浙教版九年级数学上册举一反三专题1.9二次函数中的十二大存在性问题特训(原卷版+解析)

专题1.9二次函数中的十二大存在性问题【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】 1【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】 3【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 5【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】 7【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】 8【题型6二次函数中菱形的存在性问题】 11【题型7二次函数中矩形的存在性问题】 13【题型8二次函数中正方形的存在性问题】 15【题型9二次函数中面积问题的存在性问题组】 17【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】 18【题型11二次函数中角度问题的存在性问题组】 20【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】 22【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例1】（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图甲，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及E点的坐标．(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、【变式1-1】（2023秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A−2,0和点B，与y轴交于点C0,8，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线

(1)求抛物线的解析式；(2)求△BCP的面积最大值；(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E

(1)求抛物线的表达式；(2)求线段PQ的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接QM．是否存在点P，使得△PQM为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】【例2】（2023秋·四川广安·九年级校考期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−3,2)，B(0,−2)，其对称轴为直线x=52，C(0,12

(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式2-1】（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E

(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．【变式2-2】（2023春·广东梅州·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(−2,5)，B(−1,0)，与x(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P直线AC下方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−1)2+92与x轴交于A，B(4，0)(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，过动点D0,m作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线

(1)求抛物线的表达式；(2)求m的取值范围；(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023秋·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平分线交线段AC于点(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3交x轴于点B，交y轴于点C，直线AD交x轴于点A，交y轴于点D，交直线BC于点E−12(1)求直线AD解析式；(2)点P从B点出发沿线段BA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动（点P不与A，B两点重合），设点P的运动时间为t，则是否存在t，使得△AEP为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从C点出发沿射线CO方向运动，当点P到达终点时，点Q也停止运动，连接AQ，PQ，设△APQ的面积为S，S与t的函数关系式为S=32t2−12t+【变式3-3】（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，抛物线y1=ax2−2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D0,3，与直线(1)求抛物线的解析式；(2)在直线y2=−x−3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】【例4】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l

(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与

(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点Pm,n在抛物线上，当−1≤m<3时，直接写出n(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l

(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+22=(2【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】【例5】（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、B3,0

(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2023秋·重庆梁平·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E

(1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；(2)如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；(3)在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y=−2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M【变式5-3】（2023秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移22个单位后得到新抛物线y′，新抛物线y′的顶点为D′，过（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y′于点M．在新抛物线y′的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D′【题型6二次函数中菱形的存在性问题】【例6】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C(0,3)．已知点A坐标为(1,0)(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点P作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y′，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M【变式6-1】（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0,−3，点A在原点的左侧，点B的坐标为3,0，点(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO所在直线翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形PO(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的面积．【变式6-2】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线l:y=−2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B，且与x(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-3】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线l:y=−2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B，且与x(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7二次函数中矩形的存在性问题】【例7】（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝13，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【变式7-1】（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线y=ax2+bx−4a≠0交x轴于点A4,0和点B

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值．(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．【变式7-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足SΔRAC=(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【变式7-3】（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−2a≠0交x轴于A−1，0、B(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−2a≠0向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、【题型8二次函数中正方形的存在性问题】【例8】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知拋物线y=−x2+2x+c与x轴交于点A3,0，

(1)求c的值及该抛物线的对称轴；(2)若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A,B,D,E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D．交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值；(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-3】（2023·江西赣州·统考一模）已知二次函数C1(1)有关二次函数C1①二次函数C1②二次函数C1的图象的对称轴是直线x③二次函数C1④函数值y随着x的增大而减小．(2)当m=1时，①抛物线②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线(3)设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，【题型9二次函数中面积问题的存在性问题组】【例9】（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A1,0,B

(1)求抛物线的函数解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，连接BC，若在BC下方的抛物线上存在一点P，使得S△BCP=1【变式9-1】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，已知二次函数L1：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，A点坐标(−1，0)，B点坐标(3,0)，与

