人教版九年级数学上册专项复习：圆周角（巩固篇）（专项练习）

专题24.12圆周角（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

i.下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.过弦的中点的直线必过圆心

2.如图，四边形ABCD的顶点A,B,C在圆上，且边CD与该圆交于点E,AC,BE

交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是（）

0

A.ZADEB.ZAFEC.ZABED.ZABC

3.如图，菱形O48C的顶点A、B、C在圆。上，且NOAB=60。，若点尸是圆周上任

意一点且不与A、B、C重合，则/APC的度数为（）

0

B

A.60°B.120°C.60°或120°D.30。或150°

4.如图内接于是：O的直径，若48=20。，则NG4D的度数是（）

♦

A.60°B.65°C.70°D.75°

5.如图，。是一ABC的外接圆，ZB=60°,OD_LAC于点。，OD=2&,贝U。的

直径为（）

A.45/3B.8C.8-73D.12

6.。是.ABC的外接圆，若3c长等于半径，则NA的度数为（）

A.60°B.120°C.30。或150°D.60°或30°

7.如图，四边形ABC。的外接圆为。O,BC=C。，/D4c=36。，ZAC£>=44°,则/AOB

的度数为（）

8.如图,C,。是。上直径两侧的两点，若ZABC=20。，则/BDC的度数是（）

A.50°B.60°C.80°D.70°

9.已知锐角NAO3,如图，

（1）在射线。1上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作弧尸。，交射线于点O,

连接8;

（2）分别以点C,。为圆心，CO长为半径作弧，交弧尸。于点"，N；

（3）连接OM,MN.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的（)

°歹

Q

A./COM=NCODB.若OM=MN.则/OCQ=80。

C.MN//CDD.MN=3CD

10.如图，AB,分别是。。的直径,连接8C、BD,如果弦且NCZ)E=

62。，则下列结论错误的是（）

B

A.CB上BDB.ZCBA=31°C.AC=AED.BD=DE

11.如图，已知AB是O的直径，弦CD与A5交于点E,设NABC=a,ZABD=J3,

ZAEC=7,则()

B

€

A

A.a+(3—y=90°B./3+y-a=90°

C.«+7一4=90。D.a+4+/=180。

二、填空题

12.如图，AB为O的直径，点C,O,E在。上，且&)=&)，/E=80。，则ZA3C

的度数为.

13.如图，在菱形ABC。中，BC=6,NC=120。，点E是射线C。上一点，连接BE,

点P在BE上，连接AP,若NBAP=NCBE,则△AB尸面积的最大值为.

14.如图，O是RCABC的外接圆，/54C=90°,44c的平分线交，O于点，ZABC

的平分线交4。于点E,连接8。，若。的直径是四，则。E的长为.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A坐尸的坐标分别为(-1，2),(L4),(2,1).若点C的

横坐标和纵坐标均为整数，且/ACB//AP3,则点C的坐标为.(写出一个正确

的坐标即可)

±_I_________I___L_1____I_____I___.

16.如图，半圆的直径AB=5cm,弦AC=3cm,把AC沿直线AD对折，且AC恰好

17.如图，ABC内接于。O,N54C=25。，ABC外角N4BE的平分线交。。于点Q,

若BC=BD,则NC的度数为.

18.如图，zkABC中，ZABC=90°,AB=4,8C=8,将A4BC终点A逆时针旋转（B

与。为对应点）至AADE,旋转过程中直线BD,CE相交于R当从第一次与平行

旋转到第二次与2c平行时，点厂运动的路径长为.

19.如图，线段AB=4,以线段A3为斜边作品ABC,AC>BC,NC的平分线CN与

线段AB的垂直平分线交于点加，则线段CM的取值范围为.

1c

20.如图，动点M在边长为4的正方形A8CO内，且P是C。边上的一个

动点，E是边的中点，则线段PE+PM的最小值为.

D__P

21.如图，在。中，半径为4,将三角板的60。、90。角顶点A,8放在圆上，AC,BC

两边分别与。交于。，E两点，BE=DE,则△ABC的面积为.

