陕西省宝鸡市某中学2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

陇县中学2023〜2024学年度高二第一学期期末考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题

区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

］已知集合N={xlx-2<0},8={尤|-3<2x<6},则2口5=（

A.x~—<x<3>B.{x\-2<x<2}C.<x~—<x<2>D.{x|-2<x<3}

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集运算即可求解.

【详解】'''A={x|x<2},B=<x-^<x<3N|-g<x<2>.

故选：C

2.若直线：x—y+2=0与直线6：2x+ay—3=0平行，则实数a的值为（）

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】解方程lx"(_l)x2=0即得解.

【详解】解：由题得Ixa-(-l)x2=0,:.a=-2.

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经检验，当。=-2时，满足题意.

故选：A

22

%歹二

3.若方程1表示焦点在V轴上的双曲线，则实数用的取值范围为()

4-m21+m

A.(-<x),-2)B.(-2,-1)

C.(-2,2)D.(-1,1)

【答案】A

【解析】

22-1-m>0

【分析】原方程可变形为二--------—二1，根据已知有《-4+病〉。’解出即可.

-m-lm-4

22

【详解】因为方程一上一=1表示焦点在〉轴上的双曲线,

4—m1+m

2222

可变形为二--------—=1.

4-m1+m-m-lm-4

-1-m>0m+1<0

所以有《解得m<-2.

-4+m2>0m2-4>0

故选：A.

4,函数/(x)=c°sW的部分图像大致为

ex+1

【解析】

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【分析】由解析式可知，函数/（x）为奇函数，因而排除B、D,再由特殊值即可选出正确选项.

【详解】因为/（—X）=—/（X）,所以函数/（X）为奇函数，排除B,D,

故选A

【点睛】本题考查了已知解析式判断函数图像，注意此类问题的常用解法：奇偶性，单调性及特殊值，极

限值等，属于中档题.

5.在棱长为2的正方体ass—44GA中，E是CG的中点，则石•西=（）

3

A.0B.1C.-D.2

2

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，

则/（2,0,0）,£（0,2,1）,8（2,2,0）,2（0,0,2）,

所以，乐=(—2,2,1),西=(—2,—2,2),

所以，而西=4-4+2=2.

6.已知点4（再,0）,8（0,必）,C（6,8）,且满足x：+疗=4,点、D为AB的中点，则的最大值为（

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A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】设。点坐标（为，%），由中点坐标转化可得其+诉=1，即得点。的轨迹，利用点与圆的位置关

系，即可求得的最大值.

【详解】解：根据题意可得，设。点坐标（为,%）,可知/=曰，％=T，则X]=2x0,y,=2y0,

又=4,代入得4x；+4弁=4,即=1,可得。点是在以（0,0）点为圆心，半径为1的圆上,

|CZ）|=|OC|+r=V62+82+l=ll.

IImaxII

故选：c.

7.如图，已知正方体4BCD-481GA的棱长为1，点E为AS1上一动点，现有以下四个结论，其中不正

确的结论是

A.NG，平面4aD

B./石//平面。。£）[。]

C.当E为5g的中点时，A4E。的周长取得最小值

D.三棱锥4-/EG的体积不是定值

【答案】D

【解析】

【分析】逐项分析各选项即可.

【详解】ZG，平面48。是始终成立的，故选项A正确；选项B显然正确；平面8。。]用展开到平面

28吕4在同一个平面，则当E为8瓦的中点时，ZE+EG最小，故选项C正确；VA[_AEC[=Vc>_AEAi=1.

故选项D不正确.

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【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直，三棱锥的体积，属于中档题.

2

Y,右顶点分别为aB,且椭圆c的离心率为画，点尸是椭

8.已知椭圆C：一+=l（a〉b〉O）的左

ab26

圆。上的一点，且tan/jP4B=工，则tan03（）

4

101111c10

A.——B.——C.—D.——

910109

【答案】B

【解析】

【分析】设夕（演，儿）是椭圆上的点，设左二tan/PZB=;，左2二一tan/尸以求出左•内为定值，从而

能求出tan/PBA的值，然后根据ZAPB=-tan（ZPAB+ZPBA）求解.

22

【详解】设A（x0,y。）代入椭圆方程，则乌+誓=1(«>6>0)

a~b~

b2

整理得:2=tan/PAB=—,=-tanZPBA

%4

又占=y0所以

x0+a

b2a2-c2(YA(

k、•h=———y0

222

xQ+ax0-aXQ-aaa

而尢=tan/尸45=:，所以左2=-tanN尸A4=-g,所以

12

/cc/2/ftanZPAB+tanAPBA43_Il

tan/PBA=—tan/APB--tan(ZPAB+ZPBA)=--------------------------------

3171-tanZPAB-tanZPBAio

43

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图是导函数歹=/'（x）的图象，则下列说法正确的是（）

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A.函数>=/(x)在区间(1,3)上单调递减B.函数>=/(x)在区间(-e,0)上单调递减

C.函数y=/(x)在x=l处取得极大值D.函数y=/(x)在x=—2处取得极小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.

