山西省太原市2024年中考二模数学试题（含解析）

山西省太原市上期期末复习重点名校2024年中考二模数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若一次函数丁=奴+人的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（）

b

A.a+b<0B.a-b>0C.ab>0D.-<0

a

2.估计J7+1的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

3.如图，在。O中，弦AC〃半径OB,ZBOC=50°,则NOAB的度数为（）

A.25°B.50°C.60°D.30°

4.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的OO的圆心O在格点上，则NBED的正切值等于（）

5.为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一（160个），周二（160

个），周三（180个），周四（200个），周五（170个）.则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是（）

A.180个，160个B.170个，160个

C.170个，180个D.160个，200个

6.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,

且BE=BF,NBEF=2NBAC,FC=2,贝!|AB的长为（）

A.873B.8C.473

7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①AB=BC,②NABC=90。,③AC=BD,④AC，BD

中选两个作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

8.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是（)

A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7

9.如图，在AABC中,点D为AC边上一点，N£>BC=NABC=逐,AC=3则CD的长为（）

B.C.2D.2

22

10.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上,如果AD=2,BD=3,那么由下列条件能够判定DE〃BC的是（）

DE2DE2AE2AE2

A.B.C.D.

BC3BC5AC3AC5

11.如图，有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE,再将AAED以

DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则ACEF的面积为（）

BADBDBA

DECE

A.4B.6C.8D.10

12.如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法

中正确的是（）

A.左、右两个几何体的主视图相同

B.左、右两个几何体的左视图相同

C.左、右两个几何体的俯视图不相同

D.左、右两个几何体的三视图不相同

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类

运动，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分

那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为%

14.某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的

筒仓）20m的点3处，用高为0.8机的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63。，则筒仓CZ＞的高约为机.（精确到

O.lzra,sin63°~0.89,cos63°~0.45,tan63°=1.96)

15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东

门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图，。瓦G是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于G。

的中点，南门K位于瓦）的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点。在

直线AC上）?请你计算KC的长为步.

16.函数的自变量x的取值范围是.

x—3

17.ABC中，AB=15,AC=13,高AO=12,则ABC的周长为。

18.已知一个正数的平方根是3x—2和5x—6,则这个数是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）计算：（万）一2-炳+（-2）°+|2-瓜|

20.（6分）如图所示，AC=AE,Z1=Z2,AB=AD.求证：BC=DE.

21.（6分）如图，AB为（DO的直径，D为。O上一点，以AD为斜边作AADC,使NC=90。，NCAD=NDAB求证:

DC是。O的切线；若AB=9,AD=6,求DC的长.

22.（8分）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只

能选两人打第一场.

（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；

（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是：三人同时伸“手心、

手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”

都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.

23.（8分）如图，关于x的二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴交于点A（1,0）和点B与y轴交于点C（0,3）,抛

物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P,使APBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，

以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到

何处时，AMNB面积最大，试求出最大面积.

24.（10分）某手机店销售10部4型和20部B型手机的利润为4000元，销售20部A型和10部B型手机的利润为

3500元.

⑴求每部A型手机和B型手机的销售利润；

⑵该手机店计划一次购进A,3两种型号的手机共100部，其中3型手机的进货量不超过A型手机的2倍，设购进A

型手机x部，这100部手机的销售总利润为V元.

①求y关于x的函数关系式；

②该手机店购进4型、3型手机各多少部，才能使销售总利润最大？

⑶在⑵的条件下，该手机店实际进货时，厂家对A型手机出厂价下调机（0（和＜100）元，且限定手机店最多购进A型

手机70部，若手机店保持同种手机的售价不变，设计出使这100部手机销售总利润最大的进货方案.

25.（10分）先化简，再求值：±士在+（》——二），其中x=0.

1+xx+1

26.（12分）（问题情境）

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1,在AA3C中，AB=AC,点P为边3c上任一点，过点

P作PELAC,垂足分别为。，E,过点C作垂足为尸，求证：PD+PE=CF.

图④

小军的证明思路是：如图2,连接AP,由△A8P与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE^CF.

小俊的证明思路是：如图2,过点尸作PGLCF,垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,则PZ>+PE=CF.