22.如图，在平面直角坐标系中，。加经过原点，且与x轴交于点A(4,0),与y轴交

于点B,点C在第四象限的。M上，且/AOC=60。，OC=3,则点B的坐标是.

三、解答题

23.如图，CD是。。的直径，NEO£>=84。,，AE交。。于点B,且AB=OC,求BE的

度数

24.如图，。是-ABC的8c边上一点，连结AD,作的外接圆。，将一AOC沿

直线AD折叠，点C的对应点E落在。上.

(1)若NABC=30。，如图1.

①求ZACB的度数.

②若AD=DE,求NE4B的度数.

(2)若&。=8£,43=4,。=2,如图2.求BC的长.

C

25.如图，已知A3是。0的直径，点C,。在。。上，/。=60。且A8=6,过。点作

OE±AC,垂足为E.

(1)填空：ZCAB=度;

(2)求OE的长；

(3)若。£的延长线交。。于点F求弦ARAC和尸C围成的图形(阴影部分)的面积

S.

26.如图，。。是以△ABC的边AC为直径的外接圆，ZACB=54°,如图所示，O为。。

上与点2关于AC的对称点，尸为劣弧8C上的一点，DF交AC于N点、,8。交AC于M点.

(I)求/。8C的度数；

⑵若尸为弧BC的中点，求M黑N.

ON

D

27.如图，CD与EF是。。的直径，连接CE、CF,延长CE到A,连接并延长,

交CF的延长线于点8,过点厂作。。的切线交于点G,点。是AB的中点.

⑴求证：EFIIAB；

(2)若AC=3,CD=2.5,求PG的长.

A

28.已知P是。上一点，过点尸作不过圆心的弦尸。，在劣弧尸。和优弧PQ上分别

有动点A、B(不与尸，。重合)，连接AP、BP.若ZAPQ=NBPQ.

(1)如图1,当ZAPQ=45。，AP=1,BP=2四时，求C的半径；

(2)在(1)的条件下，求四边形APB。的面积

(3)如图2,连接交尸。于点点N在线段上(不与P、M重合)，连接

ON、OP,若/NOP+2/°PN=90。，探究直线小?与ON的位置关系，并说明理由.

参考答案

1.A

【分析】

根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即

可.

解：A同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；

B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以8选项错误；

C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错

误；

D圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以。选项错误.

故选A.

【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理

等知识点.灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

2.C

【分析】

直接运用圆周角的定义进行判断即可.

解:弧AE所对的圆周角是：NABE或/ACE

故选：C

【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.

3.C

【分析】

分两种情况，由圆周角定理分别求解即可.

解：菱形0ABe的顶点A、B、C在圆。上，且NQ4B=60。，

\AB//OC,1AOC120?,

如图，分两种情况:

P

①当点P在优弧APC上时，由圆周角定理得：乙40c=呆120。=60。；

o

②当点尸在劣弧AC上时，由圆周角定理得：ZAPC=180-60°=120°;

综上所述，NAPC为60。或120。，

故选：C.

【点拨】本题考查了菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟练掌

握圆周角定理是解题的关键.

4.C

【分析】

首先连接C。,由是的直径,根据直径所对的圆周角是直角，可求得ZACD=90°,

又由圆周角定理，可得"=4=20。，再用三角形内角和定理求得答案.

解：连接CD,

是（。的直径，

ZACD=90°.

：ZD=ZB=20°,

/.ZCAD=180°-90°-Z£>=108°-90°-20°=70°.

故选：C.

【点拨】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理.熟练掌握圆周角定理是解此题

的关键.

5.C

【分析】

根据圆周角定理求出ZAOC=120°,再根据垂径定理和30。所对直角边是斜边的一半计

算即可.

解：连接A。、CO

A

：，O是一ABC的外接圆，ZB=60°,

ZAOC=120°,

又：。4=OC,OD1AC,

：.ZAOD=60°,

：.NQW=30。，

OD=2道,

••OA=；

•••。。的直径为8g

故选：C.

