2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题-(学生版+解析)

2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题原题171．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．变式题1基础2．在①；②.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积，，___________，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.变式题2基础3．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，求的值变式题3巩固4．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若最大边的边长为，且，求最小边长.变式题4巩固5．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，点是边上的一点，且，，，求的值.变式题5巩固6．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，是的平分线交于点，若，求的最小值.变式题6巩固7．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，并解答.是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，______？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.原题188．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.变式题1基础9．在递增的等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.变式题2基础10．在等比数列中，，．(1)求首项和公比；(2)求数列的前8项和．变式题3巩固11．设是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为.变式题4巩固12．已知等差数列{an}满足2a2+a5=0，a7=2a4-2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和.变式题5巩固13．已知数列满足，，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记在区间上，的项数为，求数列的前m项和.变式题6提升14．在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项的积为，且，是数列的前项和，且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.原题1915．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，变式题1基础16．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元）的户数频率分布直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：人平均月收入赞成户数4912631(1)若从人平均月收入在的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令的概率；(2)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计附：临界值表0.10.050.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式：，.变式题2基础17．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，估计的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量箱产量旧养殖法新养殖法附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．变式题3巩固18．手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户区间频数2040805010男性用户区间频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考公式：，其中0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828变式题4巩固19．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；(3)为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过500090月薪不超过5000140合计300变式题5巩固20．北京某高中举办了一次“喜迎国庆”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．(1)分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(2)若称成绩在分以上的学生知识渊博，试估计该校高一、高二两个年级学生的知识渊博率；(3)完成下面列联表，并回答是否有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．成绩低于分人数成绩不低于分人数合计高一年级高二年级合计变式题6提升21．2020年一位返乡创业青年小李在其家乡开了一家蛋糕店，由于业务不熟练，误将昨天制作的2个蛋糕和今天制作的3个蛋糕用相同的包装盒子包好后混放在一起给了客户，小李追回来后，现需要拆开将其区分，直到找出2个昨天制作的蛋糕或者找出3个今天制作的蛋糕为止．(1)若小李随机拆开两个盒子，求拆开后恰好是今天制作的蛋糕的概率；(2)为提高蛋糕店的服务水平，小李随机调查了光顾过该店的50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该蛋糕店的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表．①估计男顾客对该蛋糕店的满意的概率以及顾客对该蛋糕店的满意的概率；②能否有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异？．满意不满意总计男顾客401050女顾客302050总计7030100附：．0.050.010.0013.8416.63510.828原题2022．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．（1）证明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．变式题1基础23．如图所示几何体中，四边形与均为菱形，，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．变式题2基础24．如图，在四棱锥中，，，，平面，M为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.变式题3巩固25．某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点，，，汇聚为一点，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.(1)证明：底面；(2)设点为上的点，且二面角的正弦值为，试求与平面所成角的正弦值.变式题4巩固26．如图所示，在三棱锥中，，，，，.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.变式题5巩固27．如图，已知，，，平面平面，，，为中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．变式题6提升28．如图，在四棱锥中，，，，，，，．(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？原题2129．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.变式题1基础30．已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值.变式题2基础31．已知椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点和一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且AB的中点到原点O的距离为1，求面积的最大值.变式题3巩固32．已知椭圆的右顶点为A，上､下顶点分别为B，D，直线AB的斜率为，坐标原点到直线AB的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线，且交椭圆C于M，N两点，当△DMN的面积最大时，求直线l的方程.