,\山z,„(l+lnx)(x+l)xlnx+lnx+1.

因为xe|l,+oo),所以x+l>0,故左-------△-------L=-------------+1.

xx

../xlnx+lnx+1,“.,>.x-lnx

令/z(x)=------------+1,x>l,贝”z(zx)=--—

XX

1X—\

设v(x)=x—lnx,%>1,则M(x)=l——=----,

XX

所以当时，M(无)20,从而函数y=v(x)在［l,+8)上单调递增，

所以⑴=1,

故〃(X)>0在［1,+8)上恒成立，所以函数y=〃(%)在［1,+8)上单调递增，

从而人(x)2人⑴=2.

因为g(X)</(X)在［1,+<»)上恒成立，所以左<h(x)在［1,+8)上恒成立,

故上W