2023年北京市初三二模数学试题汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系一、单选题1．（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（）

A．位置 B．位置 C．位置 D．位置二、解答题2．（2023·北京大兴·统考二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点P为平面内一点（不与点A，点B重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为线段的直点．

(1)若，①在点，，这三个点中，点________是线段的直点；②点P为线段的直点，点，求的取值范围；(2)点D在直线上，若点D的横坐标满足，点P为线段的直点，且，直接写出r的取值范围．3．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，为的直径，C为上一点，，直线与直线相交于点H，平分．

(1)求证：是的切线；(2)与的交点为F，连接并延长与相交于点D，连接．若F为中点，求证：．4．（2023·北京东城·统考二模）已知：如图，点和．

求作：直线，使得与相切于点．作法：（1）连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点；（2）作直线，交于点；（3）以点为圆心，以长为半径作，与相交，其中一个交点为点；（4）作直线．直线即为所求作．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：由作法可知，点为线段的中点．连接．∵为的直径，∴_________（_________）（填推理的依据）．∴．∵点在上，∵是的切线（_________）（填推理的依据）．5．（2023·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点，点是直线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“双垂点”.

(1)若，点中是点关于轴和点的“双垂点”的是___________；(2)若点，点是直线上的点，点是点关于轴和点的“双垂点”，求点的坐标；(3)点在以为圆心，1为半径的圆上，直线，若圆上存在点是点关于直线和点的“双垂点”，直接写出的取值范围.6．（2023·北京海淀·统考二模）如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．

(1)求证：；(2)连接，若，的半径为，，求的长．7．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．(1)①点的变换点的坐标为______；②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；(2)求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；(3)已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．8．（2023·北京房山·统考二模）在平面直角坐标系中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足，其中点是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”．

(1)如图1所示，已知，点，点．①在点中，是线段的“对称平衡点”的是___________；②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点C满足，再以点C为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标的取值范围．9．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系中，已知点P，直线l与图形G．连接点P与图形G上任意一点Q，取的中点M，点M关于直线l的对称点为N，所有的对称点组成的图形W称为图形G关于点P及直线l的“对应图形”．已知点．(1)对于直线，若直线关于点A及直线l的“对应图形”与直线的交点在x轴的上方，求a的取值范围；(2)已知点，，，直线，的圆心，半径为2．若存在关于点D及直线l的“对应图形”与的边有交点，直接写出t的取值范围．10．（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2，(1)若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________；(2)直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；(3)点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围．

参考答案1．B【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在的外接圆上即可．【详解】解：如图，

由网格可知，点O是和垂直平分线的交点，即点O是的外接圆的圆心，，点M在的外接圆上，，船处于位置B时，也一定无触礁危险，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等．2．(1)①；②(2)【分析】（1）①根据“直点”的定义即可解决问题；②求出的最大值和最小值即可得结论；（2）以O为圆心作圆，求出半径的最小值与最大值，可得结论．【详解】（1）①如图；

∵，∴点．∵点P为线段的直点，∴点P在上．∴点，，这三个点中，为线段的直点，故答案为：；②情况1：连接交于点P，此时最短，连接，∵，∴，∴，∴．∵，∴．情况2：延长交于点，此时最长．∵，∴．∴CP的取值范围是，故答案为：．（2）∵点P为线段的直点，∴点P在以为直径的上，如图，

当时，，∴在中，，∵,∴；过点作轴于点G，过点作轴于点H，∴四边形是矩形，为等腰直角三角形，∴∵∴当时，，即∴在中，，∴r取值范围是．【点睛】本题考查了圆的有关知识，一次函数的性质，“直点”的定义等知识，解题关键是理解题意，熟练掌握圆的相关性质、勾股定理等知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想思考问题．3．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，求出可得，然后得出即可；（2）如图，连接，证明，可得，然后根据圆周角定理求出，再由直角三角形两锐角互余求出即可．【详解】（1）证明：连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；

（2）证明：如图，连接，∵平分，∴，∴，∵F为中点，∴，∴，∴，∴，由（1）知，即，∴，∴．

【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理是解题的关键．4．(1)见解析(2)；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理【分析】（1）根据题意作图即可；（2）证明得到，则由切线的判定定理可得是的切线．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：由作法可知，点为线段的中点．连接．∵为的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）．∴．∵点在上，∵是的切线（切线的判定定理）．故答案为：；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理．

【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，线段垂直平分线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键．5．(1)(2)(3)【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；（2）根据题意得出点是直线上的点，则点关于轴的对称点在直线上，点在直线上，且，别作轴，轴，交轴于点，与交于点，证明，设得出代入直线，求得，即可求得；（3）根据新定义可得的轨迹与直线垂直，在上找到一点，得点落在上，则当的轨迹所在直线与相切时，取得最大值，根据题意画出图形，求得的最大值，同理可得的最小值.【详解】（1）解：如图所示，

故答案为：．（2）解：根据题意，点是直线上的点，则点关于轴的对称点在直线上，由题意可得，点在直线上，且，如图所示，作轴于点，分别作轴，轴，交轴于点，与交于点，

∴四边形为矩形，∵∴又∵∴∴∴四边形为正方形，设∴∵∴将点代入直线中，解得：∴∴（3）解：由（1）可得，点的轨迹为垂直于直线垂直的一条直线，当时，如图所示，在上找到一点，得点落在上，则当的轨迹所在直线与相切时，取得最大值，