［变式探究］

如图3,当点尸在5c延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

［结论运用］

如图4,将矩形ABCD沿E尸折叠，使点。落在点3上，点C落在点。处，点尸为折痕E尸上的任一点，过点尸作

PGVBE.PH±BC,垂足分别为G、H,若40=8,CF=3,求PG+PH的值；

［迁移拓展］

图5是一个航模的截面示意图.在四边形A5C。中，E为A5边上的一点，EDVAD,EC±CB,垂足分别为。、C,

且AZ>CE=Z>E・8C,AB^2y/13dm,AD3dm,BD=聒dm.M.N分别为AE、3E的中点，连接OM、CN,求

△DEM与ACEN的周长之和.

27.(12分)(1)计算：(―1产6—也+90s60尸+(J2016-J2O15)0+83x(-0.125尸；

11?Y

(2)化简(——+--)+——,然后选一个合适的数代入求值.

X+1X—11—X

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

•••一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

/.a<0,b>0,

.\a+b不一定大于0,故A错误，

a-b<0,故B错误，

ab<0,故C错误,

b__

-<0,故D正确.

a

故选D.

2、B

【解析】

分析：直接利用2<近<3,进而得出答案.

详解：•.•2<近<3,

•\3<V7+K4,

故选B.

点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出J7的取值范围是解题关键.

3、A

【解析】

如图，・・・NBOC=50。，

AZBAC=25°,

VAC/7OB,

.*.ZOBA=ZBAC=25O,

VOA=OB,

.\ZOAB=ZOBA=25°.

故选A.

4、D

【解析】

根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知NBED=NBAD,再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.

【详解】

■:NDAB=NDEB,

1

•*.tanZDEB=tanZDAB=—，

2

故选D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键.

5、B

【解析】

根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.

【详解】

解：把这些数从小到大排列为160,160,170,180,200,最中间的数是170,则中位数是170；

160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；

故选B.

【点睛】

此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重

新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数.

6、D

【解析】

分析：连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BOLEF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的

性质可得NBAC=NABO,再根据三角形的内角和定理列式求出NABO=30。，即NBAC=30。，根据直角三角形30。角

所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.

详解：如图，连接OB,

：BE=BF,OE=OF,

ABOIEF,

.•.在RtABEO中，NBEF+NABO=90。，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC,

:.ZBAC=ZABO,

XVZBEF=2ZBAC,

即2ZBAC+ZBAC=90°,

解得NBAC=30。，

.,.ZFCA=30°,

.,.ZFBC=30°,

VFC=2,

：.BC=2y/3,

.*.AC=2BC=4V3，

•••AB=7AC2-BC2=J（45—（2后=6,

故选D.

点睛：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30。角所对的直角

边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出NBAC=30。是解题的关键.

7、B

【解析】

A、；四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，

当②NABC=90。时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；

B、1•四边形ABCD是平行四边形，

二当②NABC=90。时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形,

故此选项错误，符合题意；

C、•.•四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正

方形，故此选项正确，不合题意；

D、1•四边形ABCD是平行四边形，...当②NABC=90。时，平行四边形ABCD是矩形，当④ACLBD时，矩形ABCD

是正方形，故此选项正确，不合题意.

故选C.

8、D

【解析】

试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.把这组数据从小到大排列：3,6,7,7,8,8,8,

8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7,则这组数据的中位数是7

考点：（1）众数；（2）中位数.

9、C

【解析】

CD瓜

根据NDBC=NA,NC=NC,判定△BCDsaACB,根据相似三角形对应边的比相等得到代入求值即可.

76"V

【详解】

VZDBC=ZA,ZC=ZC,

/.△BCD^AACB,

•.•CD-BC,

BCAC

.CD_y[6

.・瑞=亍

ACD=2.

故选:C.

【点睛】

主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

10、D

【解析】

ApAJJAF

根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当——=——或——=——时,DEBD，然后可对各选项进行判断.

DBECABAC

【详解】

5,ADAE^AD4Z7

解：当一=—或一=—时，DE|BD,

DBECABAC

AE21AE2

即nn=—或=—.

EC3AC5

所以D选项是正确的.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定

理的逆定理.