【点拨】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是结合30。所对直

角边是斜边的一半计算.

6.C

【分析】

利用等边三角形的判定与性质得出N3OC=60。,再利用圆周角定理得出答案.

解：如图，连接80,CO,

：.ABC的边8c等于圆的半径,

.3OC是等边三角形，

NBOC=60。,

：./A=30。，

若点A，在劣弧BC上，则NA'=150°,

/.NA=30。或150。；

故选C.

【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角

定理，得出BOC是等边三角形是解题的关键.

7.B

【分析】

利用圆心角、弧、弦的关系得到£>C=8C，再利用圆周角定理得到/BAC=/D4C=

36°,ZABD=ZACD=44°,然后根据三角形内角和计算NADB的度数.

解：,:BC=CD,

DC=BC，

,：ZABD和ZACD所对的弧都是AD,

：.ZBAC^ZDAC^36°,

ABAD=ABAC+ADAC=72°,

ZABD=ZACD=44°,

：.ZADB=180°-/BAD-ZABD=180°-72°-44°=64°,

故选：B.

【点拨】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决

问题的关键.

8.D

【分析】

由A8是直径可得乙4cB=90。，由NABC=20。可知/C48=70。，再根据圆周角定理可得

NBDC的度数，即可得出答案.

解：是。。的直径，

ZACB=90°,

,?ZABC=2Q°,

.\ZCAB=70°,

/BDC=NCAB=7Q°,

故选：D.

【点拨】本题考查了圆周角定理，由是直径求出NACB=90。是解题的关键.

9.D

【分析】

连接MD、ON,根据作法可得CM=C£>=ON，即可得到NCOM=NCOD=NZXW,

则可判断A选项；若OM=MN,可得NNOM=60。，推出/COD=20。即可求出NOCD的

度数，则可判断B选项；根据CM=DN得到即可判断C选项；根据

CM+CD+DN>MN即可判断D选项.

解：连接M。、ON,如图所示

•••以点。为圆心，OC长为半径作弧尸。，交射线OB于点。，分别以点C,。为

圆心，8长为半径作弧，交弧PQ于点N

CM=CD=DN

：.ZCOM=ZCOD=ADON

；.A选项说法正确，不符合题意

若OM=MN

•?OM=ON

：.MN=OM=ON

：.NNOM=60°

,/Z.COM=ZCOD=ADON

：.ZCOD^20°

又：OC=OD

•••"3/皿=幽*8。。

，B选项说法正确，不符合题意

CM=DN

ZCDM=ZDMN

：.MN//CD

，C选项说法正确，不符合题意

•?CM+CD+DN>MN

：.MN<3CD

，D选项说法错误，符合题意

故选D.

【点拨】本题考查了作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周

角定理、弧、弦和圆心角的关系等知识点，解决此题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几

何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

10.D

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A,根据圆周角定理可判断B选项，根据圆

周角与弧的关系可判断C,根据NCDEWNCDB判断D选项.

解：CZ）分别是。。的直径，

:.ACBD=9Q°,

C.CBLBD,

故A选项正确，

如图，连接班，

DE//AB,且NCOE=62°,

:.ZBOD=ZCDE=62°,

・•.ZBCD=-ZBOD=3r,

2

QOC=OB,

.\ZCBO=ZBCO=31°,

/.ZAOC=62°,

ZCBE=ZCDE=62°,

:.ZABC=ZABE=31°,

•・AC=AE^

故B,C选项正确，

/BCD=31°,ZCBD=90°,

.•.ZBDC=59°,

ZCDE=62°f

；.NCDE手/CDB,

・..BD*DE,故D选项不正确，

故选D.

【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的

关键.

11.B

【分析】

连接AC根据同弧所对的圆周角相等，将〃+。转化为ZA8,再根据直径所对的圆

周角是直角即可得到4+7-。=90。.

