2025年高考数学一轮复习：课时作业四 基本不等式

四基本不等式

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）（2024・临夏模拟）若x>0,则函数产x+白）

A.有最大值-4B.有最小值4

C.有最大值-2D.有最小值-2

【解析】选B.因为％>0,所以尸x+?2。4,当且仅当尸|,即尸2时取等号，

xXX

所以当x>0时函数y=x+|有最小值4.

2.（5分）已知。>0,且6>0,若2a+b=4,则ab的最大值为（）

11

A-B.4C,-D.2

4L

［解析］选D.4=2q+bN2A

即2出/碗，两边平方得生2aA

所以。店2,当且仅当a=T,b=2时，等号成立，

所以ab的最大值为2.

3.（5分）要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面

造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

【解析】选C.由题意知，体积%=4m3,高/z=lm,所以底面积S=4n?,设底面矩形

AQ

的一条边长是Xm,则另一条边长是:m,又设总造价是歹元，则产20x4+10x（2%+9

）>80+20户60,当且仅当2尸即x=2时取等号.

1

4.（5分）设％>0,则3-3月的最大值是（）

A.3B.3-2V2C.-lD.3-2V3

【解析】选D.因为x>0,所以聂+白2层当且仅当产g时，等号成立，

XA/XD

所以-（3%+2-2收，

则3-3%--<3-2^/3.

5.（5分）（多选题X2024•连云港模拟）下列命题中的真命题有（）

1

A.当%>1时用一X-滴A.勺最小值是3

B.j皆的最小值是2

C.当0<x<10时,"（10-%）的最大值是5

D.若正数为实数,x+2y=3盯，则2.x+y的最大值为3

【解析】选AC.对于选项A,因为％>1,则x-l>0,

11/1

所以x+n^（+D+rr+G2（%-1）x77+1=3,

1

当且仅当x-l=，即x=2时，等号成立,故选项A正确；

X-A-

22

对于选项B,因为

业+4”+4，‘%+4

等号成立的条件是％2=一3,显然不成立，所以等号不成立,不能使用基本不等式，即最

小值不为2,令T7+心则尸+：在［2,+8）上单调递增，所以右2时取得最小

值|,故选项B错误；

对于选项C,因为0<%<10,则10-x>0,

所以小（10一%）昌+（；久）=5,

当且仅当x=10-x,即尸5时，等号成立,故选项C正确；

12fl2\2x

对于选项D,由x+2y^3xy得豕k1,故2x+y=（2%+y）xl=（2%+y）x七+司3+

2v14\2x2y,5_9_

荻才^2后xhrr3o，

当且仅当||埸时取等号,故选项D错误.

6.（5分X多选题）已知a,b为正实数，且仍+24+6=16,则（）

A.ab的最大值为8

B.2.a+b的最小值为8

C.a+b的最小值为6A/2-3

的最小值为夕

【解析】选ABC.因为16=ab+2a+bNab+2也豆，当且仅当2a=b时取等号,

解不等式得0<V^S2也，即"二8,故ab的最大值为8，A正确；

由16=ab+2a+6得b=.+i=+丁2,

ll~,16-2a18I18-

所以2q+b=2a+~77T^2(a+l)+^-4>2^a+1>壬-4=8,

1o

当且仅当2(a+l)*p即。=2时取等号，此时取得最小值8,B正确；

a+b^a^--p2=a+1+工-3次避-3,当且仅当。+1号,即。=3"-1时取等号,C正

确；

三二=2Ih,尸f，当且仅当。+1=计2时取等号,此时;

a+1b+2弋。+1/)+27ab+2a+b+23a+1

+由取得最小值W，D错误.

1

7.(5分X2023•滨州联考)若函数加)=%一(%>2)在x=a处取最小值，则

a=

1IJ-1

【解析】当x>2时,x-2>0Mr)=(%-2)H—r+2>2(x-2)•力+2=4,当且仅当x-2=-

X-zA/x-乙%-Z

即x=3时取等号，即当小)取得最小值时x=3,即a=3.

1—1J

37

8.(5分)若正实数a,b满足a+b+2=ab,则a+b-2的最小值为__________;—科「■的

CL-A.D-1.

最小值是__________.