变式题4巩固33．已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线交于两点，(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点且与椭圆相交于，两点，求面积最大值及此时直线的斜率.变式题5巩固34．顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.变式题6提升35．已知为圆上的一个动点，过作轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线：与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值.原题2236．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．变式题1基础37．已知函数，其中.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.变式题2巩固38．已知函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求的取值范围.变式题3巩固39．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．变式题4巩固40．已知函数的图象在点处的切线与直线平行（e是自然对数的底数）.(1)求函数的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.变式题5提升41．已知函数，.(1)判断是否存在过原点的直线l与，的图像都相切.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(2)若，且在上恒成立，求实数a的取值范围.变式题6提升42．已知，.(1)求在处的切线方程；(2)若不等式对任意成立，求的最大整数解.2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题原题171．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．变式题1基础2．在①；②.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积，，___________，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.变式题2基础3．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，求的值变式题3巩固4．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若最大边的边长为，且，求最小边长.变式题4巩固5．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，点是边上的一点，且，，，求的值.变式题5巩固6．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，是的平分线交于点，若，求的最小值.变式题6巩固7．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，并解答.是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，______？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.原题188．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.变式题1基础9．在递增的等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.变式题2基础10．在等比数列中，，．(1)求首项和公比；(2)求数列的前8项和．变式题3巩固11．设是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为.变式题4巩固12．已知等差数列{an}满足2a2+a5=0，a7=2a4-2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和.变式题5巩固13．已知数列满足，，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记在区间上，的项数为，求数列的前m项和.变式题6提升14．在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项的积为，且，是数列的前项和，且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.原题1915．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，变式题1基础16．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元）的户数频率分布直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：人平均月收入赞成户数4912631(1)若从人平均月收入在的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令的概率；(2)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计附：临界值表0.10.050.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式：，.变式题2基础17．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，估计的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量箱产量旧养殖法新养殖法附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．变式题3巩固18．手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户区间频数2040805010男性用户区间频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考公式：，其中0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828变式题4巩固19．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；(3)为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过500090月薪不超过5000140合计300变式题5巩固20．北京某高中举办了一次“喜迎国庆”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．(1)分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(2)若称成绩在分以上的学生知识渊博，试估计该校高一、高二两个年级学生的知识渊博率；(3)完成下面列联表，并回答是否有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．成绩低于分人数成绩不低于分人数合计高一年级高二年级合计变式题6提升21．2020年一位返乡创业青年小李在其家乡开了一家蛋糕店，由于业务不熟练，误将昨天制作的2个蛋糕和今天制作的3个蛋糕用相同的包装盒子包好后混放在一起给了客户，小李追回来后，现需要拆开将其区分，直到找出2个昨天制作的蛋糕或者找出3个今天制作的蛋糕为止．(1)若小李随机拆开两个盒子，求拆开后恰好是今天制作的蛋糕的概率；(2)为提高蛋糕店的服务水平，小李随机调查了光顾过该店的50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该蛋糕店的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表．①估计男顾客对该蛋糕店的满意的概率以及顾客对该蛋糕店的满意的概率；②能否有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异？．满意不满意总计男顾客401050女顾客302050总计7030100附：．0.050.010.0013.8416.63510.828原题2022．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．（1）证明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．变式题1基础23．如图所示几何体中，四边形与均为菱形，，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．