(1)求二次函数L1的表达式及顶点P(2)二次函数L3与二次函数L1关于X轴对称，直线L2与二次函数L3相交于①直接写出二次函数L3②求出D点的坐标；③在直线L2上半部分的二次函数L3上，是否存在一点M，使得△AMD的面积最大？若存在，请求出【变式9-2】（2023春·山东东营·九年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0,4，与x

(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M(3)在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式9-3】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E1，4的抛物线y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴的交点为(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当BD−CD取得最大值时，求点P的坐标；(3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S1，S2，判断【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】【例10】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−8,0，C2,0两点，与y轴交于点D0,4．点E是第二象限内抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为n，过点E作直线EB⊥x轴于点B

(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标；(3)如图2，连接CD，过点E作直线l∥CD，交y轴于点H，连接BH．试探究：在点E运动的过程中，是否存在点E，使得FD=BH，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-1】（2023春·四川南充·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中的Rt△AOB和Rt△COD全等，直角边OB、OD在x轴上．已知点C的坐标为4，2，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线y=ax2+bx+c(1)写出点A的坐标并求该抛物线的函数解析式；(2)点G为抛物线上位于线段OC所在可直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-2】（2023秋·云南曲靖·九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A−1,0，B3,0两点，与y(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得B、C两点到直线AM的距离相等，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上一动点，以P为旋转中心，把线段BC逆时针旋转90°，得到线段GH，其中点B的对应点为点G，当抛物线的对称轴刚好经过GH中点时，求此时点P的坐标．【变式10-3】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=−2与x轴交于点C，直线y=−2x+1经过抛物线上一点B2,m，且与y轴．直线x=−2分别交于点D、E(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；(2)①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；(3)若Px,y是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P【题型11二次函数中角度问题的存在性问题组】【例11】（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B4,0两点，与y轴交于点C，点(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，连接OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标；(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式11-1】（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【变式11-2】（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大?求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；(3)在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11-3】（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A，(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△ACP的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；(3)是否存在点P，使得∠ACP=∠ABC−∠BAC，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】【例12】（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，已知抛物线y=38x2−34x−3与x轴的交点为点A、D(点(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式12-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函数．例如：一次函数y=x−3，它的“伴随”函数为y=−x+3(1)已知点M−2，1在一次函数y=−mx+1(2)已知二次函数y=−x①当点Aa，3②当−3≤x≤3时，函数y=−x【变式12-2】（2023秋·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考期中）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为−3,0，与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小，若存在，求出P点的坐标及△PAD周长的最小值；(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的最大值．【变式12-3】（2023春·湖南长沙·九年级校考期末）已知抛物线y=a−1x2+2a−7x+a

(1)求a的值．(2)若点P8−t，s和点Qt−4，(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．

专题1.9二次函数中的十二大存在性问题【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】 1【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】 12【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 23【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】 33【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】 42【题型6二次函数中菱形的存在性问题】 53【题型7二次函数中矩形的存在性问题】 63【题型8二次函数中正方形的存在性问题】 75【题型9二次函数中面积问题的存在性问题组】 87【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】 97【题型11二次函数中角度问题的存在性问题组】 110【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】 123【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例1】（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图甲，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x

(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及E点的坐标．(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、【答案】(1)y=(2)最大面积为278，(3)存在，见详解【分析】（1）把B、（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，−x+3），则点代入求出即可．（3）先求出C、P的坐标，由勾股定理可求【详解】（1）解：∵直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，∴c=30=9+3b+c，解得b=−4∴抛物线解析式为y=x（2）当0<x<3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点

设点F（x，∴EF=−x∴S△CBE=S△CEF+S△BEF∵a=−32<0∴当x=32时，S△CBE有最大值27∴E3（3）∵y=x∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（∴CP=2−0设点M的坐标为（2，m），则PM=m+1则m+1=2∴m=−1±25∴点M2,−1−25或2,−1+2若CP=CM=25，则4+∴m=7，∴点M（若PM=CM，如图，过点C作CH⊥PM于H，

