人教版八年级数学上册重难考点专题07轴对称单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)

专题07轴对称单元过关（培优版）考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023·浙江·八年级假期作业）下列是正方体的四种平面展开图，其中展开图是轴对称图形的是（

）A．B．C． D．2．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）下图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（）A． B． C．3．（2023秋·浙江杭州·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD=（

）A．45° B．50° C．40° D．55°4．（2023春·七年级单元测试）将长方形纸片ABCD沿BC所在直线翻折后展平（如图①）：将三角形ABC翻折，使AB边落在BC上与EB重合，折痕为BG；再将三角形BCD翻折，使BD边落在BC上与BF重合，折痕为BH（如图②），此时∠GBH的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．无法确定5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若等腰三角形的两条边长分别为6cm和13cm，则它的周长为（）A．26 B．32 C．26或32 D．19或266．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）下列说法：①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm8．（2023·湖北黄石·校联考一模）在△ABC中，点D是AB上一点，△ADC与△BDC都是等腰三角形且底边分别为AC，BC，则∠ACB的度数为(

)A．60° B．72° C．90° D．120°9．（2023秋·安徽黄山·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.经过(A．2 B．3 C．2或3 D．无法确定10．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE=BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC:S△PAB=AC:AB；③BPA．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）已知A−4,3，则点A关于x轴的对称点A'的坐标是12．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为．13．（2023秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，BC＝5cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长长度为．14．（2023春·河南郑州·七年级校考期中）如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有个．15．（2023秋·福建宁德·八年级校考期中）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的值为．16．（2022秋·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．评卷人得分三、解答题17．（2023秋·广东江门·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A（2）在x轴上找到一点P，使得PB+PC最小．18．（2023秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(−1,−2),B(−2,−4)．（1）画出线段AB关于x轴对称的对应线段A1B1，再画出线段A1B（2）点A2（3）若此平面直角坐标系中有一点Ma,b，先找出点M关于x轴对称的对应点M1，再找出点M1关于y轴对称的对应点M19．（2023秋·广东·八年级广东实验中学校考期中）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．20．（2022·湖北襄阳·统考一模）图，在△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD=DC，点E是AC的中点．(1)尺规作图：过点B作BF⊥AC交直线AC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若AC=6，求BF的长．21．（2022秋·山东滨州·八年级阳信县实验中学校联考阶段练习）如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为(1)请直接写出AD长．(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？22．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E是AB上一点，且AE=BC，BE=AD，连接DE、CE．(1)∠1与∠2相等吗？为什么？(2)点F是线段CD的中点，连接AF、BF、EF．①试说明△FDE≌△FEC；②试判断△ADF与△BEF是否全等，并说明理由．23．（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．(1)如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；(2)如图2，若点D不是AC的中点，求证：AD＝CE；(3)如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．24．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED∠B=∠E，边AE交射线BC于点F（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE//AC（2）若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值．②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．25．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是（只填写序号）．①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．

专题07轴对称单元过关（培优版）考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023·浙江·八年级假期作业）下列是正方体的四种平面展开图，其中展开图是轴对称图形的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义即可判断．【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重叠，故都不符合题意；如图所示，D选项中的图形能够沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重叠，故符合题意；故选：D．

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重叠，那么该图形就是轴对称图形．2．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）下图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（）A． B． C．【答案】C【分析】根据轴对称图形的性质，即可进行解答．【详解】解：根据题意得：A、B不是轴对称图形，C是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形．3．（2023秋·浙江杭州·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD=（

