2023年北京市初三二模数学试题汇编：二次函数

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编二次函数一、单选题1．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数二、解答题2．（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，．(1)当时，比较，的大小关系，并说明理由；(2)若存在，，满足，求的取值范围．3．（2023·北京石景山·统考二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

某跳水运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离0竖直高度①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．4．（2023·北京平谷·统考二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：

(米)(米)根据以上数据回答下列问题：(1)求主桥洞的函数表达式；(2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长．5．（2023·北京顺义·统考二模）某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：滑行时间x/s滑行距离y/m(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？6．（2023·北京大兴·统考二模）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系．

某中学一名运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离011.522.53竖直高度00.750.937510.93750.75根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，则________(填“”“”或“”)．7．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)若，试说明：；(3)点，在该抛物线上，若，，中只有一个为负数，求α的取值范围．8．（2023·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点．(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)过该抛物线与轴的交点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，，是图形上的点，设．①当时，求的值；②若，求的取值范围．9．（2023·北京海淀·统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．

通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1

直发式m表2

间发式n根据以上信息，回答问题：(1)表格中________，________；(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则________（填“>”“=”或“<”）．10．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若，当时，求y的取值范围；(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．11．（2023·北京平谷·统考二模）已知抛物线，若点，，在抛物线上．(1)该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）；(2)若当时，，则的值为______；(3)若对于时，都有，求的取值范围．12．（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．13．（2023·北京大兴·统考二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求抛物线的对称轴；(2)已知点，点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围．14．（2023·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．(1)求出该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(2)当时，对于任意的正数，若点在该抛物线上，则_________（填“>”“<”或“=”）；(3)已知点．若该抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．15．（2023·北京房山·统考二模）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离02461112竖直高度2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；②判断该运动员第一次发球能否过网___________（填“能”或“不能”）．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．16．（2023·北京房山·统考二模）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．(1)若抛物线经过点，求a和n的值；(2)若抛物线上存在两点和，．①判断抛物线的开口方向，并说明理由；②若，求a的取值范围．

参考答案1．A【分析】设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意列出与，与的函数关系式，即可求解．【详解】解：设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意得，是一次函数，是二次函数，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．2．(1)，理由见解析(2)【分析】（1）当时，，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据，的大小判断与对称轴的距离，结合，即可得出答案；（2）根据二次函数图像开口向下，，可得，再根据满足，可得，由此即可求解．【详解】（1）解：，理由如下，∵，∴抛物线的对称轴是直线，二次函数图像的开口向下，在对称轴的左边随的增大而增大，在对称轴的右边随的增大而减小，∵当时，时，的值最小，∴，即，当时，，则当时，时，有最大值，∴，即，∴当时的最小值大于时的最大值，∴．（2）解：∵，∴，∴，∵存在，，满足，且，∴，∴，综上所述，的取值范围．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找的取值范围．3．(1)①，；②此次跳水不会出现失误，理由见解析(2)不能【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当时，y的值即可得到答案；（2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案．【详解】（1）解：①由表格中的数据可知当时，，当时，，∴抛物线对称轴为直线，∴抛物线顶点坐标为，∴抛物线解析式为，把，代入得：，解得，∴抛物线解析式为∵抛物线开口向下，∴该运动员竖直高度的最大值为；②此次跳水不会出现失误，理由如下：当时，，∵，∴此次跳水不会出现失误；（2）解：在中，当时，则，解得或（舍去），∴在中，当时，则，解得或（舍去），∴第二次入水的位置的水平距离为米，∵，即第二次入水的位置在店A的左侧，∴第二次训练不能达到要求，故答案为：不能．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．4．(1)(2)五个桥洞的总跨度的长为米【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）根据二次函数的平移，分别令，，，求得每个桥洞的跨度即可求解．【详解】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为∴抛物线的解析式为∵抛物线过点．解得（2）令，解得：，；∵的表达式：，的表达式：由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合，即将向下移动当时，解得：，；由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合，即将向下移动，当时，解得：，∴∴五个桥洞的总跨度的长为米．