∴CH=2，PH=4，∵CH∴4+HM∴HM=3∴点M2,∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M22,−1−25，【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，综合性比较强．【变式1-1】（2023春·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A−2,0和点B，与y轴交于点C0,8，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线

(1)求抛物线的解析式；(2)求△BCP的面积最大值；(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)△BCP的面积最大值为32(3)存在，M点坐标为3,0或3,−5或3,52+5【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）先求出直线BC的解析式，过点P作PG∥y轴交BC于G，设Pt,−12（3）分三种情况进行讨论：当BE=BM时；当BE=EM时；当BM=EM时；进而得出答案．【详解】（1）解：将A−2,0，C0,8代入∴4a−6+c=0c=8解得a=−1∴y=−1（2）令y=0，则−1解得x=−2或x=8，∴B8,0设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=88k+b=0解得k=−1b=8∴y=−x+8，过点P作PG∥y轴交BC于

设Pt,−12∴PG=−1∴S△CBP∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；（3）①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：∵y=−1∴抛物线的对称轴为直线x=3，∴E3,5，设M∴BE=52，BM=25+m当BE=BM时，52解得m=5（舍）或m=−5，∴M3,−5当BE=EM时，52解得m=52+5或∴M3,52+5当BM=EM时，25+m解得m=0，∴M3,0综上所述：M点坐标为3,0或3,−5或3,52+5或【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合－面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【变式1-2】（2023春·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E

(1)求抛物线的表达式；(2)求线段PQ的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接QM．是否存在点P，使得△PQM为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)3(3)存在一点P，当点P的横坐标为83时，△PQM【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标，进而求出直线BC的解析式，设Pm，−34（3）先证明PQ⊥PM，则当△PQM为等腰三角形，只存在PM=PQ这一种情况，设Pn，−34【详解】（1）解：把A−1,0，B4,0代入y=ax∴a=−3∴抛物线解析式为y=−3（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b在y=−34x2+∴C0把C0，3，B4,0代入∴k=−3∴直线BC的解析式为y=−3设Pm，−∴PQ=−=−=−=−3∵−3∴当m=2时，PQ有最大值，最大值为3；（3）解：∵PQ⊥x轴，PM∥x轴，∴PQ⊥PM，∴当△PQM为等腰三角形，只存在PM=PQ这一种情况，设Pn，−同理可得PQ=−3又∵PM=n，∴−3解得n=83或∴存在一点P，当点P的横坐标为83时，△PQM【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．【变式1-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；（2）过点G作GH⊥PE于H，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根据等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，证明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系数法求出直线BC为y=−12x+2，根据AD∥BC得直线AD为y=−12x−12，设P（m，−12m2+32m+2），则E（m，−12m（3）求出点D的坐标D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分两种情况：①当BD＝BM时，②当BD＝MD时，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2得：16a+4b+2=0a−b+2=0，解得a=−∴抛物线的函数表达式为y=−12x2（2）过点G作GH⊥PE于H，∵抛物线y=−12x2∴C（0，2），∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC=12+22∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AD∥BC，EG⊥BC，∴AC＝BG=5∵PE∥y轴，∴∠OCG＝∠EFG，∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，∴∠ACO＝∠GEH，∵∠AOC＝∠GHE＝90°，∴△ACO≌△GEH（AAS），∴GH＝AO＝1，设直线BC为y＝kx+n，将C（0，2），B（4，0）代入得：4k+n=0n=2，解得k=−∴直线BC为y=−1∵AD∥BC，A（﹣1，0），∴直线AD为y=−12x设P（m，−12m2+32m+2），则E（m，∴PE=−12m2+2m∴△PEG面积为12PE•GH=−14m2+m+∵−1∴m＝2时，△PEG面积的最大值为94此时点P的坐标为（2，3）；（3）∵抛物线y=−12x2+32x+2=−12（x−32）2∴y1的对称轴为x＝3，联立直线AD为y=−12x−12，抛物线y=−12x2∴D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，①当BD＝BM时，∴BD2＝BM2，∴1+t2＝10，∴t＝±3，∴点M的坐标为（3，3）或（3，﹣3），∵点（3，3）与B，D共线，∴点M的坐标为（3，﹣3）；②当BD＝MD时，∴BD2＝MD2，∴t2+6t+13＝10，∴t＝﹣3±6，∴点M的坐标为（3，﹣3+6）或（3，﹣3−综上所述，点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3+6）或（3，﹣3−【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】【例2】（2023春·四川广安·九年级校考期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−3,2)，B(0,−2)，其对称轴为直线x=52，C(0,12