）A．45° B．50° C．40° D．55°【答案】A【分析】根据折叠可知∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠EFD，再又三角形的内角和定理即可计算出∠BFD的度数，即可求∠EFD的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵△DEF是△AEF折叠而成，∴∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠EFD又∵ED⊥BC∴∠EDC=90°，∴∠BDF=180°-90°-60°=30°∴在△BDF中，∠BFD=180°-∠B-∠BDF=180°-60°-30°=90°∴∠AFE=∠EFD=180°−90°2故答案为：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟知等边三角形与折叠的性质，并灵活运用三角形内角和定理进行计算．4．（2023春·七年级单元测试）将长方形纸片ABCD沿BC所在直线翻折后展平（如图①）：将三角形ABC翻折，使AB边落在BC上与EB重合，折痕为BG；再将三角形BCD翻折，使BD边落在BC上与BF重合，折痕为BH（如图②），此时∠GBH的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．无法确定【答案】B【分析】由折叠得∠ABG=∠GBC，∠DBH=∠HBC，即可得到∠ABG+∠GBC+∠DBH+∠HBC=90°，求出∠GBC+∠HBC=45°，由此得到答案．【详解】解：由折叠得∠ABG=∠GBC，∠DBH=∠HBC，∵长方形纸片ABCD中，∠ABD=90°，∴∠ABG+∠GBC+∠DBH+∠HBC=90°，即2∠GBC+2∠HBC=90°，∴∠GBC+∠HBC=45°，∴∠GBH=45°，故选：B．【点睛】此题考查了翻折的性质：翻折前后对应的角度相等，正确理解翻折的性质是解题的关键．5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若等腰三角形的两条边长分别为6cm和13cm，则它的周长为（）A．26 B．32 C．26或32 D．19或26【答案】B【分析】分13cm为底边长和6cm为底边长两种情况，结合三角形的三边关系解答即可．【详解】解：当13cm为底边长时，则两条腰长为6cm，但6+6＜13，不构成三角形，舍去；当6cm为底边长时，则两条腰长为13cm，满足6+13＞13，构成三角形，∴该等腰三角形的周长为6+13+13=32cm，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论思想的运用是解答的关键．6．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）下列说法：①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据三角形的高的含义可判断A，根据全等三角形的判定方法可判断B，根据线段的垂直平分线的性质可判断C，根据等腰三角形的性质再分两种情况画图进行分析可判断D，从而可得答案．【详解】解：三角形三条高所在的直线相交于一点，故①不符合题意；两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等；故②不符合题意；到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；故③不符合题意；如图，当等腰△ABC为锐角三角形时，AB=AC，BD⊥AC，AM⊥BC，∴∠BAM=∠CAM=1∵∠AND=∠BNM，∴∠CBD=∠MAC=1当等腰△ABC为钝角三角形时，AB=AC，BD⊥AC，AM⊥BC，∴∠BAM=∠CAM=12∠BAC∴∠CBD=∠CAM=1∴等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故④符合题意；故选B．【点睛】本题考查的是三角形的高的性质，全等三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．7．（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm【答案】A【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，DE是AC的垂直平分线，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=12故选A．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．（2023·湖北黄石·校联考一模）在△ABC中，点D是AB上一点，△ADC与△BDC都是等腰三角形且底边分别为AC，BC，则∠ACB的度数为(

)A．60° B．72° C．90° D．120°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠ACB=180°，再根据等腰三角形的性质可得∠A+∠B=∠ACB，则可求∠ACB的度数．【详解】解：如图：∵△ADC与△BDC是等腰三角形且底边分别为AC、BC，∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，∴∠A+∠B=∠ACB，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=90°．故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到∠A+∠B=∠ACB是解题的关键．9．（2023秋·安徽黄山·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.经过(A．2 B．3 C．2或3 D．无法确定【答案】A【分析】经过2秒后，PB=4cm，PC=6cm，CQ=4cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．【详解】解：△BPD≌△CQP,理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，则CP=BC-BP=10-4=6cm，CQ=AC-AQ=12-8=4cm．∵D是AB的中点，∴BD=12AB=1∴BP=CQ，BD=CP，又∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．在△BPD和△CQP中，BP=CQ，∠B=∠C，BD=CP，∴△BPD≌△CQP（SAS）．故选A.【点睛】本题考查了全等三角形全等的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE=BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC:S△PAB=AC:AB；③BPA．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】D【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得FC=FP，根据平分与平行条件可得GA=GP，则可得出GF+FC=GA．【详解】解：∠ACB=∠CBE−∠CAB=2∠PBE−2∠PAB=2∠PBE−∠PAB故①正确；∵AP平分∠BAC，∴P到AC，AB的距离相等，∴S△PAC故②正确；∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE(三线合一)，故③正确；∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P到AE，AD的距离相等，点P到AE，BC的距离相等，∴点P到BC，AD的距离相等，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP=∠PCB，又∵PG∥AD，∴∠CPF=∠DCP，∴∠PCB=∠CPF，即∠PCF=∠CPF，故④正确；由④得：FC=FP，∴GF+FC=GF+FP=GP，∵AP平分∠BAC，PG∥AD，∴∠GAP=∠CAP=∠GPA，∴GA=GP，∴GF+FC=GA，故⑤正确；综上可知，①②③④⑤正确．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）已知A−4,3，则点A关于x轴的对称点A'的坐标是【答案】(−4【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标是【详解】解：∵A∴点A关于x轴的对称点为A'故答案为：(−4，【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，熟练掌握其性质是解题的关键．12．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为．【答案】90°/90度【分析】根据折叠的性质即可得到结论．【详解】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，∴∠B=∠CED，∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，∴∠A=∠DEF，∴∠CEF=∠DEF+∠CED=∠A+∠B=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折的性质．13．（2023秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，BC＝5cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长长度为．【答案】9cm【分析】根据翻折的性质可知CD＝DE，BC＝BE，于是可以得到AD＋DE的长和AE的长，从而可以得到△ADE的周长．【详解】解：由题意可得，BC＝BE，CD＝DE，∵AB＝8cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∴AD＋DE＝AD＋CD＝AC＝6cm，AE＝AB－BE＝AB－BC＝8－5＝3cm，∴AD＋DE＋AE＝9cm，即△AED的周长为9cm，故选：C．【点睛】本题考查翻折变换和三角形的周长，解答本题的关键是利用等量代换的思想，求三角形的周长．14．（2023春·河南郑州·七年级校考期中）如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有个．【答案】4【分析】根据轴对称图形的概念、画出图形解答即可．【详解】如图所示，有4个小正方形使之成为轴对称图形：