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．5．(1)(2)飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可．【详解】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，，∴，解得：，∴函数关系式为：．（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值，∵函数关系式为，且，当时，最大值，∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．6．(1)；(2)<【分析】（1）根据当时与当时所对应的函数值相等可知对称轴为直线，从而得到该运动员竖直高度的最大值为1米，利用顶点式可求函数关系式；（2）分别求出、，再比较大小即可．【详解】（1）解：由表格可知，当时与当时所对应的函数值相等，∴对称轴为：直线，∴该运动员竖直高度的最大值为1．∴抛物线的顶点为．则抛物线解析式为．∵当时，，∴，解得．∴抛物线的解析式为．（2）令解得：，∴．又令，解得：，∴∵，∴，故答案是：<．【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，掌握待定系数法和求与x轴的交点是解题的关键．7．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）直接把代入抛物线解析式中求解即可；（2）先求出，再由，即可得到；（3）先求出，然后分类讨论a的取值范围，根据，，中只有一个为负数进行求解即可．【详解】（1）解：把代入中得：；（2）解：由（1）得，∵，∴，∴；（3）解：∵点，在该抛物线上，∴；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点一定满足对应函数的函数解析式是解题的关键．8．(1)顶点为，(2)①；②【分析】（1）将点代入中，得出，进而将解析式化为顶点式，即可求解；（2）①根据解析式得出抛物线与轴交点为，当时，进而求得，即可求解；②与轴交于点，抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得，在对称轴的左侧，，关于对称，分，，分别求得，，根据题意解不等式即可求解．【详解】（1）解：将点代入中，得解得：∴抛物线解析式为∴对称轴为直线，顶点为，（2）①当时，，当时，，∴抛物线与轴交点为，∵，是图形上的点，即∴，∴；②，当时，，∴与轴交于点，∴抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得∵对称轴为直线∴在对称轴的左侧，∴，∵，关于对称∴当，即时，即∴∵∴，当，即时，，∴，∵，∴，解得：∴

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线，根据对称性即可求得的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将代入即可求解．（2）根据题意设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解．（3）令，即，得出，设抛物线解析式为，将点代入，得出，令，即，得出，即可求解．【详解】（1）解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由表1数据，可知对称轴为直线，∴当时的函数值与时的函数值相等，∴，∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为，将点，代入得，，解得：，∴，当时，，故答案为：，．（2）“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由（1）可得对称轴为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，将点代入，得，解得：∴抛物线解析式为（3）解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为，令，即，解得（舍去）或∴，∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由表2可得抛物线的顶点坐标为设抛物线解析式为，将点代入，得，解得：∴抛物线解析式为令，即，解得（舍去）或∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．10．(1)直线(2)(3)【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）根据，比距离对称轴远，分别求得时的函数值即可求解；（3）根据题意得出为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，分当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上，∵，比距离对称轴远，∴时，的最小值为，当时，，∴当时，求y的取值范围为；（3）解：∵，，对称轴为直线，∴为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，当在对称轴的左侧时，∴当在对称轴的右侧时，∴，不合题意，舍去∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11．(1)(2)(3)或【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；（2）把代入，得，求解即可；（3）分类讨论：当时，当时，当时，当时，分别求解即可．【详解】（1）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线．（2）解：当时，，∴，把代入，得，解得：．（3）解：当时，∵，∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵，，，∴，即点P和点M在对称轴右侧，∴，不符合题意；当时，∵，又∵，，，∴，∴点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近，∴，不符合题意；当时，∵，，，，若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离，∴，∵，∴；当时，∵，，，，若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，∴，∵，∴，综上，或．【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键．12．(1)(2)10【分析】（1）先求出抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，然后利用待定系数法求解即可；（2）先证明关于抛物线对称轴对称，则E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，求出，根据矩形周长公式列出矩形周长与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：如图所示，∵四边形是矩形，∴，∵E、F都在x轴上，∴轴，∴关于抛物线对称轴对称，∴E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，∴，，∴，∴矩形的周长，∵，∴当时，矩形的周长有最大值10．

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．13．(1)(2)【分析】（1）将点代入，得到，即可求得抛物线的对称轴；（2）根据抛物线对称性可得点B关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的性质可得，即可求得．【详解】（1）解：将点代入得：整理得：∴对称轴为：∴抛物线的对称轴为直线．（2）解：∵∴点B关于对称轴的对称点坐标为，∵∴抛物线开口向上，∵点，在抛物线上，且∴，∵∴解得．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的对称性求值，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．14．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得出：，再计算当时，的值即可得出答案；（2）根据，抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称轴越远，函数值越大，分别算出点和点距离对称轴的距离即可比较的大小；（3）由可以得出，再分、，进行讨论即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴，当时，，∴抛物线的顶点坐标是；（2）∵，∴抛物线开口向上，∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，点距离对称轴的距离为：，点距离对称轴的距离为:，∵，∴，∴距离对称轴比距离对称轴更远，∴，故填：；（