北师大版八年级数学上册 第7章 平行线的证明 单元提高卷 （含详解）

第7章《平行线的证明》（单元提高卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，BD是AABC的角平分线，DE//BC,DE交AB于E,若AB=BC,则下列

结论中错误的是（）

A.BD±ACB.ZA=ZEDAC.2AD=BCD.BE=ED

2.如图,直线AB、CD相交于点E,DF//AB.若NAEC=100°,则ND等于（）

D.100°

3.如图，直线/8//CD,点E在上，点。、点尸在45上，NEO尸的角平分线OG

交CD于点G,过点尸作于点已知NOGD=148。,则NO/0的度数为

（）

A.262B.32?C.365D.422

4.如下图，在下列条件中，能判定AB〃CD的是（）

AD

3

A.Z1=Z3B.Z2=Z3C.Z1=Z4D.Z3=Z4

5.如图，四边形ABCD中，ZBAD=121°,ZB=ZD=90°，在BC、CD上分别找到

一点M、N,使AAMN周长最小时,则NAMN+NANM的度数为（）

可AD

c

A.118°B.121°C.120°D.119°

6.如图所示，若N1=N2=45。,Z3=70°,则N4等于（）

A

2y

A.70°B.45°C.110°D.135°

7.如图，AB//CD,ZM=44°,AN平分NBAM,CN平分NDCM,则NN等于

（）

4K______________R

Ki

A.21.5°B.21°C.22.5°D.22°

8.在MABC和MA'B'C中，NA+NB=NCZ.B'+Z.C=Z.A,b—a=b'—c',b+a=b'+c',

则这两个三角形的关系是（）

A.不一定全等B.不全等

C.根据“ASA”全等D.根据“SAS”全等

9.如图，在V/8C中，N3/C=120。，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB

10.如图，AABC中，N/8C=100。，ZAEF=ZAFE,ZCFD=ZCDF,则ZEFD

的度数为（）

A.80°B.60°C.40°D.20°

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C,D分别落在点C'、

D'处，CE交AF于点G,若NCEF=64°,则NGF»=.

12.如图，AB〃CD,AC//BD,CE平分NACD,交BD于点E,点F在CD的延长线

上，且NBEF=NCEF,若NDEF=NEDF,则NA的度数为°.

li

13.在V/8C中，AB=AC,点D是V/8C外一点，连接/D、BD、CD,且8。交/C

于点O,在8。上取一点E,使得=NE4D=NBAC,ZACB=ZABC=70°,

ZAED=ZADE,则NADC的度数为

14.如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放,

点D在边AC上，点E在边BC上，且NCFE=13。，ZCFD=32°,则NDEC的度

数为

15.如图，在RtV48c中，N4BC=90。，在/C边上取点。，使得4D=4B,连接

BD”点、E、尸分别为40、AD边上的点，且4DE尸=48。，将VDEF沿直线E尸翻

折，使点。落在48边上的点G处，若GFIIBC,则-C的度数为.

16.如图,A0±0M,0A=7,点B为射线0M上的一个动点,分别以OB,AB为直角

边，B为直角顶点，在0M两侧作等腰RtAOBF、等腰RtAABE,连接EF交0M于

P点，当点B在射线0M上移动时，则PB的长度

□

TV

17.下列说法中正确的有___________（填序号）.

①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间

线段最短；④若AC=BC,则点C是线段AB的中点；⑤相等的角是对顶角；⑥

180°角是补角；⑦65.5°=65.50,；⑧如果Nl+N2+N3=90°,那么N1、N

2、Z3互为余角.

18.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（0,8）,点5的坐

标为（-4,0）,点P是直线/：x+V=4上的一个动点，若NPAB=/ABO,则点P的坐

标是.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）已知平面内有一个△ABC,。为平面内的一点，延长A0到A',使

OA'=OA,延长BO到B',使OB'=0B,延长CO到从C'，使0C’=0C,得到△

A'B'C,问：AA;B’C与AABC是否全等？这两个三角形的对应边是否平

行？请说明理由.

20.(8分)如图，点。，尸分别是5C,4B上的点，DF//AC,NFDE=NA.

(1)求证：DEHAB；

(2)若NAED比ZBFD大40。，求ZBFD的度数.

21.(10分)已知四边形ABCD中，ZB=ZC=90°,E是边AB上一点，F为边BC

上一点(不与B,C两点重合)，连接EF,DF,且EFLDF.