故答案为4【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．15．（2023秋·福建宁德·八年级校考期中）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的值为．【答案】–1【分析】根据关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而求出即可．【详解】解：∵P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1=2，b﹣1=﹣5，解得：a=3，b=﹣4，∴（a+b）2015=（﹣1）2015=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，得出a，b的值是解题关键．16．（2022秋·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．【答案】4【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可求出△BPE周长的最小值．【详解】解：连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE=4，∠CAD=∠EAD，∴BE=1，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=3+1=4．故答案为：4．评卷人得分三、解答题17．（2023秋·广东江门·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A（2）在x轴上找到一点P，使得PB+PC最小．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据轴对称的性质先描出三个顶点，依次连接即可；（2）过x轴作B点的对称点B''，连接B''C与x轴的交点即为P点．【详解】（1）△A（2）点P就是所求作的点．【点睛】本题考查坐标与图形变化—轴对称．正确得出对应点位置是解题关键．18．（2023秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(−1,−2),B(−2,−4)．（1）画出线段AB关于x轴对称的对应线段A1B1，再画出线段A1B（2）点A2（3）若此平面直角坐标系中有一点Ma,b，先找出点M关于x轴对称的对应点M1，再找出点M1关于y轴对称的对应点M【答案】（1）详见解析；（2）(1,2)；（3）(−a,−b)【分析】（1）根据轴对称图形的作图方法画对称线段即可；（2）根据图像可得点A2（3）根据关于x轴对称的特点可得点M1坐标，再根据关于y轴对称的特点可得点M【详解】解：（1）如图，线段A1B1（2）由图得A（3）由点M关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得对应点M1(a,−b)，由M1关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数可得其对应点M所以点M2的坐标为(−a,−b)【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称，熟练掌握关于x轴和y轴的对称特点是解题的关键.19．（2023秋·广东·八年级广东实验中学校考期中）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．【答案】（1）见解析；（2）16cm；（3）40°【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，加上DA＝DC，利用等线段代换得到BC＝△ADF的周长；（3）先根据三角形内角和定理计算出∠B+∠C＝70°，再利用等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，所以∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C），即可求解．【详解】解：（1）如图，GF为所作；（2）∵FG垂直平分AB，∴FA＝FB，∵DA＝DC，∴BC＝BF+FD+CD＝FA+FD+DA＝△ADF的周长＝16cm；（3）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵FA＝FB，DA＝DC，∴∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠FAB﹣∠DAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线性质定理，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．20．（2022·湖北襄阳·统考一模）图，在△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD=DC，点E是AC的中点．(1)尺规作图：过点B作BF⊥AC交直线AC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若AC=6，求BF的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）按照垂线的作法作图即可；（2）根据等腰三角形的三线合一可知DE⊥AC，易证△FBA≌△EAD，即可求解．（1）解：BF即为所求(作图如图所示)，（2）解：∵AD＝DC，点E是AC的中点，∴DE⊥AC，AE＝12∴∠DEA＝90°．∵BF⊥AC，∴∠BFA＝90°．∴∠FBA＋∠BAF＝90°．∵∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°．∴∠FBA＝∠DAE．又∵AB＝AD，∴△FBA≌△EAD．∴BF＝AE＝3．【点睛】本题考查了基本作图—作垂线，等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．21．（2022秋·山东滨州·八年级阳信县实验中学校联考阶段练习）如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为(1)请直接写出AD长．(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？