(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=1(2)E(1,−223)，△ADE的面积S(3)存在，点F的坐标为F(52,13)或(52【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解；（2）运用待定系数法，确定直线AD解析式为y=−12x+12，联立二次函数解析式，求解得D(5,−2)，过点E作EF⊥x轴，交AD于点G，设E(m,16m2−5（3）存在．设点F(52,n)，则AF2=n2−4n+1374；D【详解】（1）解：由题意，c=−29a−3b−2=2−∴y=1（2）解：设直线AD的解析式为y=kx+p(k≠0)，则−3k+p=2p=1∴直线AD解析式为y=−1联立直线与抛物线解析式，得y=−12x+1∴D(5,−2)过点E作EF⊥x轴，交AD于点G，设E(m,16m2△ADE的面积S=∴S=−∴当m=1时，−3<m<5，△ADE的面积有最大值102此时，16∴E(1,−22

（3）解：存在．设点F(5AFDFAD①若∠FAD=90°，则DF∴n2+∴F(5

②若∠FDA=90°，则AF∴n2−4n+∴F(5

③若∠DFA=90°，则AD∴n2解得，n=±∴F(52

综上，点F的坐标为F(52,13)或(52【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键．【变式2-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E

(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．【答案】(1)y=−(2)−3−(3)存在，−1,83【分析】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入y=−x（2）设第三象限内的点F的坐标为m,−m2+2m+3，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，再根据S△AEF=S△AEG（3）设点P坐标为−1,n，先由B，C两点坐标运用勾股定理求出BC，再分两种情况讨论：①若∠PBC=90°，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若∠BCP=90°，同①可求出对应的P点坐标，进而得出结果．【详解】（1）∵y=x+3与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，∴当y=0时，x=−3，即点A的坐标为−3,0，当x=0时，y=3，即点B的坐标为0,3，将A−3,0，B0,3代入得−9−3b+c=0c=3∴b=−2∴抛物线的解析式为y=−（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为m,−m

则m<0，−m∵y=−x∴对称轴为直线x=−1，顶点D设抛物线的对称轴与轴交于点G，连接FG，则G−1,0，AG=2∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=−1∴E点坐标为−1,2.∵S==∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2解得：m1=−3−当m=−3−−=−=−3+m+3=m=∴点F的坐标为−3−21（3）设点P坐标为−1,n，∵B0,3，∴B分两种情况①如图2，

若∠PBC=90°，则PB2+B∴n=8∴点P的坐标为−1,8②如图3，

若∠BCP=90°，则BC2∴n=−∴点P的坐标为−1,−2综上所述，P点坐标为−1,83或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出S△AEF【变式2-2】（2023春·广东梅州·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(−2,5)，B(−1,0)，与x(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P直线AC下方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数的解析式为y(2)S(3)存在，Q1(1,8),Q2(1,−2)【分析】（1）直接把点A(−2,5)，B(−1,0)代入y=x2+bx+c,求出b、c的值即可得出抛物线的解析式；（2）先求出点C的坐标，根据S△PAC=1（3）设点Q的坐标为(1,y)，然后分三种情况讨论：①∠QAC=90°；②∠QCA=90°；③∠CQA=90°．由勾股定理得到关于y的方程，解方程求出y的值即可．【详解】（1）解：将A(−2,5)，B(−1,0)代入y=得4−2b+c=5解得b=−2c=−3∴二次函数的解析式为y（2）将y=0代入y=x2−∴点C(3,0)∵点P直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，如图所示：