11、C

【解析】

根据折叠易得BD,AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积CF・CE.

【详解】

解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB-AD=4,第三个图中AB=AD-BD=2,

因为BC〃DE,

所以BF：DE=AB：AD,

所以BF=2,CF=BC-BF=4,

所以ACEF的面积=,CF・CE=8；

2

故选：C.

点睛：

本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小

不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点.

12、B

【解析】

直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案.

【详解】

A、左、右两个几何体的主视图为：

上旺

主视图1主视图2

故此选项错误；

B、左、右两个几何体的左视图为：

左视图］左视图2

故此选项正确；

C、左、右两个几何体的俯视图为:

开好

俯视图1俯视图2

故此选项错误；

D、由以上可得，此选项错误;

故选B.

【点睛】

此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1%

【解析】

依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人数，进而得出最喜欢篮球的学生数以

及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比.

【详解】

•••被调查学生的总数为10+20%=50人，

,最喜欢篮球的有50x32%=16人，

则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比.....-—xl00%=l%,

50

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通

过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.

14、40.0

【解析】

首先过点A作AE〃BD,交CD于点E,易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m,DE=AB=0.8m,然后

RtZkACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高.

【详解】

过点A作交CD于点E,

'：AB±BD,CDVBD,

：.NBAE=NA5O=NBOE=90°,

二四边形ABDE是矩形，

.".AE=BD=20m,DE=AB=0.8m,

在RtAACE中，ZCAE=63°,

AC£=AE»tan63o=20xl.96=39.2(m),

,•.CZ>=C£+Z)£=39.2+0.8=40.0Gn).

答：筒仓CO的高约40.0m,

故答案为：40.0

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数

形结合思想的应用.

【解析】

分析：由正方形的性质得到NEZ>G=90。，从而NKZ>C+NHZ>4=90。，再由NC+NKDC=90。，得到NC=NHZ>A,即有

4CKDMDHA,由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA,求解即可得到结论.

详解：尸G是正方形，AZEDG=9Q°,：.ZKDC+ZHDA=90°.

'：ZC+ZKDC=90°,：.ZC=ZHDA.

'：ZCKD=ZDHA=9d°,：.△CKD^ADHA,

：.CK：KD=HD：HA,：.CK：100=100：15,

2000

解得：CK=

3

2000

故答案为:

3

点睛：本题考查了相似三角形的应用.解题的关键是证明△CKOs△O/M.

1)

16、x>----且x彳1

2

【解析】

分析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.

详解：根据题意得2x+lK),X-1#0,

解得xN-二且*1.

故答案为xN,且用1.

2

点睛：本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于0,被开方数大于等于0列式计算即可，是基

础题，比较简单.

17、32或42

【解析】

根据题意，分两种情况讨论：①若NACB是锐角，②若NACB是钝角，分别画出图形，利用勾股定理，即可求解.

【详解】

分两种情况讨论：

①若NACB是锐角，如图1,

VAB=15,AC=13,高AD=12,

•*.在RtAABD中，AD2+BDr=AB~，

即：BD=VAB2-AD2=V152-122=9，

同理：CD=ylAC2-AD-=7132-122=5»

，，ABC的周长=9+5+15+13=42,

②若NACB是钝角，如图2,

'：AB=15,AC=13,高AD=12,

•••在RtAABD中，AD~+BD~=AB2,

即：BD=^AB1-AD2=V152-122=9>

同理：CD=ylAC2-AD-=V132-122=5»

.•.乙ABC的周长=9-5+15+13=32,

故答案是：32或42.

"DCBcD

【点睛】

本题主要考查勾股定理，根据题意，画出图形，分类进行计算，是解题的关键.

18、1

【解析】

试题解析:根据题意，得：3x-2+5x-6=0,

解得：x=L

3x—2—1,5%—6——1.

(±1)2=1.

故答案为1

【点睛】

：一个正数有2个平方根，它们互为相反数.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、20

【解析】

直接利用零指数幕的性质以及负指数幕的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简得出答案.

【详解】

解：原式=4-3+1+20-2=20.

【点睛】

本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数骞、负指数暮、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要

掌握这些知识点.