【答案】(1)4−0.5x(2)运动83秒后，△ADE【分析】（1）根据题意可得CD=0.5xcm，从而得到AD=AC−CD=（2）根据等边三角形的性质，可得∠ADE=90°，设x秒时，△ADE为直角三角形，可得∠AED=30°，AE=4+0.5x，从而得到AE=2AD，可得到4+0.5x=24−0.5x【详解】（1）解：由题意得，CD=0.5xcm则AD=AC−CD=4−0.5x（2）解：∵△ABC是等边三角形；∴AB=BC=AC=4 cm，∠A=∠ABC=∠C=60°设x秒时，△ADE为直角三角形，∴∠ADE=90°，BE=0.5x，AD=4−0.5x，∴∠AED=30°，AE=4+0.5x，∴AE=2AD，∴4+0.5x=24−0.5x∴x=8答：运动83秒后，△ADE【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质的运用是解题的关键．22．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E是AB上一点，且AE=BC，BE=AD，连接DE、CE．(1)∠1与∠2相等吗？为什么？(2)点F是线段CD的中点，连接AF、BF、EF．①试说明△FDE≌△FEC；②试判断△ADF与△BEF是否全等，并说明理由．【答案】(1)相等，理由见解析(2)①见解析；②全等，理由见解析【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△BEC，得DE=CE，再根据等边对等角即可证明结论；（2）①由（1）得△ADE≌△BEC，则∠ADE=∠BEC，可说明∠CED=90°，再利用等腰三角形的性质可证明结论；②由等腰直角三角形的性质得DF=EF，再利用SAS即可证明△ADF≌△BEF．（1）相等，理由如下：在△ADE与△BEC中，∵AD=BE，∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△ADE≌△BECSAS∴DE=CE，∴△CED是等腰三角形，∴∠1=∠2；（2）①证明：由（1）得△ADE≌△BEC，∴∠ADE=∠BEC，∵∠BEC+∠AED=90°，∴∠CED=90°，∴∠1=∠2=45°，∵CE=DE，点F为CD的中点，∴EF⊥CD，EF平分∠DEC，∴∠DFE=∠CFE=90°，∠DEF=∠CEF=45°，在△FDE与△FEC中，∵∠EFD=∠CFE=90°，∠FDE=∠FEC=45°，DE=CE，∴△FDE≌△FECAAS②解：△ADF≌△BEF，理由如下：∵△CDE是等腰直角三角形，F为CD的中点，∴DF=EF，∵∠ADE=∠BEC，∠FDE=∠FEC，∴∠ADE+∠FDE=∠BEC+∠FEC，∴∠ADF=∠BEF，在△ADF与△BEF中，∵AD=BE，∠ADF=∠BEF，DF=EF，∴△ADF≌△BEFSAS【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．(1)如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；(2)如图2，若点D不是AC的中点，求证：AD＝CE；(3)如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AD=CE，见解析【分析】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等边三角形性质求出AD＝DC，即可得出答案；（2）AD＝CE这一结论仍成立，过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF＝CE，证△ADF是等边三角形，推出AD＝DF，即可得出答案；（3）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可得到AD＝CE．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，∵D为AC中点，∴∠DBC=30°，AD=DC，∵BD=DE，∴∠E=∠DBC=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=30°=∠E，∴CD=CE，∵AD=DC，∴AD=CE；(2)证明：如图2，过D作DF//BC，交AB于则∠ADF=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，∴∠BFD=∠DCE=180°−60°=120°，∵DF//∴∠FDB=∠DBE=∠E，在△BFD和△DCE中{∠FDB=∠E∴△BFD≌△DCE(AAS∴CE=DF=AD，即AD=CE．(3)解：AD=CE．证明：如图3，过点D作DP//BC，交AB的延长线于点∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，∵DB=DE，∴∠DBC=∠DEC，∵DP//∴∠PDB=∠CBD，∴∠PDB=∠DEC，在△BPD和△DCE中，{∴△BPD≌△DCE(AAS∴PD=CE，∴AD=CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质．24．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED∠B=∠E，边AE交射线BC于点F（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE//AC（2）若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值．②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①15，②存在，x=22.5或45【分析】（1）由∠BAC=90°，根据同角的余角相等，可得∠CAF=∠B，由折叠的性质可知∠B=∠E，等量代换，从而得证；（2）①根据翻折，和已知条件，求得∠BAF=30°，从而求得x的值②由①的结论可求得∠FDE=120−2x°，∠DFE=2x+30°，分情形讨论，当∠EDF=∠DFE时，当∠DFE=∠E=30°，当∠EDF=∠E=30°，解方程即可求得【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC//DE；（2）①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=30°，由翻折可知，x=∠BAD=1②∠BAD=x°，则∠ADB=180°−∠B−∠BAD=150°−x∠ADF=∠B+∠