(1)如图1,若NDFC=NA,求证：ADXFD

(2)如图2,NBEF和NCDF的平分线相较于点0,当点F在边BC上运动时,

探究N0的大小是否发生变化？若不变，求出N0的度数；若变化，写出其变化

范围.

图1

22.(10分)已知直线"MP。，点A、B为分别在直线上，点c为平面内一

点，连接NC、BC,S-ZC^ZNAC+ZCBQ.

(1)如图，求证：MN//PQ.

(2)如图2,射线分别平分/跖4c和/C30,/£交直线尸。于点E,BD

与/K4c内部的一条射线交于点D,若/C=2/D,求NE/。的度数.

图1图2

23.(10分)已知：如图，点D是直线AB上一动点，连接CD.

(1)如图，当点。在线段上时，若N4BC=1O5。，NBCD=30°,求24DC

度数.

(2)当点。在直线上时，请写出-/DC,/ABC,N8co的数量关系，并

证明.

BB

备用图

24.(12分)如图，在V48c中，BC=12,4D平分ZB4C,点E为HC中点，AD

与BE相交于点尸.

(1)若N/5C=40。，ZC=80°,求NAD8的度数；

(2)如图1,若/8=10,求线段3E的长的取值范围;

(3)如图2,过点5作交4D延长线于点〃，设八BFH,尸的面

积分别为百，色，若/8-/C=4,试求S「邑的最大值.

参考答案

一、单选题

1.C

解：BD是AABC的角平分线，AB=BC,

则BD是AC边上的高及中线，

所以NABD=NDBC,BD±AC,2AD=AC,ZA=ZBCA；

因为DE〃BC,

所以NEDA=NBCA,ZEDB=ZDBC,

所以NA=NEDA,ZABD=ZEDB,

所以BE=ED.

所以A、B、D正确，C错误.

2.B

解：因为AB〃DF,所以ND+NDEB=180°,因为NDEB与NAEC是对顶角，

所以NDEB=100°,所以ND=180°-ZDEB=80°.故选B.

3.A

【分析】依据/0GD=148°,可得NEG0=32°,根据AB〃CD,可得NEGO=Z

GOF,根据GO平分NEOF,可得NGOE=NG0F,等量代换可得：ZEG0=ZG0E=Z

GOF=32°,根据尸HLOE,可得：ZOFH=90°-32°-32°=26°

解：Z0GD=148°,

/.ZEGO=32°

VAB/7CD,

.♦.NEGO=NGOF,

,//EOF的角平分线0G交CD于点G,

/.ZGOE=ZGOF,

VZEG0=32°

ZEGO=ZGOF

ZGOE=ZGOF,

/.ZGOE=ZGOF=32°,

*/FHLOE,

：.ZOFH=9Q°-32°-32°=26°

故选A.

4.C

解：根据平行线的判定，可由N2=N3,根据内错角相等，两直线平行，得

到AD〃BC,由N1=N4,得到AB〃CD.

故选C.

5.A

【分析】如图，作A关于和。。的对称点4,A",连接H/〃，交5c于此

交CD于N,则44的长度即为V/MN周长的最小值.根据ND4B=121。，得出

ZAA'M+ZA"=59°.根据ZMA'A=ZMAA',ZNAD=NA",且

ZMA'A+ZMAA'=ZAMN,ZNAD+ZA"=ZANM,可得

ZAMN+ZANM=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA",即可求出答案.

解:如图，作A关于和的对称点H,A",连接交3c于M,交CD

根据对称的性质有：AM=A'M,AN=A"N,

：.MAMNAM+AN+MN=AM+A"N+MN.

当点4、/〃、M、N四点共线时，HM+HW+MN的值最小，且最小为44,

则A'A"的长度即为VAMN周长的最小值.

,/ZDAB=n\°,

...N//'N+N/"=180°—121°=59°.

NMAN=ZMAA',ZNAD=NA",且ZMA'A+ZMAAr=ZAMN,

ZNAD+ZA"=ZANM,

：.ZAMN+ZANM=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"=2(ZAA'M+NN")=2x59°=118°.

故选：A.

6.C

【分析】根据对顶角的性质可得N1=N5,再由等量代换得N2=N5,即可

得到到a〃b,利用两直线平行同旁内角互补可得/3+/4=180。，最后根据/3

的度数即可求出N4的度数.