20、证明见解析.

【解析】

试题分析：由N1=N2,可得NC4B=N£AQ,AC=AE,AB=AD,则可证明ABC=..ADE,因此可得6C=DE.

试题解析：Z1=Z2,Zl+ZEAB=Z2+ZEAB,gpZCAB=ZEADABC和ADE中，

AC=AE

{ZCAB=ZEAD：.ABC^.ADE(SAS),BC=DE.

AB=AD

考点：三角形全等的判定.

21、(1)见解析；(2)275

【解析】

分析：

(1)如下图，连接OD,由OA=OD可得NDAO=NADO,结合NCAD=NDAB,可得NCAD=NADO,从而可得

OD//AC,由此可得NC+NCDO=180。，结合NC=90。可得NCDO=90。即可证得CD是。O的切线；

(2)如下图，连接BD,由AB是。。的直径可得NADB=9(F=NC,结合NCAD=NDAB可得△ACDs^ADB,由

AF)AR

此可得——=—,在RtAABD中由AD=6,AB=9易得BD=3j?,由此即可解得CD的长了.

CDBD

详解：

(1)如下图，连接OD.

VOA=OD,

:.ZDAB=ZODA,

；NCAD=NDAB,

:.ZODA=ZCAD

・・・AC〃OD

.*.ZC+ZODC=180°

,:ZC=90°

AZODC=90°

.\OD±CD,

・・・CD是。O的切线.

(2)如下图，连接BD,

TAB是。O的直径，

:.ZADB=90°,

VAB=9,AD=6,

・•・BD=的2—6=叵=3小,

VZCAD=ZBAD,ZC=ZADB=90°,

AAACD^AADB,

.ADAB

••—9

CDBD

.69

,•而—访‘

点睛:这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆

的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.

22、(1)—(2)—

34

【解析】

(1)由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可；

(2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率.

【详解】

解：(1)•确定小亮打第一场，

...再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为1;

(2)列表如下：

手心手背

手^手背手手背

Z\/X

手^手背壬已羊背手^手背手心手背

所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个，

21

则小莹与小芳打第一场的概率为=

84

【点睛】

本题主要考查了列表法与树状图法；概率公式.

23、(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点P的坐标为：(0,3+30)或(0,3-30)或(0,-3)或(0,

0)；(3)当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处

或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

【解析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当APBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；

②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

(3)设AM=t则DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解析式化为顶点式，根据二

2

次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x

轴下方2个单位处.

【详解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+b+c=0

。=3

解得：b=-4,c=3,

...二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,则x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

AB(3,0),

.\BC=30,

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时，PC=3V2，；.OP=OC+PC=3+3后或OP=PC-OC=3及-3

APi(0,3+3及)，P2(0,3-372);

②当PB=PC时，OP=OB=3,

；.P3(0,-3)；

③当BP=BC时，

•/OC=OB=3

,此时P与O重合，

/.P4(0,0)；

综上所述，点P的坐标为：(0,3+372)或(0,3-3后)或(-3,0)或(0,0)；

(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2-t,则DN=2t,

/.SAMNB=-X(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在

对称轴上x轴下方2个单位处.

24、（1）每部A型手机的销售利润为100元，每部3型手机的销售利润为150元；（2）①>=-50元+15000；②手机店购

进34部A型手机和66部3型手机的销售利润最大；（3）手机店购进70部A型手机和30部3型手机的销售利润最大.

【解析】

（1）设每部A型手机的销售利润为。元，每部3型手机的销售利润为b元，根据题意列出方程组求解即可；

（2）①根据总利润=销售A型手机的利润+销售B型手机的利润即可列出函数关系式；

②根据题意，得100-解得与，根据一次函数的增减性可得当当％=34时，V取最大值；

（3）根据题意，y=（m-5O）x+15OOO，与Vx<70,然后分①当0<相<50时，②当m=50时，③当50<m<100

时，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】

解：（1）设每部4型手机的销售利润为。元，每部3型手机的销售利润为b元.

10a+20/?=4000

根据题意，得<

20a+10/?=3500

a=100

解得

b=150

答：每部A型手机的销售利润为100元，每部3型手机的销售利润为150元.