解：连接AC,令/BCD=e,如图所示：

在中，y=a+d（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,

VZACD=ZABD=J3（同弧或等弧所对的圆周角相等），

.,./7+/—cr=AACD+cc+3—cc=AACD-\-0=^ACB,

又〈A3是直径，・・・/ACS=90。（直径所对的圆周角是直角），

故选:B.

【点拨】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理，正确作出辅助线，将分+7-。转

化为ZACB是解题的关键.

12.20°

【分析】

连接AE、BD,由圆周角定理得出NA£B=90。，进而结合题意得出NA£D=10。，由圆

心角、弧、弦的关系定理/CB£>=/DBA=/A£E>=10。，即可求出NABC的度数.

解：如图，连接AE、BD,

QAB为。的直径，

:.^AEB=90°,

,^DEB=80°,

ZAED=NAEB—NDEB=10°,

AD=CD^

NCBD=/DBA=/AED=10°,

ZABC=NABD+NCBD=100+10°=20°,

故答案为：20°.

【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心

角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键.

13.36

【分析】

若要使△ABP的面积最大，底固定，故只要A2边上的高最大时，即三角形面积最

大；可证NAPB=120。，故可知点P在AAPB的外接圆的劣弧AB上，当点尸在劣弧AB的中

点处，AAPB的面积最大，求出4B边上的高即可求解.

解：：四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=6,AB//CD,

：.ZABC+ZBC£)=180°,

ZC=120°,

ZABC=60°,即ZABP+ZPBC=60°,

•?ZBAP=ZCBE,

：.ZABP+ZBAP=6O°,

•：ZAPB=180°-(ZABP+NBAP)=180°-60°=120°,

点P在在△APB的外接圆上，

若要使A4BP的面积最大，底AB固定，ZAPB=120°,故只要AB边上的高最大

时，即三角形面积最大；此时点尸在劣弧AB的中点处，如图，

设点。为△的外接圆的圆心，OPLAB于点R

AAF=-AB=3,ZAPF=-ZAPS=60°,

22

/.ZPAF=30°,

AP=2PF

由勾股定理得，AF2+PF2=AP2

二32+PF2=4PF2

：.PF=yl3

：.S^PB=；AB旷F=1x6xV3=35/3

即△ABP面积的最大值为3K.

故答案为：3K.

【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，

正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键.

14.1

【分析】

连接C£),根据分另I］平分/8AC和结合圆周角定理和三角形外角性质，

得出NDBE=NBED,根据直径所对的圆周角为90。，结合2。=。。，BCf，利用勾股定

理，求出现)2=1，即可求出小=比＞=1.

解：连接CZ),如图所示：

平分/8AC,

ZBAD=ZCAD,

:•BD=CD，

：.BD=CD,NCBD=NCAD=NBAD,

为直径，且BC=应，

ZBDC=9O°,

：.BD2+DC2=BC2=(V2)2=2,

BD2=1.

BD=1,

；BE平分/ABC,

/ABE=NCBE,

'：ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZBED=ZABE+ZBAD,

/.ZDBEABED,

：.DE=BD=1.

故答案为：1.

【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角

形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明/=是解题的关键.

15.(5,2)或(3,4)或(5,0)或(1,-2)或(3,-2)或(-1,0)写出其中一个就可以(答案不唯

一)

【分析】

直接利用圆周角定理，以P为圆心，用为半径画圆，圆上的格点即可作为C点.

解：由NAC3=aNAPB联想到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

所以点C在以点尸为圆心，丛为半径的圆上，进而得到满足横、纵坐标为整数的六个

点C：(3,4)、(5,2)、(5,0)、(3,-2),(1,-2),(-1,0)

【点拨】本题考查了圆周角定理，解题关键是理解题意，能利用圆找出符合条件的点.

16.2A/5cm

【分析】

连接作。于E,OF±AC^F,运用圆周角定理，可证得

3

BPffiA所以。E=A尸=5°”，根据勾股定理，得DE=4cm,在直角三角形ADE

中，根据勾股定理，可求AD的长.