∵，关于直线对称，∴如图所示，当刚好在直线上时，，依题意，是等腰直角三角形，∵直线与直线垂直，且过点∴直线的解析式为∵∴，如图所示，当时，

同理可得，综上所述，．【点睛】本题考查了几何新定义，理解新定义中点轨迹是解题的关键．6．(1)见解析(2)【分析】（1）根据切线的性质得出，则，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得出，即可得证；（2）延长交于点，过作于点，根据垂径定理勾股定理求得，证明四边形是矩形，进而可得，根据切线长定理得出，进而设设，则，在中，，建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵是的切线，∴，∵，则，∴，又∵，∴；（2）解：如图所示，延长交于点，过作于点，

∴，∵在中，，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∵，是的切线，∴，设，则在中，∴解得：，即．【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．7．(1)①；②；(2)；(3)且．【分析】（1）①按定义操作即可得出答案；②设直线的图像上任意一点坐标为，然后按定义操作即可得出答案；（2）设直线的图像上任意一点坐标为，求出该点的变换点坐标，根据横纵坐标之间的关系求出直线的变换图形的解析式即可得出答案；（3）设⊙O上点的坐标为，可得，然后求出其变换点到原点的距离为，可得的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，再根据直线恒过点，求出直线与的变换图形相切时的k值即可．【详解】（1）解：①按定义操作：，，∴点的变换点的坐标为，故答案为：；②设直线的图像上任意一点坐标为，按定义操作：，∴直线的变换图形上任意一点的横坐标为，故答案为：；（2）解：设直线的图像上任意一点坐标为，则该点的变换点坐标为，令，得：，∴，当时，，∴直线的变换图形与y轴公共点的坐标为；（3）解：设⊙O上点的坐标为，∵⊙O的半径为1，∴点到原点的距离为1，∴，∵⊙O上的点的变换点坐标为，∴其变换点到原点的距离为：，∴的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，又∵直线，∴直线恒过点，如图，点，直线与y轴交于点C，当直线与的变换图形相切于点B时，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此时直线过点，∴，解得：，同理，当直线与的变换图形相切于x轴的下方时，可得，∴若的变换图形与直线有公共点，k的取值范围为且．

【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，圆的基本概念，切线的性质，两点间的距离公式，勾股定理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键．8．(1)①，；②不存在，理由见解析(2)【分析】（1）①根据对称平衡点的定义进行判断即可；②不存在，根据对称平衡点的定义进行讨论可得结论；（2）画出图形进行判断即可．【详解】（1）①如图所示，点，，则；，则，

∴线段的“对称平衡点”的是，；故答案为：，；②不存在设P为线段上任意一点，则它与线段上点的距离最小值为0，最大值为和中的较大值；显然点P关于x轴的对称点为，它到线段上任意一点的距离即若是线段上的任意两点，，不存在∴线段上不存在线段的“对称平衡点”；（2）如图，由②可知线段上不存在的“对称平衡点”，上存在的“对称平衡点”，

∵∴【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．9．(1)(2)或【分析】（1）根据题意可得，，根据新定义可得，点与直线上的任意一点所成的线段的中点，即为直线，设直线关于的对称直线与轴的交点为，直线关于点A及直线l的“对应图形”与直线的交点在x轴的上方，则只需要点在点左侧，据此可得，即可求解．（2）根据题意，先画出图形，由的圆心，半径为，关于点及直线的“对应图形”，，根据新定义求得中点坐标，再关于对称，根据直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，直线，当时，，当时，，则，，则点与直线上的任意一点所成的线段的中点，即为直线，∴，设直线的解析式为，∴解得：∴直线的解析式为，设直线关于的对称直线与轴的交点为，直线关于点A及直线l的“对应图形”与直线的交点在x轴的上方，则只需要点在点左侧，因此，∴又∵∴，即

（2）的圆心，半径为，关于点及直线的“对应图形”，，则是以为圆心，半径为1，作关于的对称的圆，则此圆是以为圆心的圆，半径为1，

∵点，，，∴直线的解析式为，当时，，直线的解析式为，当时，，∵与的边有交点，当在的左侧，与相切时，到的距离为，，解得：，当在的右侧，与相切时，到的距离为，解得：，当在的左侧，与相切时，到的距离为；解得：，当在的右侧，与相切时，到的距离为；解得：，结合图形可知：或．【点睛】本题考查了几何新定义，一次函数的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握新定义，中点坐标公式以及轴对称的性质是解题的关键．10．(1)，3(2)b的取值范围是或；(3)【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可．【详解】（1）解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，∴，在中，由勾股定理得，∴当最大时，最小，即此时最小，∵点M的坐标为，∴，又∵，∴当点H与点M重合时，有最大值，∴此时有最小值，∴的最小值为∵过点M的直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O截得的弦长取值范围为，∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M关于圆O的特征值为3，故答案为：，3；

（2）解：设点G是圆O的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