变式题2基础24．如图，在四棱锥中，，，，平面，M为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.变式题3巩固25．某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点，，，汇聚为一点，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.(1)证明：底面；(2)设点为上的点，且二面角的正弦值为，试求与平面所成角的正弦值.变式题4巩固26．如图所示，在三棱锥中，，，，，.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.变式题5巩固27．如图，已知，，，平面平面，，，为中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．变式题6提升28．如图，在四棱锥中，，，，，，，．(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？原题2129．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.变式题1基础30．已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值.变式题2基础31．已知椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点和一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且AB的中点到原点O的距离为1，求面积的最大值.变式题3巩固32．已知椭圆的右顶点为A，上､下顶点分别为B，D，直线AB的斜率为，坐标原点到直线AB的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线，且交椭圆C于M，N两点，当△DMN的面积最大时，求直线l的方程.变式题4巩固33．已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线交于两点，(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点且与椭圆相交于，两点，求面积最大值及此时直线的斜率.变式题5巩固34．顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.变式题6提升35．已知为圆上的一个动点，过作轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线：与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值.原题2236．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．变式题1基础37．已知函数，其中.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.变式题2巩固38．已知函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求的取值范围.变式题3巩固39．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．变式题4巩固40．已知函数的图象在点处的切线与直线平行（e是自然对数的底数）.(1)求函数的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.变式题5提升41．已知函数，.(1)判断是否存在过原点的直线l与，的图像都相切.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(2)若，且在上恒成立，求实数a的取值范围.变式题6提升42．已知，.(1)求在处的切线方程；(2)若不等式对任意成立，求的最大整数解.参考答案：1．详见解析【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理由可得：，不妨设，则：，即.若选择条件①：据此可得：，，此时.若选择条件②：据此可得：，则：，此时：，则：.若选择条件③：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若选择条件①：由，得，得．解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．若选择条件②：由，得，解得，则．由，得，得．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．若选择条件③：由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．2．.【分析】选①，利用三角形射影定理求出角A，再借助三角形面积定理、余弦定理即可计算得解；选②，利用正弦定理边化角并求出角A，再借助三角形面积定理、余弦定理即可计算得解.【详解】选①：在中，由射影定理及得：，解得，因，则，由得：，解得，由余弦定理得：，解得，所以.选②：在中，由正弦定理及得：，因，即，则有，而，，于是得，则，由得：，解得，由余弦定理得：，解得，所以.3．答案见解析【分析】根据题意和三角函数的同角关系可得；选择对应的条件，根据余弦定理、正弦定理和三角形的面积公式化简，计算即可得出b的值.【详解】由题意知，，得，则，又，所以，所以；选①，，由正弦定理得，即，因为，故，又，所以，由正弦定理，得，又，所以；选②，，由正弦定理得，，有，得，又，所以，由正弦定理，得，又，所以；选③，，得，又，所以，得，又，所以，由正弦定理，得，又，所以.4．1【分析】若选①：根据正弦定理得，再由正弦和角公式求得，再由余弦定理和正弦定理可求得，继而求得最小边长.若选②：根据正弦定理得，再由余弦定理得，再由余弦定理和正弦定理可求得，继而求得最小边长.若选③：由三角形的面积公式和向量的数量积运算得，继而有，再由余弦定理和正弦定理可求得，继而求得最小边长.【详解】解：若选①：根据正弦定理由，得，即，又因为，，所以，又，所以，所以，即，又因为最大边的边长为，且，所以，所以，，故最小边长.若选②：根据正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，即，又因为最大边的边长为，且，所以，所以，，故最小边长.若选③：由得，即，所以，又，所以，所以，即即，又因为最大边的边长为，且，所以，所以，，故最小边长.5．答案见解析【分析】根据题意和余弦定理化简可得；选择对应的条件，根据余弦定理、正弦定理和三角形的面积公式化简，计算即可得出a的值.【详解】由题意知，，所以，由余弦定理得，，又，，得，整理得.选①，，由正弦定理得，即，因为，故，又，所以，由余弦定理，得，整理得，解得或(舍)，所以；选②，，由正弦定理得，，有，得，又，所以，由余弦定理，得，整理得，解得或(舍)，所以；选③，，得，又，所以，得，又，所以，由余弦定理，得，整理得，解得或(舍)，所以.6．9【分析】若选①：根据正弦定理得，再由正弦和角公式求得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；若选②：根据正弦定理得，再由余弦定理得，又，所以，，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；若选③：由三角形的面积公式和向量的数量积运算得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值.【详解】解：若选①：根据正弦定理由，得，即，又因为，，所以，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，在中，，所以，，在中，，所以，所以，，所以，整理得，即，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值9；若选②：根据正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，在中，，所以，，在中，，所以，所以，，所以，整理得，即，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值9；若选③：由得，即，所以，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，在中，，所以，，在中，，所以，所以，，所以，整理得，即，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值9；7．答案见解析【分析】分析条件可得出.选①：求得，利用余弦定理求得、的值，结合勾股定理判断可得出结论；选②：求得，利用余弦定理求得的值，进一步可求得的值，判断的形状可得出结论；选③：利用正弦定理可得出，，利用三角形三边关系判断可出结论.【详解】因为，，所以，由正弦定理可得，又，所以.假设存在.方案一：选条件①.因为，所以，则，即，解得，所以，

所以，所以，所以此时存在，且为直角三角形，.方案二：选条件②.因为，所以，可得，又，所以，解得.