【详解】对于A.因为>=/'(x)<0在区间(1,3)上成立，所以区间(1,3)是y=/(x)的单调递减区间，

故A正确；

对于B.因为当—2<x<0时，#(*>0,当x<—2时，r(x)<0,所以>=/(x)在(―”,0)上不单调，

故B错误；

对于C.因为当—2<x<l时，/个)>0,当l<x<3时，r(x)<0,函数y=/(x)在x=l处取得极大值,

故C正确；

对于D.因为当x<—2时，r(x)<0,当—2<x<l时，*3>0,所以函数y=/(x)在x=—2处取得极

小值，故D正确.

故选：ACD.

10.已知｛4｝为等差数列，满足2a5-%=3，也｝为等比数列，满足打=1,a=4,则下列说法正确的

是()

A.数列｛%｝的首项为1B.%=3

C.%=16D.数列也｝的公比为±2

【答案】BCD

【解析】

2

【分析】由2%一生=3可推得/+6d=3,即可判断A、B；由仇=1,"=4,可推得"=4"=16,?=4,

即可判断C、D.

【详解】设｛4,｝的公差为d,也｝的公比为“

对于A,由2%-%=3，得2(%+41)-(q+2d)=3,

整理可得，%+6d=3,所以%不确定，故A错误；

对于B,因为q+61=3,所以有%=3,故B正确；

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对于C,因为3=3=4,所以4=4“=16,故C正确；

“b2

对于D,由已知可得，d=3=4,所以q=±2,故D正确.

&

故选：BCD.

11.已知抛物线C：「=2.（）〉0）的焦点/在直线y=2x—1上，点尸在抛物线上，点。在准线/上，

满足「。//》轴，1?。同。尸1，则（）

A.p=\B.直线尸尸的倾斜角为60。

C.\PF\=2D.点尸的横坐标为3

【答案】AC

【解析】

【分析】计算焦点/的坐标，从而可得P的值，判断选项A,再由已知条件分析可得△尸。口为等边三角

形，从而得NFQ4=3。°,NPFB=NQPF=60°,即可判断选项B,在RtZ\/09，计算|0尸|的值，即可

得|尸尸］,判断选项C,利用点尸到准线的距离列式计算点P的横坐标判断选项D.

【详解】依题意，可得点尸的坐标为［；,（）］,从而得。=1,A正确；

因为点。在准线/上，尸。//》轴，二|00|=|尸尸|,

又IPQ1=1QF|,.^PQF为等边三角形，NPQF=ZQPF=60°,

如图，当点尸在第一象限，得AFQA=30°,NPFB=ZQPF=60°,

即直线PE的倾斜角为60°,

若点尸在第四象限，同理可得直线尸尸的倾斜角为120。，B错误；

在RS/QE中，\QF^2\AF\=2,.-.\PF\=\QF\=2,C正确；

13

所以点尸的横坐标为2--=-,D错误.

22

故选：AC.

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F

Wo卜尸BX

12.已知函数/(x)=e，—ax(aeR),则下列说法正确的是()

A.当a=2时，/(x)在(-oo,ln2)上单调递增

B.当a=e时，/(幻》0在区上恒成立

C.存在.<0,使得/&)在(-叫0)上不存在零点

D.对任意的a>0,/(x)有唯一的极小值

【答案】BD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理逐项判断即得.

【详解】对于A,当。=2时，/(x)=eA-2x,求导得/'(x)=e-2,由/'(x)<0,

得x<ln2,则/(x)在(-8,In2)上单调递减，A错误；

对于B,当a=e时，f(x)=ex-ex,求导得/'(x)="—e,由/'(x)<0,得x<l,

由/'(x)>0,得x>1,则/(x)在(―吟1)上递减，在(1,+s)上递增，/(x)min=/(l)=0,B正确;

对于C,当a<0时，f(x)=ex-ax,f(x)=ex-a>0,/⑶在R上为单调递增，

又/(0)=1,/(l)=e«-l<0,则/⑴在(-8,0)上一定存在零点,C错误；

a

对于D,当a>0时，f(x)=ev-ax,由/'(x)=e*-a〉0,得x>lna,/'(x)<0,得x<lna,

则/(x)在(-oo,lna)上递减，在(lna,+co)上递增，/(》)有唯一的极小值，D正确.