⑵①根据题意，My=100%+150（100-x）,BPy=-50x+15000.

②根据题意，mOQ-x<2x,解得吗

3

y=-50x+15000,-50<0,

随x的增大而减小.

♦.•%为正整数，

••・当天=34时，丁取最大值，100-x=66.

即手机店购进34部A型手机和66部8型手机的销售利润最大.

（3）根据题意，得y=（100+m）x+150（100—x）.

即y=（加-5O）x+15OOO,x＜70.

①当0＜加＜50时，V随％的增大而减小，

,当％=34时，V取最大值，即手机店购进34部A型手机和66部3型手机的销售利润最大；

②当机=50时，m—50=0,y=15000,即手机店购进A型手机的数量为满足gvxK70的整数时，获得利润相

同；

③当50＜机＜100时，m-50＞0,V随x的增大而增大,

.•.当％=70时，V取得最大值，即手机店购进70部A型手机和30部3型手机的销售利润最大.

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解此题的关键在于熟练掌握一次函数的增减性.

25、1+72

【解析】

先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

【详解】

x(x+2).1%2+%X、

解:原式=

l+xI%+1

x+l?

x(x+2)%2

1+xx+1

_x(x+2)x+1

1+xx2

_x+2

x

当%=y/2时，

原式=与2=1+e.

V2

【点睛】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

26、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；［变式探究］见解析；［结论运用］PG+PH的值为1；［迁移拓展］（6+2灰）

dm

【解析】

小军的证明：连接AP,利用面积法即可证得；

小俊的证明：过点尸作PGLCT,先证明四边形尸。歹G为矩形，再证明APGC之△CEP,即可得到答案；

［变式探究］小军的证明思路：连接AP,根据5443©=544社-5人4(7尸，即可得到答案；

小俊的证明思路：过点C,作CGLOP,先证明四边形C尸。G是矩形，再证明△CGP之△CEP即可得到答案；

［结论运用］过点E作EQLBC,先根据矩形的性质求出BF,根据翻折及勾股定理求出DC,证得四边形EQC。是矩

形，得出5E=3尸即可得到答案；

［迁移拓展］延长A。，BC交于点F,作BHLA尸，证明AAOEsABCE得到FA=FB,设利用勾股定理求出x

得到Rff=6,再根据NAOE=N5CE=90。，且M,N分别为AE,5E的中点即可得到答案.

【详解】

小军的证明：

连接AP,如图②

图②

'：PD±AB,PE±AC,CFLAB,

•e•SAABC=SAABP+SAACPf

111

:.-ABxCF=-ABxPD+-ACxPE,

222

*：AB=AC,

：.CF=PD+PE.

小俊的证明：

过点尸作PGJ_C凡如图2,

VPD±AB,CF±ABfPG±FC,

/.ZCFD=ZFDG=ZFGP=90°,

J四边形PDFG为矩形，

：.DP=FGfZPPG=90°,

：.ZCGP=90°9

PEA.AC,

：.ZCEP=90°9

:.ZPGC=ZCEP9

■:ZBDP=ZDPG=90°,

：.PG//AB,

：.ZGPC=ZBf

*：AB=AC9

：.ZB=ZACBf

：.ZGPC=ZECP9

在4尸6。和4CEP中

NPGC=/CEP

<ZGPC=ZECP9

PC=CP

:•△PGC9/\CEP,

：.CG=PE,

：.CF=CG+FG=PE+PD；

［变式探究］

小军的证明思路：连接AP,如图③,

9

：PD±ABfPELAC,CF±ABf

•e•SAABC=S^ABP-SAACP,

111

:.-ABxCF=-ABxPD--ACxPE,

222

9：AB=AC,

：.CF=PD-PE；

小俊的证明思路：

过点C,作CGJ_DP,如图③，

VPD±AB,CF±ABfCGLDP,

：.NCFD=ZFDG=ZI>GC=90°,

：.CF=GD,ZZ)GC=90°,四边形CFDG是矩形,

9

：PE±AC9

・・・NC£P=90。，

：.ZCGP=ZCEP9

VCG±DP,ABLDP,

：.ZCGP=