解：连接0。，AD,作。EJ_AB于E,0尸1_46'于/;'.

根据题意知，ZCAD=ZBAD,

••CD=BD，

.,.点。是弧2C的中点.

ZDOB=ZOAC=2ZBAD,

：.^AOF^AODE,

3

OE=AF=—cm,

2

DE=2cm,

X'-'AE=-+-=4cm,

22

•*-A0=>JAE2+DE2=A/42+22=2小cm.

【点拨】在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一.熟练运用垂径定理、

圆周角定理和勾股定理.

17.75°

【分析】

先求出ND4c的度数，再根据圆内接四边形的性质求出N08E的度数，再通过角平分

线求出/ABE的度数，最后通过三角形外角性质求出NC的度数.

解：,:BC=BD,ABAC=25°,

：.ZBAD=ZBAC=25°,

：.ZDAC=50°,

1/四边形ADBC是圆内接四边形，

ZDAC+ZDBC=1SO°,

VZDBE+Z£>BC=180°,

ZDBE=ZDAC=50°,

平分

ZABE=2ZDBE=100°,

：.ZC=ZABE-ZBAC=100°-25°=75°,

故答案为：75。

【点拨】本题考查了三角形外角的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，解决本题

的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质.

18.26万

【分析】

由题意和旋转的性质可知：ZABD=ZACE=45°,可知A、B、C、P四点共圆.随

着4ABe的旋转可知，点R运动的路径是以A、B、C、/四点共圆的圆上，当从第

一次与BC平行旋转到第二次与8c平行时，点尸运动的轨迹是以AC为直径的半圆，求出

AC的长就可以求出点尸的路径长.

解：如图所示：连接AF,由旋转的性质可知：和一ACE是等腰直角三角形.

NABD=NACF=45°,

:.A、B、C、尸四点共圆.

'：ZABC=90°,

该圆是以AC为直径圆.

随着，ABC的旋转可知：点/运动的轨迹是以AC为直径的圆上.

当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时,点F运动的轨迹是以AC

为直径的圆的周长的一半.

由勾股定理可知：AC=y/AC2+BC2=742+82=4-75

...当AD从第一次与3c平行旋转到第二次与BC平行时，点/运动的路径长为：

-TTXAC,

2

...点/运动的路径长为：之乂4小x兀=2非兀.

故答案为：2也兀.

【点拨】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理等知识.通过圆周角定理的推论找到

四点共圆是解决本题的关键.

19.2-^2<CM<4

【分析】

因为A8是直角三角形的斜边，可以看成是点C在以AB为直径的圆上，通过AC>BC

可以判断点C在圆弧班之间，而在点及点8位置是极限位置，求出在这两点时CM的值

即可.

解：是直角三角形ABC的斜边，

...点C在以AB为直径的圆上，

VAC>BC,DM是AB的垂直平分线，

...点C在圆弧ECB之间的圆弧上，

：CN是/AC8的平分线，

；.CN与圆弧48相交于AB的中点，

•/DM是AB的垂直平分线，

与圆弧A5相交于AB的中点，

所以CMDM,AB交于一点，即M点,

•：AB=4,

：.BD=DM=2,

如图1,当8,C重合时，CM最小，

CM=y]BD2+DM2=V22+22=20，

因为此时三角形不存在（成为线段），所以应取CAf>20,

如图2,当点C在E点时，CM最大，为圆。的直径，

：.CM=4,

因为此时AC=8C,不符题意，所以应取CM<4,

所以CM的范围为2&<CM<4,

故答案为：26<CM<4.

【点拨】本题考查了圆直角三角形，熟练运用直径所对的圆周角为直角、等弧对等角、

垂径定理是解题关键.

20.2M-2

【分析】

作点E关于。C的对称点E,设的中点为点。，连接OE',交DC于点P,连接PE,

由轴对称的性质及90。的圆周角所对的弦是直径，可知线段尸E+PM的最小值为OE的值减

去以为直径的圆的半径OM,根据正方形的性质及勾股定理计算即可.