则S由A(−2,5)，C(3,0)得直线AC的解析式为：y=−x+3∴设P(x,x2∴xPE=y∴S∵x=−b将x=12代入S△PAC（3）解：存在，Q1(1,8)，Q2(1,−2)∵y=x∴对称轴是直线x=1．∵A(−2,5)，C(3,0)，∴AC设点Q的坐标为(1,y)，分三种情况：①如果∠QAC=90°，那么QA则1+22+y−5所以点Q的坐标为(1,8)；②如果∠QCA=90°，那么QC则1−32+y−0所以点Q的坐标为(1,−2)；③如果∠CQA=90°，那么QC则1−32+y−02+所以点Q的坐标为Q(1,−1)或Q(1,6)．综上所述，所求点Q的坐标为Q1(1,8)，Q2(1,−2)，【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，主要利用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式2-3】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−1)2+92与x轴交于A，B(4，0)(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；【答案】(1)y=−12(x−1)2+92，(2)存在，P(1，5)，(1，−3)，(1，2+7)，(1，2−7)(3)存在，M(85，125【分析】（1）将B(4，0)代入y=a(x−1)2+（2）根据题意y=−12(x−1)2+92，对称轴为直线x=1，设P1,n，根据勾股定理BC2=（3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式y=23x+43【详解】（1）解：将B(4，0)代入y=a(x−1)即0=9a+92，解得：∴y=−1令x=0，则y=−1令y=0，则−1解得：x1A(−2,0)，C(0，4)（2）解：存在点P，∵y=−12(x−1)设P1,n∵B(4，0)，C(0，4)，∴BC2=4①当∠BCP=90°时，BP∴4−12+n2=32解得：n=5②当∠CBP=90°时，PC∴12+4−n2=4−1解得：n=−3③当∠BPC=90°时，BC32=4−12+n2解得：n=2−7或n=2+综上所述：P(1，5)，(1，−3)，(1，2+7)，(1，2−7)（3）存在点M使AM+OM最小，理由如下：作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，由对称性可知，OM=QM，∴AM+OM=AM+QM≥AQ，当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB=OC，∴∠CBO=45°，由对称性可知∠QBM=45°，∴BQ⊥BO，∴Q(4，4)，设直线AQ的解析式为y=kx+b，∴−2k+b=04k+b=4解得k=2∴直线AQ的解析式y=2设直线BC的解析式为y=mx+4，∴4m+4=0，∴m=−1，∴直线BC的解析式为y=−x+4，联立方程组y=−x+4y=解得x=8∴M(85，125【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，过动点D0,m作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线

(1)求抛物线的表达式；(2)求m的取值范围；(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=1(2)m>−25(3)存在，2或4．【分析】（1）把点A−1,0和点B4,0代入（2）将抛物线解析式化成顶点式，求得y的最小值为−258．由直线l与抛物线有两个交点，即可得出（3）分两种情况：①当∠BCP=90°，BC=PC时，②如图，当∠CBP=90°，BC=BP时，分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−2经过点A∴a−b−2=0，解得a=∴抛物线的表达式为y=1（2）解：y=1∴y的最小值为−25∵直线l与抛物线有两个交点，∴m>−25（3）解：存在．当x=0时，y=1∴点C的坐标为0,−2．①如图，当∠BCP=90°，BC=PC时，过点P作PG⊥y轴于G，∴∠BOC=∠CGP=90°．∵∠BCO+∠PCG=90°，∠GPC+∠PCG=90°，∴∠BCO=∠CPG．