【解题指南】将条件转化为(a-l)(b-1)=3后,由基本不等式求解.

A2_

【解析】由。+6+2=也得a—b-1>0,所以6>1,同理可得a>l,所以b-l>0,a-l>0.

因为a+b+2=ab,所以(a-l)(b-1)=3,

所以a+b-2=(a-l)+(b-1)N2A当且仅当4-1=6-1,即4=6=1+

平时取等号.

又6-1-1，所以。1)白=2",当且仅当6-1*,

即b=j+l时等号成立.

答案:2依2"

【加练备选】

1Y__.

已知x+尸1，歹>0,%>0,贝U五+五1的最小值为.

【解析】将X+产1代入5+喜中，得力+"+:+冬，设竟》。，

‘人yIJLyvIJ]I，yV

X

72

12r+3t+31(1+2t)+2t+1+41八-、4_

则原式W-1+2t~~2(1+2t)~4'l+2t4^r+，)+]+2t+l]

Sx2j(l+2t)T^+%|,当且仅当W，即产|产|时，取

口^>4

9.(5分)若正数满足x+4y-砂=0,则x+y的最小值为.

【解析】因为x>0,y>0,x+4y-xy=0,

所以％+4尸》两边同除以孙彳导:占1,

xy

所以x+y^x+y)(1+3=5+|+?N5+2《f=9,

'x4y

当且仅当,片"，即tZ?时，等号成立,

x+4y-xy=0I>

所以x+y的最小值为9.

答案：9

10.（10分）已知x>0,y>0,且2x+8产砂，求：

（1）町的最小值；

【解析】（1）因为肛=2%+8疙212%•8y,

即?N8，可，即xy>64,

当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时，等号成立，

所以xy的最小值为64.

（2）%+7的最小值.

【解析】⑵由2%+8产私得|+|=1,

Ky

82

则x+产（肃人y）”）

=10心白>10+2/18,

yx~7yx

当且仅当衿，即％=12,歹=6时等号成立，

yx

所以％+y的最小值为18.

11.（10分）（2024•南京模拟）已知正数x,y满足x+2尸1.

（1）当x,y取何值时，町有最大值？

【解析】⑴因为正数可满足x+2尸1,

由基本不等式得x+2y=G2媳可，解得xy<-,

11

当且仅当产2乂即尸时，等号成立，

故町的最大值为:

（2）若1%？93“恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】（2）要想》廿恒成立，只需Q+力户。，

正数x,y满足x+2产1,

所以%}Q+f（%+2了）=1+4+§+"5+2"^=9,

当且仅当然，即时，等号成立，

故欲3。,解得a<2,

所以实数a的取值范围是（-00,2].

【能力提升练】

12.（5分）（多选题）（2024・潮州模拟）设正实数叼满足x+2y=3,则下列说法正确的

是（）

A.汨的最小值为4

xy

Q

B.xy的最大值为目

C./+内的最小值为2

Q

D.N+4俨的最小值为2

【解析】选ABD.对于人,如芸+一49+222g|+2=4,当且仅当产尸1时取等

xyA,yJiy、/九y

号，故A正确;

对于B,孙十27去(霍丫当言当且仅当产2乂即％=|产|时取等号，故B正

乙乙\乙J乙1"CJ乙1

确;

又寸于C,(m+y/2y^x+2y+2y/2xy<3+

26[=3+3=6,则获依当且仅当尸2乂即尸|产|时取等号，故C错误；

QQQQ

对于D其2+4产(%+27)2-4町N9-4x^^,当且仅当产才皇寸取等号，故D正确.

]_e久

13.(5分)(2024•滨州模拟)已知函数/(%)=---^若m>0,n>0,H/(2m)+/(n-l)=f(0),

1+e

则的最小值为______.

mn

X«

e-1

【解析】因为八%)〜三的定义域为R,关于(0,0)对称，且大-动-W

1+e1+ei+e

x

e

三人乃，即函数/(%)为奇函数，

1+e

l_°

又因为---e;0,所以偿-1)文0)=0,

1+e

即2加+(7i-1)=0,所以2m+n=l,

则上+4工+-)(2m+)—+—+4>2

n卜4=8,

mn\mnjv，mn

’n4m

当且仅当，