解：作点E关于DC的对称点E,设A3的中点为点。，连接OE,交。C于点尸，连接

PE,如图所示：

E；、

:动点M在边长为4的正方形ABC。内，且

...点M在以AB为直径的圆上，OM=^AB=2,

•••正方形ABC。的边长为4,

：.AD=AB^4,ZDAB=90°,

是A。的中点，

：.DE=^AD=^x4=2,

:点E与点E关于0c对称，

:.DE=DE=2,PE=PE,

AE=AD+DE=4+2=6,

在RtAAOE中,OE'=y/AE'2+AO2=762+22=2a,

线段PE+PM的最小值为：

PE+PM=PE+PM=ME=OE'-OM^2M-2.

故答案为：2M-2.

【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及

勾股定理等知识点，作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键.

21.24百

【分析】

连结AE,根据NCB4=90。所对的弦得出AE为,：。的直径，得出AE=8,根据

得出可求NBAE=NZME=30。，利用30。直角三角形性质求出

JAE=4,利用勾股定理求出=,82.42=46，然后利用直角三角形性质

求出BC=BE+CE=12即可.

解：连结AE,

ZCBA=90°,

为（O的直径，

：.AE=S,

,:BE=DE,

,,BE=DE，

I./BAE=/DAE,

•・•ZBAC=60°f

・•・NBAE=/DAE=30。,

2222

：,BE=DE=^AE=4fAB=yjAE-BE=A/8-4=473»

TAE为直径，

ZEDA=90°,

,:ZA=180°-ZABC-ZBAC=180o-90°-60o=30°,

：.EC=2ED=8,

:・BC=BE+CE=12,

SAABC=-ABBC=-X4V3X12=246.

22

故答案为24出.

【点拨】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，30。直角三角形性质，勾股定理，

三角形面积，掌握直角所对弦和直径所对圆周角性质，30。直角三角形性质，勾股定理，三

角形面积是解题关键.

22.(0,-2^-)##(0,--V3)

33

【分析】

连接AC,AB,BC,过点C作于H,利用含30度角的直角三角形的性质及勾

股定理在放△OCH中，先后求得OH,CH,AH,再在AS中，求得AC,在RtAABC

中，利用勾股定理构建方程求得BC,AB,再在中，利用勾股定理即可解决问题.

解：连接AC,AB,BC,过点C作CHLOA于X,

VZAOC=60°,贝！J/OCH=30°,且OC=3,

;点A(4,0),

；.AO=4,

：.AH=AO-OH=~,

2

在Rt&ACH中,

AC=y/AH2+CH2=.f->1+f—>1=V13,

•?ZBOA=9Q°,

...AB为。M的直径,

ZBCA=90°,

ZAOC=60°,

：.ZABC=60°,则ZBAC=30°,

在MAABC中，BC=-AB,

2

222

AB=AC+BC,即A82=（至）2+（；AB）2,

：.AB2=—,

3

4

在A08中，0炉=-AO2=~,

3

；.0B=^-,

3

点2的坐标是：（0,—

3

【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

23.68°

【分析】

连接OS如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到/班0=2/4则

ZE=2ZA,再利用/EOD=84。得至！|2乙4+乙4=84。，解得乙4=28。，接着计算出NBOE的度

数，从而得到BE的度数.

解：连接如图，

•?OB=OC,OC=AB,

・•・OB=AB,

：.ZA=ZBOA,

：.ZEBO=ZA+ZB0A=2ZA,

'：OB=OE,

：.ZE=ZEB0=2ZA,

*：ZEOD=ZE-^-ZAf

A2ZA+ZA=84°,解得乙4二28。，

・•・ZE=ZEBO=56°,

.\ZBOE=1800-ZE-ZEBO=180o-56o-56o=68°,

・・・5E的度数为68°.

【点拨】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅

助线，构造等腰三角形，是解题的关键.