在△BCO和△CPG中，∠BOC=∠CGP，∴△BCO≌△CPG．∴CG=BO=4．∵CO=2，∴m=OG=4−2=2．延长PC至P′使得CP′易得，此时m=−6．（不合题意，舍去）②如图，当∠CBP=90°，BC=BP时，过点P作PM⊥x轴于M，

∵∠BOC=∠BMP=90°，∠BCO+∠OBC=90°，∠PBM+∠OBC=90°，∴∠BCO=∠PBM．∴△BCO≌△PBM．∴PM=BO=4．∴m=PM=4．延长PB，使得BP′=BP同理可得，m=−4．（不合题意，舍去）综上所述，直线l上存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形．m的值为2或4．【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解．【变式3-1】（2023春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平分线交线段AC于点(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为(3)P点的坐标为：P1(3+52,1−52)，P2(3−52,1+52)，P3(5+【分析】（1）根据对称轴可得x=−b2a=2（2）设P(m，m2−4m+3)，根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【详解】（1）解：依题意，x=−b∴b=−4a，∴抛物线解析式为y=ax将点B1,0代入得解得：a=1，∴抛物线的解析式；y=x（2）如图2，设P(m，∵OE平分∠AOB，∠∴∠∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，设直线OE的解析式为y=kx，∴3=3k，解得：k=1，则直线OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点∴G(m,m)，∴PG=m−(m∴S=12×3×3+12=92+12=−32m2+15=32m−52∵−32<0∴当m=52时，S有最大值是75（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，∵∠OMP=∠OPF=∠FNP=90°∴∠MOP=90°−∠OPM=∠NPF∴△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P(m,m则−m解得：m=5+52∴P的坐标为(5+52,1+52)或(5−52如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，连接PF．同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则−m解得：x=3+52P的坐标为(3+52，1−52)或(3−综上所述，点P的坐标是：P1(3+52,1−52)，P2(3−52,1+52)，P3(5+5【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第(2)问时需要运用配方法，解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．【变式3-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3交x轴于点B，交y轴于点C，直线AD交x轴于点A，交y轴于点D，交直线BC于点E−12(1)求直线AD解析式；(2)点P从B点出发沿线段BA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动（点P不与A，B两点重合），设点P的运动时间为t，则是否存在t，使得△AEP为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从C点出发沿射线CO方向运动，当点P到达终点时，点Q也停止运动，连接AQ，PQ，设△APQ的面积为S，S与t的函数关系式为S=32t2−12t+【答案】(1)y=x+4(2)存在t=72使得(3)a=−32【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据CD=1求出点D的坐标，再根据点D和点E的坐标利用待定系数法求解即可；（2）先求出点A和点B的坐标，得到OA=OD=4，则∠OAD=45°，推出当△AEP为等腰直角三角形时，只存在∠APE=90°或∠AEP=90°两种情况，当∠APE=90°时，此时EP⊥AP，即EP⊥x轴，当∠AEP=90°时，则点E在线段AP的中垂线上，则此时点A和点P关于直线x=−1（3）将3，12代入S=at−1t−7中即可求出a的值；再根据当1<t<7时，S是关于t的二次函数，利用二次函数的对称性得到当t=4时，S有最大值，最大值为272，进而求出AP=3【详解】（1）解：当x=0时，y=−x+3=3，∴点C的坐标为0，∵CD=1，∴点D的坐标为0，设直线AD的解析式为y=kx+b，∴−1∴k=1b=4∴直线AD的解析式为y=x+4；（2）解：当y=−x+3=0时，x=3，∴点B的坐标为3，当y=x+4=0时，x=−4，∴A−4∴OA=OD=4，又∵∠AOD=90°，∴∠OAD=45°，∴当△AEP为等腰直角三角形时，只存在∠APE=90°或∠AEP=90°两种情况，当∠APE=90°时，此时EP⊥AP，即EP⊥x轴，∵E−∴P−∴BP=3−−∴t=7当∠AEP=90°时，则点E在线段AP的中垂线上，∴此时点A和点P关于直线x=−1∴点P的坐标为3，0（舍去，此时点P与点综上所述，存在t=72使得（3）解：将3，12代入S=at−1∴a=−3∵当1<t<7时，S=−32t−1t−7，即∴由对称性可知，当t=1+72=4时，∴BP=4，∴AP=3−−4∵S△APQ∴12∴OQ=9，∴AQ=O【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，二次函数的性质，勾股定理等等，正确理解题意并读懂函数图象是解题的关键．【变式3-3】（2023春·北京通州·九年级统考期末）如图，抛物线y1=ax2−2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D0,3，与直线(1)求抛物线的解析式；(2)在直线y2=−x−3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE【答案】(1)y=−(2)存在，M(3)−2【分析】（1）先求得A−3,0，然后将A−3,0，D0,3（2）设Mm,−m−3，根据△ABM（3）设点E的横坐标xE，分别求出，FxE，−4，GxE+4，−4，HxE+4，0，当F【详解】（1）解：由y=−x−3得，y=0时，x=−3，∴A−3,0∵抛物线y=ax2−2x+c经过A−3,0∴9a+6+c=0c=3，解得∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：由y=−x2−2x+3，令y=0解得：x1∴B1,0∵A−3,0∴AB=4，∵M是直线y2=−x−3上的点，设当AB为斜边时，BM=2∴m−12解得：m1∴M当AB为直角时，BM=2∴m−1解得：m1∴M综上所述，存在M（3）解：∵点E的横坐标xE∴Ex由题可知，FxE，−4，当F点在抛物线上时，−x解得xE=−1+22当G点在抛物线上时，−（解得xE=−5+22∴−22−5<x【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键．【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】【例4】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l