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，％2al9=16,则log?as+log,a23=.

【答案】4

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【解析】

【分析】由条件,结合等比数列性质可得a8a23=16,再对数运算性质求log2a8+log2a23即可•

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，所以42%9=。8。23，

又012al9=16,所以a8a23=16,

4

所以log?as+log2a23=log2a8a23=，

故答案为：4.

14.已知向量加=(2,4,a),n=(-1,6,3),若〃=%加，贝!I一加|=.

【答案】

【解析】

-1=22

【分析】根据］=；1而，列出＜b=42,分别求出a,ZU，然后得到加进而计算，可求出|屋£|的值.

3=Aa

-1=222=_

【详解】=〃=%加，故＜b—42,解得＜b=-2,故加=(2,4,—6),n-(-1,-2,3)»

3=Aaa=-6

n-m=(―3,—6,9)，贝U4一记|=J(—3＞+(―6了+9?=V126=3714

故答案为：3V14

22

15.已知双曲线二+匕=1的一条渐近线与直线6x-2y-1=0垂直，则加的值为.

4m

4

【答案】—§

【解析】

【分析】由垂直得一条渐近线的斜率，从而结合双曲线标准方程求得加值.

【详解】一条渐近线与直线6x-2y-1=0垂直，则该渐近线的斜率为-g,

22___

双曲线的标准方程为----―1,a=2,b=y/—m，

4-m

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4

故答案为：—.

9

16.已知函数/(x)=e、—er—x,若/(r+/)+/(3/)<0成立，则实数/的取值范围为.

【答案】(-4,0)

【解析】

【分析】由函数解析式可知函数”X)是奇函数，利用导数可判断函数/(x)在R上单调递增，利用函数单

调性可知/(r+/)+/(3/)<0等价于r+t<-3t，解出不等式即可求得实数/的取值范围.

【详解】由题得函数的定义域为R,

因为/(—%)=「—e，+x=—/(x),所以函数/(x)是奇函数.

又(x)=e'+b—122信5—1=1>0恒成立，所以函数在R上单调递增；

不等式+t)+f(3t)<0等价于f/+?)<-/(3/)=/(-3/)-

所以r+/<—3小即/+4/<o,解得—4</<0.

所以实数t的取值范围为(-4,0).

故答案为:(-4,0)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.已知函数/(x)=x?-3x+lnx+2.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)求/(x)的极值.

【答案】(1)单调递增区间为［(),；］和(1,+q)，单调递减区间为

3

(2)极大值为——ln2,极小值为0.

4

【解析】

【分析】(1)求出导函数/(X),在定义域内由/'(x)>0得增区间，由/'(x)<0得减区间；

(2)由单调性得极值点，计算得极值.

【小问1详解】

/(X)的定义域为(0,+8),

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r(x)=2x_3+L(2xl)(l),令解得o<x<］或x>l,

xx2

令r(x)<o,解得g<x<i,

所以/(x)的单调递增区间为］0,；］和(1,+8),单调递减区间为U；

【小问2详解】

由⑴可知，/(x)在上单调递增，在H上单调递减，在0,+8)上单调递增.

，1、1?13

又/-=---+ln-+2=--ln2,/(1)=1-3+2=0,

12J4224

3

所以/(X)的极大值为出2,极小值为0.

18.记Sn为等比数列｛4｝的前〃项和，%=8,邑=2(电+3).

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若5n=胃，求加的值.

【答案】(1)%=2，"(2)6

【解析】

【分析】(1)设｛2｝的公比为/根据题意列出方程即可求解公比，写出通项公式(2)根据等比数列的前

n项和公式即可求解.

【详解】(1)设｛%｝的公比为4，由题意得：4+%=。2+6

所以8+8/=8q+6,即4/—4q+l=0

则q=g，

所以%=8x［g］=24

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所以16—2-"=巴，解得加=6.

4

【点睛】本题主要考查了等比数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题.

19.在乙43。中，已知3+2sinB=4cos25,且5为锐角.

(1)求sin5；

(2)若(4+而)sin5=/C-(sin/+sinC)，且的面积为半，求的周长.

【答案】(1)sinB=-；

4

(2)5+V15.

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式化简已知等式，可求得sinB,

(2)利用已知及正弦定理求得a+c,再利用三角形的面积和余弦定理可求出6,从而可求出。的周长.

【小问1详解】

由3+2sin5=4cos2B,

得3+2sinB=4cos23=4(1-2sin25j,

化简得8sin2B+2sin5—1=0

解得sioB=—或siiLB=--,

42

因为5为锐角，

所以sin5>0,所以sin5=L.