解：•••/I与N5是对顶角，

/.Z1=Z2=Z5=45°,

/.a/7b,

/.Z3+Z6=180°,

VZ3=70°,

.\Z4=Z6=nO°.

故答案为c.

7.D

【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证

明得/M-/N=22。，即可求出答案.

解：如图，线段AM与AN相交于点E,

AB//CD,

：.ZACD+ZCAB=18O°,

：AN平分NBAM,CN平分NDCM,

/.ZBAM=2Z1,ZDCM=2Z4,/I=/2,N3=N4,

/.ZACD+ZCAM+ZBAM=180°,

ZACD+ZCAM+2Z1=18O°；①

在△ACM中，有

AACM+ZCAM+ZM=180°,

/.ZACD+2Z4+ZCAM+44°=180°②，

由①曰②，得2/1-2/4=44。，

/.Zl-Z4=22°,即/I-/3=22。；

,/Zl+ZAEN+ZN=Z3+ZCEM+ZM=l80°,

又ZAEN=ZCEM,

：./l+NN=/3+/M,

Z1-Z3=ZM-ZN=22°,

即44°-/N=22°,

/.ZN=22°；

故选：D.

8.D

【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得NC=90。，NH=90。，由

线段的数量关系可得b=a=d,进而可证明三角形全等.

解：VZA+ZB=ZC,ZB'+ZC'=ZA'

：.ZC=90°,NH=90°

_[b-a=b'-c'®

'[b+a=b'+c'®

①+②得6=〃

②-①得。=d

/.在YABC和中，

b=b'

：＜ZC=N/'

a=c'

/.YAB8VCB，A（SAS）

故选D.

9.B

【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得3NEDB；根据三角形外

角性质，得NNED=2N5；根据轴对称的性质，#ZC=2Z5,ZEAD=60°,

/ADE=NADC；根据补角的性质计算得4DC=90。-号，根据三角形内角和的性

质列一元一次方程并求解，即可得到答案.

解：：BD的垂直平分线交AB于点E,

EB=ED

：.ZB=ZEDB

：.NAED=/B+ZEDB=2ZB

・.,将V/C。沿AD折叠，点C恰好与点E重合，

ZC=ZAED=2ZB,ZEAD=ACAD=-ABAC=60°,ZADE=ZADC

2

「ZCDE=180。—/EDB=180°-ZB

1ZD

...ZADC=-ZCDE=90。---

22

,?ZCAD+ZADC+ZC=180°

，60+90。-召+2/5=180。

2

ZB=20°

故选：B.

10.C

【分析】连接FB,根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可.

解：如图连接FB,

ZAEF=ZAFE,NCFD=ZCDF,

：.ZAEF=ZAFE=ZEFB+ZEBF,ZCFD=ZCDF=ZBFD+ZFBD

：.ZAFE+ZCFD=ZEFB+ZEBF+NBFD+NFBD,

即ZAFE+ZCFD=ZEFD+ZEBD,

又ZAFE+ZEFD+ZDFC=180°,

/.2ZEFD+ZEBD=180°,

,/ZABC=100°,

故选：C.

二、填空题

11.520

解：因为AD〃BC,所以NCEF=NAFE=64°,ZDFE=180°-ZCEF=180°-64°

=116°,由折叠得NEFD=NEFD'，所以NEFD'=116°,所以NGFD'=NEFD'-

ZAFE=116°-64°=52°,故答案为52°.

12.108

解：分析：根据平行线的性质，得到NA+NB=180°,ZB=ZBDF,ZA+Z

ACD=180°,然后根据角平分线的性质，得到NACE=NECD=NCED,然后根据题意

和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.

详解：：CE平分NACD

ZACE=ZDCE

VAB/7CD,AC〃BD,

AZA+ZB=180°,ZB=ZBDF,ZACD+ZA=180°,ZACE=ZCED

VZEDF=ZDEF=ZECD+ZCED

/.ZCEF=ZFEB=ZCED+ZDEF

设NB=x,则NA=180°-x,ZACE=ZECD=ZCED=yx,

3

.\ZEDF=x,ZBEF="x

.\ZCEB=360°-2XZBEF=360°-3x

/.ZA+ZB+ZBEC+ZACE=180°-x+x+360。-3x+yx=360°

解得x=72°

/.ZA=180°-72°=108°.