所以，此时存在，且为等边三角形，.方案三：选条件③.由，可得，，则，所以，所以，则.因为，故此时不存在.8．（1）；（2）【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.9．（1）；（2）.【分析】(1)由题意可得数列的公比与首项，进而可得出通项公式.(2)由(1)得出，结合等比数列前n项求和公式法即可.【详解】（1）由题意可得，解得，，则，.故.（2）由（1）可得，则.故.10．(1)，；(2).【分析】（1）利用等比数列的定义及通项公式即求；（2）利用等比数列求和公式即得.(1)∵，∴，又即得，所以，．(2)．11．(1)；(2).【分析】(1)根据给定条件列出方程组，求出公差d和首项即可计算得解.(2)利用(1)的结论求出，再利用分组求和法求出数列前n项和.(1)设等差数列的公差为d，因，，则有，解得，于是得，所以数列的通项公式为.(2)由(1)得：，则所以数列的前n项和为.12．(1)；(2).【分析】（1）设的首项为，公差为，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设的首项为，公差为，由题意，可得解得..(2)解：由（1），可得.所以数列是一个以为首项，以为公比的等比数列，设数列的前项和为，则..13．(1)，；(2)前m项和为，.【分析】（1）由题设可知为等差数列，根据已知条件求基本量，进而写出通项公式.（2）由（1）求出区间项数，再应用分组求和及等比数列前n项和公式求的前m项和.(1)由题意知：为等差数列，设其公差为d，由，得，又，∴，则.(2)由题及（1）得，，∴.14．(1)，(2)【分析】（1）根据等比数列通项公式直接计算可得数列的通项公式，再利用退一相减法可得数列的通项公式；（2）代入可得的通项公式，再根据等比数列求和公式直接计算.(1)设等比数列的公比为，且，，解得，；又数列满足前项和，当时，，当时，，符合上式，所以；(2)由（1）得，所以.15．（1）；（2）答案见解析；（3）有.【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；（3）计算出，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计641680101020合计7426100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.16．(1)(2)列联表见解析，没有.【分析】（1）根据频率分布直方图，算出月收入在的住户数，并计算出赞成数与不赞成数，利用古典概率公式求得概率.（2）根据题意列出列联表，根据表中数据计算出，与6.635比较，来判断是否相关.（1）由直方图知，月收入在的住户共有户，其中有3户赞成，3户不赞成.设事件为“所抽取的两户中至少有一户赞成楼市限购令”，则由古典概型概率计算公式可知.（2）依题意可得，列联表如下：非高收入户高收入户总计赞成251035不赞成51015总计302050根据列联表中的数据可得，的观测值，所以没有的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.17．（1）0.62；（2）表格见解析，有.【分析】（1）根据直方图求相应频率，即可作为概率的估计值；（2）根据新旧养殖方法的直方图计算相关频率，进而得到相应的网箱个数，填写列联表，根据公式进行独立性检验即可得到结论.【详解】（1）旧养殖法的箱产量低于的频率为．因此，事件的概率估计值为0.62．（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量箱产量旧养殖法6238新养殖法3466．由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．18．（1）频率分布直方图答案见解析，女性用户评分的平均值为74.5，女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大；（2）有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关.【分析】（1）根据频率分布表示，求出女性和男性的评分在每一分数的频率，由此作出频率直方图和得出评分的波动情况；（2）根据公式求得，比较可得结论.【详解】解：（1）对于女性用户，评分在的频率为，评分在的频率为，评分在的频率为，评分在的频率为，评分在的频率为，对于男性用户，评分在的频率为，评分在的频率为，评分在的频率为，评分在的频率为，评分在的频率为，所以女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示：女性用户评分的平均值为74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大.（2）根据打分的频数分布表得列联表如下：评分良好用户非评分良好用户合计女14060200男180120300合计320180500，故有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关.19．(1)，平均数为.(2).(3)列联表见解析；有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可求得，结合频率分布直方图的平均数计算公式，即可解.（2）由频率分布直方图中的数据，得到休假天数6天以上的概率为，根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.（3）按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数，得出的列联表，根据公式求得的值，即可得到结论.(1)解：由频率分布直方图的性质，可得，解得，由频率分布直方图的平均数计算公式，可得.(2)由频率分布直方图中的数据，可得休假天数6天以上的概率为，以频率估计概率，从所有90后上班族中随机抽取4人，则随机变量，所以至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率为：.(3)解：由题意1000名中月休假不超过6天的人数为人，月休假超过6天（含6天）的人数为人，按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数为人，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数为人，月薪超过5000的人数为人，可得如图所示的的列联表：月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过50009070160月薪不超过50006080140合计150150300所以，所以有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．