24.⑴①30。，②60。；(2)BC=6

【分析】

(1)①根据折叠的性质可得NACD=NAED,根据等弧所对的圆周角即可求解；

②根据等边对等角可得NZME=NDE4,根据(1)的结论可得NACB=NABC,进而根

据折叠的性质求得ZCAE=60°,进而根据ZCAB-ZCAE即可求得ZBAE,

(2)根据A£>+£>石=5石+£>6，可得AE=O3，AE=BE,根据折叠的性质可得

DB=AE=4,进而即可求解.

(1)@AD=AD^ZABC=30°,

:.ZAED=ZABD=30°,

「将...ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在：。上，

:.ZACB=ZAED=30°；

②，AD=DE,

:.ZDAE=ZDEA,

NDEA=NDBA,

.\ZDAE=30°,

将AADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在：。上，

:.ZDAE=ZDAC=30°,

ABC中，XABC=ZACB=3O0f则NC4B=180。—ZABC—ZAC5=120。，

ZCAE=ZCAD-^ZEAD=60°f

ZEAB=ZCAB-ZCAE=120°-60°=60°,

:.ZEAB=6O°t

(2)AD=BE

AD+DE=BE+DE

AE=DB

:.AE=BE

•.•折叠

:.AC=AE

:.DB=AE=4

CD=2

:.BC=CD+DB=4+2=6

【点拨】本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角

形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键.

33

25.(1)30(2)-(3)-^

【分析】

(1)利用圆周角定理解得="=60。，由直径所对的圆周角是90。,得到ZACB=90°,

最后根据三角形内角和180。解答即可；

(2)证明△CO3是等边三角形，得到BC=3,再证明OE是二ABC的中位线，由中位线

的性质解答；

(3)连接OC,证明VA尸E=VCOE(AS4),将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积，

再结合扇形面积公式解答.

⑴解：；/。=60。

:.ZB=G0°

AB是。。的直径，

:.ZACB=90°

:.ZCAB=90°-60°=30°

故答案为：30；

(2)'ZZ>=60°

.•.4=60。

QOC=OB

••:COB是等边三角形

BC=OB=—x6=3

2

AB是。。的直径，

,\ZACB=90°

OELAC

:.OE//BC

。是A5中点

「.OE是-ABC的中位线

13

:.OE=-BC=-

22

(3)连接OC

QAO=OC9N045=30。

「.N石CO=30。

1111

QZFAC=-ZFOC=-x-ZAOC=-xl20°=30°

2224

:.ZFAE=ZECO

QAC±OF

/./FEA=ZOEC=90°,AE=CE

：yAFE^VCOE(ASA)

一^VAFE=COE

_60^X32_3

一》阴影一)扇形/oc——不兀.

【点拨】本题考查扇形的面积计算、含30。角的直角三角形、圆周角定理、垂径定理等

知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

26.(1)36°；⑵，

【分析】

(1)利用对称的性质证明BDLAC,所以ND3C与NAC3互余，即可求出ND8C；

(2)利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180。，求出

N05M的度数并证明其相等，再根据证明=△£WM(A&4),从而得到OM=NM,即可

求中蚣LJ_

本出ON2

解：(1)・・,点3、点。关于AC对称,

：.BD±AC,

：.ZDBC+ZACB=90°,

ZACB=54°,

・・・/。3。=90。-54。=36。,

故NO3C的度数为36°.

(2)连接OF,

•・•点/是5c的中点,

・・・ZBOF=ZCOF=2ZBDF9

•・・OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=54°,

：.ZOBM=ZOBC-Zr)BC=54°-36°=18°,ZBOC=180°-2x54°=72°,

・•・ZBOF=|1x72°=36°,

：./BDF=-ZBOF=工x36。=18。,

22

JZBDF=ZOBM,

•・•点3、点。关于AC对称,

：.DM=BM,

，在430M和4DM0中,

ZOBM=NNDM

BM=DM

ZOMB=/NMD

:•丛BOMm丛DNM,

：.NM=OMf

.MN_MN_1

'*~ON~~OMTNM~2

【点拨】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，圆

心角与圆周角的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题.

27.⑴见分析;(