(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A2,0，B6,0(2)存在，P12,0、N10,1或P2−2,8、N20,9【分析】（1）根据题意，令y=0，解方程即可得到A2,0，B6,0，将一般式化为顶点式即可得到定点坐标（2）作出图形，根据题意，要求以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，找出等边或者等角，分类讨论：①PM与BD是对应边；②PM与CD是对应边，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线y=14x2−2x+3与x∴令y=0，则14x2−2x+3=0，解得∴A2,0，B∵抛物线y=1∴C4,−1（2）解：如图所示：

∵C4,−1∴对称轴l:x=4，∴l交x轴于点D2,0，则CD=1，BD=2根据题意可得∠CDB=∠PMN=90°，若以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，则点M与点D是对应点，设点P的坐标为m,14m①当PM与BD是对应边时，则PM=BD=2，MN=DC=1，即m=2∴m=2或−2，当m=2时，14当m=−2时，14∴P12,0、N10,1，②当PM与CD是对应边时，则PM=CD=1，MN=BD=2，即m=1∴m=1或−1，当m=1时，14当m=−1时，14具体情况，如图所示：

∴P31,54、N3综上所述，存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，点P、N的坐标为P12,0、N10,1或P2−2,8、N20,9或【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与坐标轴的交点坐标、二次函数中三角形全等问题，熟练掌握二次函数图像与性质，理解二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．【变式4-1】（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与

(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点Pm,n在抛物线上，当−1≤m<3时，直接写出n(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y(2)−4≤n≤0(3)存在，点P的坐标为0,−3或2,−3【分析】（1）将A，C两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质可求n的取值范围；（3）在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，按照题意，分别求解即可．【详解】（1）解：将A−1,0、C0,3代入抛物线c=−31−b+c=0解得：b=−2c=−3∴抛物线的函数解析式为：y=（2）令y=x解得：x=3或−1，即A−1,0、B∴抛物线的对称轴为x=1，当m=−1时，n=(−1)当m<3时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：y=1−2−3=−4，故n的取值范围为−4≤n≤0；（3）∵D(2，3)到x轴的距离为3，由图象可知，