20．(1)高一平均为（分），高二平均为（分）；(2)高一为，高二为；(3)列联表见解析，有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异.【分析】（1）由每个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和可得平均数；（2）根据频率分布直方图求出成绩在分以上的频率即可求解；（3）根据频率分布直方图计算补全列联表，再计算的值与临界值比较即可判断.（1）高一年级参赛学生的平均成绩约为：（分），高二年级参赛学生的平均成绩约为：（分）．（2）高一年级参赛学生的知识渊博率约为，高二年级参赛学生的知识渊博率约为．故可估计该校高一年级学生的知识渊博率为0.12，高二年级学生的知识渊博率为0.32．（3）高一年级参赛学生成绩低于60分人数为，高于60分人数为人，高二年级参赛学生成绩低于60分人数为，高于60分人数为人，可得列联表如下：成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计高一年级8020100高二年级4060100合计12080200根据表中数据得，故有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．21．(1)(2)①男顾客满意的概率的估计值为0.8；顾客满意的概率的估计值为0.7；②有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异.【分析】(1)先利用列举法一一列举出基本事件，再找出符合条件的事件，最后利用古典概型求解.(2)根据频率与概率的关系即可求出相应的概率；求出的观测值，并与表格值对比判断.(1)记装有昨天制作的2个蛋糕的盒子为，，装有今天制作的3个蛋糕的盒子为，，，从中随机拆开两个盒子的结果有：，，，，，，，，，，共10个，它们等可能，拆开后恰好是今天制作的蛋糕的结果有：，，，共3个，所以所求的概率为.(2)①由调查数据，男顾客对该蛋糕店铺满意的频率为，因此男顾客对该蛋糕店满意的概率的估计值为0.8，顾客对该蛋糕店满意的频率为，因此顾客对该蛋糕店满意的概率的估计值为0.7；②的观测值为：，显然，所以有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异.22．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，因为QB=，所以有设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.23．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）设与相交于点，连结，通过证明和可得答案；（2）连结，可得两两垂直，以此建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量的夹角公式可得答案.(1)证明:设与相交于点，连结四边形是菱形，，且为中点，，，又，平面；(2)连结，四边形为菱形，且是等边三角形，是中点，，，平面,两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图，设，四边形为菱形，,是等边三角形，

.,,设平面的法向量

,则，取，得设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角的正弦值为24．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线与平面所成角的正弦值，并转化为余弦值.(1)连接，由题意知底面为直角梯形，因为M为中点，所以，故四边形为正方形，所以，又因为平面，所以，由于，故平面，而，所以，所以平面.(2)如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则有，不妨令，则，即，则，故直线与平面所成角的余弦值为.25．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据几何关系得，，进而折叠后有，，再根据判定定理即可证明；（2）以点为原点，为轴，过点作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系，进而利用坐标法求解即可.(1)证明：由菱形的边长为3，，可得：，即有同理，即有在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：，，.所以底面(2)解：如图，以点为原点，为轴，过点作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系.由第（1）问可得底面，可得：，.则为二面角的平面角，由题意可得：考虑，，可得利用正弦定理，代入数据可得：，所以点的坐标为，，，设面的法向量为，则有，即：.令，则有，则有：，所以与面所成角的正弦值为.26．(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由勾股定理证明，再结合已知条件即可证明；(2)作交于，又平面，∴以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.(1)∵，，，∴在中，由余弦定理得，∴，又，，∴，即，又，，∴平面；(2)作交于，又平面，∴以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，在△中，由正弦定理得，故，∴，即，∴，∴，，，又，0，，，，，，，，∴，，，，，，，，，设平面的法向量为，，，∴，令，∴，，∴，，，设直线与平面所成角为，∴，即直线与平面所成角的正弦值为.27．(1)证明见解析；(2)3.【分析】（1）取中点为，得到，，进一步得到，然后根据面面垂直得到平面，然后得到，，最后可得结果.（2）建立空间直角坐标系，得到以及平面的一个法向量，根据空间向量夹角公式计算即可.（1）设中点为，连，∵为中点，如图∴，又由题意，∴，且，∴四边形为平形四边形，∴∵∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面，∴，∴，又，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．（2）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，，，，，设平面的法向量，则，∴取，，，∴，设直线与平面所成角为，则，∴.28．