故答案为108.

13.40°

【分析】根据SAS证明再利用全等三角形的性质、三角形的

外角性质和三角形的内角和解答即可.

解：■:NE4D=NBAC,

：.ABAC-NEAC=ZEAD-ZEAC,

即：NBAE=NCAD；

在和VNCD中，

'AB=AC

•ZBAE=ACAD,

AE=AD

：.MABE^/ACD(SAS),

/.ZABD=ZACD,

NBOC是MABO和YDCO的外角，

ZBOC=/ABD+/BAGZBOC=ZACD+ZBDC,

：./ABD+ABAC=ZACD+ZBDC,

「・/BAC=/BDC,

ZABC=ZACB=70°,

：.NBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-70°-70°=40°,

.二ZBDC=ZBAC=40°,

故答案为：40°.

14.64°

【分析】作FH垂直于FE,交AC于点H,可证得〃二△RS£(4&4),由对

应边、对应角相等可得出△/TO尸二△EC/(S力S),进而可求出NQEF=58。，贝］

/DEC=ZCEF-/DEF=64°.

解：作FH垂直于FE,交AC于点H,

,?ZAFC=ZEFH=90°

又ZAFC=ZAFH+ZCFH,ZHFE=ZCFE+ZCFH

：./AFH=/CFE=13。

44=ZFCE=45°,FA=CF

...AFAH=AFCE(ASA)

/.FH=FE

ZDFE=ZDFC+ZEFC=32。+13。=45°

,?/DFH=ZHFE-ZDFE=90°一45°=45°

ZDFE=ZDFH

XVDF=DF

「・AHDF=/\EDF(SAS)

：.ZDHF=ZDEF

/DHF=/A+/HFA=45。+13。=58。

ZDEF=58°

ZCFE+ZCEF+ZFCE=180°

ZCEF=180。-ZCFE-ZFCE=180。-13。-45。=122。

ZDEC=ZCEF-ZDEF=122°-58°=64°

c

故答案为：64。.

15.26°

【分析】根据题意可得NEDF=ZEGF,设ZEDF=ZEGF=a,NADB是ADBC

的一个外角，可得2c-/C=90。，根据三角形内角和定理可得

NABC+NC=ZAEG+N4GE,即（z+NC=84。，联立解方程组即可求得2C.

解：：折叠

ZDEF=ZGEF=48°,ZEDF=ZEGF

NAEG=180°-2x48°=84°

设ZEDF=ZEGF=a

AD=AB

NGBF=ZEDF=a

GF//BC

:.ZFGA=ZCBA=9009ZGFB=ZDBC

/.ZFGE+AAGE=a+AAGE=90°,ZGFB+AGBF=a+ZGFB=90°

AAGE=ZGFB=ZDBC=90°-a

•・•ZADB是XDBC的一个外角

ZADB=ZDBC+ZC=900-a+ZC=a

gp2a—NC=90。①

•・•N4=180°-/ABC-ZC=180°-/AEG-/AGE

/ABC+ZC=/AEG+AAGE

即90。+/。=84。+（90。-a）

即a+NC=84。②

②x2-①得3NC=78。

即ZC=26°

故答案为：26。

【分析】根据题意过点E作ENLBM,垂足为点N,首先证明AABOmABEN,

得到BO=ME；进而证明△BPFZAMPE并分析即可得出答案.

解：如图,过点E作ENLBM,垂足为点N,

,?ZAOB=ZABE=ZBNE=90°,

/.ZAB0+ZBA0=ZAB0+ZNBE=90°,

.\ZBAO=ZNBE,

「△ABE、Z\BFO均为等腰直角三角形,

/.AB=BE,BF=BO；

在△ABO与ABEN中，

2BAO=NNBE

，ZAOB=NBNE,

AB=BE

：.AABO^ABEN(AAS),

...BONE,BN=AO；

VB0=BF,

/.BF=NE,

在4BPF与ANPE中，

ZFBP=ZENP

<ZFPB=ZEPN,

BF=NE

：.ABPF^ANPE(AAS),

/.BP=NP=yBN,BN=A0,

/.BP=yA0=yX7=-.

故答案为：f7.

17.①③

解：根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线

段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③

正确；若AC=BC,只有在一条直线上时，点C是线段AB的中点，④不正确；根

据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，⑤不正确；根据和为180。的

两角互为补角，知⑥不正确.