∵△ABP≌△ABD，则点P在x轴下方，点P到x轴的距离为3，（关于x轴对称，或关于点M中心对称），当y=−3时，x2解得：x=0或x=2，∴点P的坐标为0,−3或2,−3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握是解题的关键．【变式4-2】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l

(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2，0)，(2)存在，点P和点N的坐标分别为：P2,0,N0,1或P−2,8,N0,9或P1,【分析】（1）令y=0，得14x2−2x+3=0,解方程求出x的值，可得（2）分△PMN≅△BDC和△PMN≅△CDB两种情况，依据全等三角形的性质讨论求解即可．【详解】（1）对于y=14x2解得，x∵点A在点B的左侧，∴A(2，又y=∴C4,−1（2）由（1）知，A(2，0)，∵l交x轴于点D∴D∴BD=2,CD=1,∵PM⊥y轴,∴∠PMN=∠BDC=90°,

分两种情况讨论：①当△PMN≅△BDC时，PM=BD=2，MN=DC=1∴点P的横坐标为2或−2；当x=2时，y=1∴P∴M∴N当x=−2时，y=1∴P∴M∵MN=1,∴N②当△PMN≅△CDB时，PM=CD=1,MN=BD=2,∴点P的横坐标为1或−1；当x=1时，y=1∴P∴M∵MN=2,∴N当x=−1时，y=1∴P∴M∴N综上所述，点P和点N的坐标分别为：P2,0,N0,1或P−2,8,N0,9或P1,【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键．【变式4-3】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+22=(2【答案】（1）y=14(x−2)2+1；（2）（2+2【详解】试题分析：根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a(x−2)2试题解析：（1）设抛物线的表达式为y=a(x−2)2解这个方程，得a=14，∴抛物线的表达式为y=14（2）将x=2代入y=x，得y=2

∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，∵△PCQ为等边三角形∴∠CQP=60°，CQ=PQ，∵PQ⊥x轴，∴∠CQG=30°，∴CQ=4，GQ=23．∴OQ=2+23，PQ=4，将y=4代入y=14(x−2)2+1，得4=14解这个方程，得x1=2+23=OQ，x2=2﹣23∴点P的坐标为（2+23，4）；（3）把y=x代入y=14(x−2)2+1，得x=14解这个方程，得x1=4+22，x2=4﹣22＜2（不合题意，舍去）∴y=4+2∴点E的坐标为（4+22，4+22）∴OE==4+42，又∵OC==22，∴CE=OE﹣OC=4+22，∴CE=EF；（4）不存在．如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE∵∠QCP=60°，∴∠MCE=60°，又∵CE=EF，∴EM=EF，又∵点E为直线y=x上的点，∴∠CEF=45°，∴点M与点F不重合．∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点M不存在．考点：二次函数综合题【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】【例5】（2023春·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、B3,0

(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：y(2)点D的坐标为4,5或−2,5(3)存在满足条件的Q点的坐标为2,−3或4,5或−2,5【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）设点D的坐标为x,x2−2x−3（3）分情况讨论，当BC为四边形的对角线时或当BC为边时，分别求解即可．【详解】（1）将A−1,0、B3,0代入a−b−3=09a+3b−3=0解得：a=1b=−2∴抛物线的解析式为：y=（2）设点D的坐标为x,x∵A−1,0、B∴AB=4，∴S△ABD即x2∴x2−2x−3=5或解得：x1=4，∴点D的坐标为4,5或−2,5；（3）抛物线y=x2假设存在，设Pxp,∴x分两种情况讨论：当BC为四边形的对角线时，PB∥CQ，∴xB即2=x此时点Q的坐标为2,−3；②当BC为边时，PQ∥BC，∴xQ−x解得：xQ=4或此时点Q的坐标为4,5或−2,5．综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为2,−3或4,5或−2,5．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式5-1】（2023春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案