(1)证明见解析(2)存在【分析】（1）利用勾股定理证得，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点，，求得平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，进而得解.(1)取中点为，连接，在中，，，，，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面(2)存在点F是的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于．以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设点，因为点F在线段上，设，，，设平面的法向量为，，则，令，则设直线CF与平面所成角为，，解得或（舍去），，此时点F是的中点，所以存在点F．29．（1）；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．30．(1)；(2).【分析】(1)由题得，的轨迹是以为焦点的椭圆，再借助椭圆的定义直接求出方程即可.(2)根据条件设出直线PQ的方程，联立直线和椭圆方程消元，结合韦达定理及基本不等式求解即可计算作答.(1)依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，则有，，因此，，于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，此时，焦距，短半轴长b有：，所以动圆圆心的轨迹的方程为：.(2)显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，由消去得：，则，，点关于轴的对称点，，，如图，显然与在3的两侧，即与同号，于是得，当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，所以面积的最大值.31．(1)(2)最大值为1【分析】（1）求得直线与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，1），结合题意得到，，，进而得到椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在的时候求得三角形面积为，当直线斜率存在时，设直线AB的方程为，，，联立直线和椭圆方程，AB的中点为，化简得到，原点到直线AB的距离，再由弦长公式得到，利用不等式可得到最值.(1)因为直线与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，1），所以，，，故椭圆C的方程为.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时，的面积为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，联立方程组得，则，.因为，所以AB的中点为.因为，所以.因为原点到直线AB的距离，，所以.因为，当且仅当时，等号成立，由解得，，也满足，所以.综上所述，面积的最大值为1.32．(1)；(2).【分析】（1）由题设可得且直线为，再应用点线距离公式求参数，即可写出椭圆方程.（2）设直线l为、、，并联立椭圆方程整理成含参数t的一元二次方程，由求的范围，由韦达定理可得、，结合点线距离公式、弦长公式及三角形面积公式可得，再利用导数求的最大值并确定对应值，即可得直线l的方程.(1)由题意得：，，故直线为，即，由，得，∴直线AB为，则O到直线AB的距离，得，∴，故椭圆C的标准方程为.(2)设直线l为，则到直线l的距离.将直线l的方程与椭圆方程联立，整理得，∴，得且，设，，则，，∴，综上，.令，则，易知：在上，单调递增；在上，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减.∴在或处取得最大值，又，，∴当时，取得最大值，且，∴当时取得最大值，此时直线的方程为.【点睛】方法点睛：先把直线方程与椭圆方程联立，得到一元二次方程，然后运用根与系数的关系解决相关问题，其中利用弦长公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同的解的情况下进行的，不要忽略根的判别式大于零.33．(1)(2)最大值，斜率为【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案；（2）设直线的方程为，设，，进而将直线的方程与椭圆方程联立，并结合韦达定理得，再令，结合基本不等式求解即可.(1)解：由题知：，所以椭圆.(2)设直线的方程为，设､，与椭圆方程联立得，消去得.则，所以.由根与系数的关系知，，所以.①令，则①式可化为.当且仅当，即时，等号成立.此时，所以直线的斜率为.34．(1)(2)【分析】（1）根据题设构造关于a，b的方程组，利用待定系数法求解椭圆的方程；（2）设出直线方程，联立直线l与椭圆C的方程，利用韦达定理得到的表达式，设，找出与的关系；再算出点O到直线l的距离，得到面积的表达式，利用根与系数的关系进行求解.(1)依题意得

解得所以椭圆C的标准方程是.(2)设直线l的方程为，代入椭圆C的方程得，由得.设，所以，，

设，则.

原点O到直线l的距离，

故的面积.

因为，故，故面积的取值范围为.【点睛】求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题，关键是构建与参数有关的不等关系，主要方法有：（1）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（2）建立已知参数与未知参数之间的等量关，利用已知参数的范围，求新参数的范围；（3）利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.35．(1)；(2)8.【分析】（1）设，，由题设得到它们坐标之间的数量关系，再根据在圆上代入方程求M的轨迹方程.（2）联立直线与M的轨迹方程，根据求的范围，设A，B分别为，，应用韦达定理、弦长公式求，由点线距离公式求到直线的距离，应用面积公式可得平行四边形的面积关于的函数，应用基本不等式求最值.(1)设，，由题意知①，由在圆上，故，将①代入化简可得.由M为线段PQ的中点，可知与Q不能重合，∴E的方程为.(2)由题设，联立，得，则，又不经过原点，∴.设A，B两点的坐标分别为，，则，，，又到直线的距离，∴平行四边形的面积，当且仅当，即（满足）时等号成立，故这个平行四边形面积的最大值为8.36．（1）（2）【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，