4

【小问2详解】

设AABC的内角4民。的对边分别为a,b,c,

因为(4+屈)sinB=ZC・(sin4+sinC)，

所以(4+VI?)力=b(a+c),

所以a+c=4+A/T5•

因为AABC的面积为—,

2

所以LcsiiiB=—acx—=^^-

2242

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所以ac=4A/T5•

因为5为锐角，sirLB二一，

4

所以cosB-Vl-sin2B-45

4

22

所以余弦定理得/=a+c-2accosB

a+c-2ac-2acx—

4

=（4+7i5）2-8Vi5-8V15x^-=l,

所以b=l,

所以A45c的周长为5+

20.如图，在长方体48co-4与。1〃中，43=24=4,40=2,AE=^AB.

（2）求直线QE与平面QEG所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵g

63

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.

（2）利用（1）中坐标系，求出平面DEC1的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.

【小问1详解】

在长方体48C。-44G〃中，以。为坐标原点，向量而，反，函分别为x，y，2轴建立空间直角坐标系,

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有。(0,0,0),Z(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),£(2,1,0),£>,(0,0,4),G(0,4,4),

则*=(—2,4,0),瓦=(2,1,0),皿=(0,0,4),^C-D£=(-2)x2+4x1=0,〃•西=0,

因此NC_LD£,ACLDDX,又DE\DD、=D,DE,DQu平面。。也，

所以/CL平面。。也.

【小问2详解】

设平面DE。的法向量为五=(x,y,z),由丽=(2,1,0),DQ=(0,4,4),

m=2x+y=0一

有,取x=l,得加=(1,—2,2),

•丽=4y+4z=0

设直线RE与平面DE。所成的角为，，而EQ=(-2,-1,4)

----*—►IED,mI88A/21

则sin0=|cos〈E£>],m)\=I一•

VHX3-63

\ED{\\m\

所以直线。E与平面DEG所成角的正弦值为‘包

63

21.已知椭圆。：土+匕=1,直线/:歹二工+加(其中加＜0)与椭圆C相交于4台两点，。为43的中

32

点，。为坐标原点,

(1)求加的值；

(2)求AQIB的面积.

【答案】(1)«=-1

⑵

5

【解析】

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【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点。的坐标，结合两点间距离公式运算求解;

476

（2）根据（1）中韦达定理可得=，且直线/：y=x-1与x轴的交点为椭圆C的右焦点F（1,O）,

进而可求面积.

【小问1详解】

设48两点的坐标分别为（国,凹，

[22

——%+—y=1

联立方程《32消去V得5x2+6mx+3m2-6=0.

y=x+m

由△=36加2—20（3加2—6）＞0,且加＜0,可得—〈加＜0,

6m_6m.4m

则X]+/——，必+,2=玉+/+2加————F2m—~5~

可得点。的坐标为

,解得加=-1或加=1（舍去）,

所以加的值为-1.

【小问2详解】

634

由（1）可知：/+工2=］，再％2=一］，弘+%=―彳

3—

则必必=（毛—1）（》2_1）=X1X2-（X1+X2）+1=-

555

由椭圆方程可知：a=A/3,6=V2,c=yja~—b2=1，

由直线/：y=x—1与x轴的交点为椭圆。的右焦点F（l,0）,

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所以ACMB的面积为翌a.

5

【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用

根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.

(2)面积问题常采用，=gx底x高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要,

选择容易坐标化的弦长为底.有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面

积问题，常转化为三角形的面积后进行求解.

(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想

的应用.

22.已知函数/(x)=(x+2)lnx-a(x-l)(aeR).

(1)若a=l,求/(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若a之3,试判断/(x)的零点的个数.

【答案】(1)1(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)先求导，把x=l代入，得到切线的斜率，再结合切点坐标写出切线的方程，再求切线与坐标

轴围成的三角形的面积；

(2)函数/(x)的零点个数，即为方程/(x)=0的解的个数，再转化为函数g(x)=Inx-"GT)的零点

JC+2

个数，对g(x)求导，分类讨论当a=3,a>3时函数g(x)的单调性，再找到零点的个数.

【小问1详解】

r।2?

若a=l,/(x)=(x+2)lnx-x+l,f'(x)=\wc+-——l=lnx+-,所以/'(1)=2,即切线的斜率

XX

为2.

又/(1)=0,即切点坐标为(1,0).

所以/(x)在x=l处的切线方程为>=2x—2,

令x=0,解得丁=-2；令y=0,解得x=l.

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所以/(x)