故答案为①③.

18.(12,-8)或(-4,8)

【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP〃B0,容易

求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为(a,-a+4),过AP作直

线交x轴于点C,可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股

定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC,可得到关于a的方程，可求得P

点坐标.

解：当点P在y轴左侧时，如图1,连接AP,

，AP〃OB,

VA(0,8),

，P点纵坐标为8,

又P点在直线x+y=4上，把y=8代入可求得x=-4,

，P点坐标为(-4,8)；

当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C,如图2,

A

设P点坐标为（a,-a+4）,设直线AP的解析式为y=kx+b,

把A、P坐标代入可得|.+：：:+4，

-a-4

解得二丁

b=8

直线AP的解析式为y=-x+8,

a

令y=0可得3X+8=0,解得X=TZ

a。+4

点坐标为(々，0),

/.AC2=OC2+OA2,即AC2=(与)2+82,

VB(-4,0),

VZPAB=ZABO,

/.AC=BC,

/.AC2=BC2,即(々)2+82=(勺)2+强+16,

解得a=12,则-a+4=-8,

，P点坐标为(12,-8),

综上可知，P点坐标为(-4,8)或(12,-8).

故答案为：(-4,8)或(12,-8).

三、解答题

19.

解：△A'B'C'咨aABC,这两个三角形的对应边平行，理由如下:

如图所示,

在△AOC和△A'OC'中,

OA=OA'

<ZAOC=ZA'OC',

CO=C'O

/.AAOC^AA'OC'(SAS),

/.AC=A'C,

同理可得△BOC咨△B'OC',AAOB^AA'OB',

/.BC=B'C,AB=A'B',

在Z\ABC和△A'B'C'中，

AB=A'B'

<BC=B'C',

AC=A'C

：.AABC^AA'B'C(SSS),

,?AAOC^AA'OC',

.,.ZCAO=ZC'A'O,

/.AC/7A'C,

同理可得AB〃A'B',BC〃B'C'.

20.

解：(1)证明：

.-.ZA+ZAFD=180°

•;ZFDE=ZA

:.NFDE+ZAFD=180°

：.DEIIAB

(2)解：-DF//AC

:.ZA=ZBFD

■：DE//AB

.•/+N4EQ=180°

NBFD+NAED=180。

N4ED=NBFD+40°

ZBFD+(NBFD+40°)=180°

NBFD=70°

21.

解：(1)VEF±DF

.\ZEFB+ZDFC=90°

VZB=90°

ZBEF+ZEFB=90°

，ZDFC=ZBEF

:ZDFC=ZA

.\ZBEF=ZA

，AD〃EF

VZEFD=90°

.\ZADF=90°

.\AD±DF

(2)不变,Z0=45°

延长EF于0D交于H,

在△OEH中，ZEHD=Z0EH+Z0

在△DFH中，ZEFD=ZEHD+ZFDO

/.ZEFD=ZFD0+Z0EH+Z0

VZEFD=90°

.\ZFDO+ZOEH+ZO=90°

VZB=ZC=90°,且NEFD=90°

ZBEF+ZFDC=90°

VOE,OD分别为NBEF和NFDC的角平分线

/.ZFD0+Z0EH=45°

/.Z0=45°

22.

解：（1）证明：延长5c交MV于点G,如图,

，NACB=ZCAG+NAGC,

■：ZACB=ZNAC+ZCBQ,

ZCAG+ZAGC=NNAC+ZCBQ,

：.ZAGC=ZCBQ（等量代换），

：.MN//PQ（内错角相等，两直线平行）.

（2）解：延长8。交肱V于点K,交工。于0,连接。K,如图,

M-------&斯

PEB°

:.NACB=NCAO+NAOC（三角形外角定理），

ZAOC=ZKOD（对顶角相等），

ZKOD=ZOBD+ZODB（三角形外角定理），

:.NACB=NCAO+NOBD+NODB（等量代换），

又,?/ACB=2ZODB（已知），

AZCAO+ZOBD=ZODB（等量代换），

・.・射线/£网）分别平分NMAC和ZCBQ,

：・/EAC=/MAE（角平分线定义），@D=/DBQ（角平分线定义）,

ZCBQ=ZCBD+ZDBQ,ZOBD=ZDBQ,