2023-2024学年北京西城区铁路第二中学高一（上）期中数学试题及答案

2023北京铁二中高一（上）期中数学（试卷满分150分考试时长分钟）第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共分．在每小题列出的四个选项中，迭出符合题目要求的一项.B=x−3xA=xx=2k,kZ1.已知集合，，那么A（）−−2,0A.C.B.D.−−2,0,20,1x+y=02.方程组的解集是（）x2+y=22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)}C.{(22),（﹣2，2)}0，cd0，则一定有（）.B.{(11),(﹣1，﹣1)}D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}b3.若aA.acbdB.adbcC.acbdadbcD.1x−14.函数y=x+的定义域为（）)0,1A.C.B.D.()0,1)(+)5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）1A.yx1=+B.y=−x3C.y=y=x|x|D.xfx3x3x8()=+−x1,2()内近似解的过程中得6.设，用二分法求方程3x+3x−8=0在()()()，则下列必有方程的根的区间为（）f1f1.5f1.250．．2))1.25,1.5)A.B.C.D.不能确定()是奇函数，且在()内是减函数，又(−)=，则()的解集是（）fxf30xfx07.设A.{−3x0或xB.{xD.{x−3或0x−3或xC.{−3x0或0x8.a0是函数fx()=ax22x+1至少有一个负零点的（+）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，c据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟()为定义在上的函数，函数(+)是奇函数对于下列四个结论：fxfx110.设R.①f)=0；②f1−x=−f1+x)；)(③函数()的图象关于原点对称；fx④函数()的图象关于点()对称；1,0fx其中，正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.命题“x0，2x0”的否定是______．12.已知方程x−4x+1=0的两根为x和x，则x12122+2=_________2()=+(−)−是偶函数，则x2与(−)的大小关系为fbf2______．fxb1x213.若函数()=fxx22x3−0,3+，当时，()的值域是；若()的值域是，则xfxfx14.已知函数______()的定义域为______fx12()=fxx22ax+2，当−fx+时，()恒成立，则实数的取值范围是______．x,aa15.已知x−x16.已知λR，函数f(x)=x，当λ时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数2−4x+xf(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.x−3=R，集合A=∣0,B=2x+35．17.已知全集Ux+2（1）求AB；（2）求(．4()=+18.设函数fxx．x（1）判断函数()奇偶性并证明；fx（2）用单调性定义证明：函数()在(2,+)上单调递增．fxx19.某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用P（万元）和宿舍与工厂的距离km的关系为k()0x5，若距离为P=km时，测算宿舍建造费用为40万元为了交通方便，工厂和宿舍之间.3x+2y还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/，设为建造宿舍与修路费用之和，（1）求k的值.yx（2）求关于的表达式.（3）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值.R，解关于x的不等式axy2−(2a+)x+20．20.设a()=fxx2ax+3，其中aR．−21.设（1）当a=1时，求函数()的图象与直线fxy=3x交点的坐标；（2）若函数()在()上不具有单调性，求的取值范围：fx,0ax−2,2时，求函数()的最小值．fx（3）当且u为集合A的生成集．B=|u,vA22.设A是实数集的非空子集，称集合A=5时，写出集合A的生成集B；（1）当（2）若A5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；B=（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．参考答案第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共分．在每小题列出的四个选项中，迭出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】−32k3kZ()，求得整数k的取值，由此可求得A解不等式B.332【详解】解不等式32k3，得−k，kZ，所以，整数k的可能取值有1、0、1，2A,0,2因此，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.【答案】A【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x+y=0x=1x=1【详解】方程组的解为y=−1或y=1，x2+y2=2其解集为−(−．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有(x,y)．序，即代表元可表示为，一个解可表示为3.【答案】A【分析】根据不等式的性质可判断.【详解】解：根据cd0，有−c−d0，由于a−ac−bd,acbd，b0，两式相乘有故选：A.4.【答案】D【分析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0，可建立等式关系，进而可求出函数的定义域.x0x−10，解得0x1或x1.【详解】由题意，可得1x−1)(+)的定义域为.y=x+所以函数故选：D.5.【答案】D【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.y=x+1【详解】函数不是奇函数，故A不正确；函数y函数y=−x是奇函数，但不是增函数，故B不正确；31=是奇函数，但不是增函数，故C不正确；xx,x02y=x|x|=的图象如图：−x,x02x,x02y=x|x|=所以函数是奇函数且是增函数.−x,x02故选：D6.【答案】C【分析】根据零点存在定理判断．【详解】由题可知函数()为增函数，结合零点存在定理知在区间1.25,1.5)上必有根．fx故选：C．7.【答案】D【分析】根据题意，得到函数()在()=，结合不等式()，分类讨(0,+)为减函数，且f30xfx0fx论，即可求解.【详解】由函数()是奇函数，且在()内是减函数，可得函数()在()为减函数，fxfx,0又由f(−3)=0()=−(−)=f3f30，，可得xfx0()因为不等式，0x3；x−3当x0时，则()，解得fx当x0时，则f(x)0，解得，xfx0的解集为{x−3x.()所以不等式或故选：D.8.【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断．1xx=0x,x【详解】0时，，中一正一负，充分性满足，1212a但当a=1时，f(x)=x+2x+1的零点是x=−1，因此不必要，2所以应为充分而不必要条件，故选：A．9.【答案】B0.7),(4,p=at2+bt+c的图象上，【详解】由图形可知，三点都在函数9a+b+c=0.7所以a+b+c=0.8，解得a=bc=−2=，25a+b+c=0.5154131615p=−t2+t−2=0.2(t−−)2+，因为t0，所以当t==3.75时，p取最大值，所以4故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.10.【答案】C【分析】gx=fx+1令()()，①：根据()=求解出()的值并判断；②：根据()为奇函数可知g00f1gx(−)=−()，化简此式并进行判断；根据=(+)与=()的图象关系确定出()关于点gxgxyfx1yfxfx对称的情况，由此判断出③④是否正确.gx=fx+)，【详解】令()(①因为()为R上的奇函数，所以gx()=(+)=，所以()=，故正确；f1g0f0100②因为()为R上的奇函数，所以gx(−)=−()，所以(gxf−x+1=−fx+)，即)(gx(−)=−(+)，故正确；f1xf1xy=fx+1()的图象由y=()fx的图象向左平移一个单位得到的，因为y=fx+1()的图象关于原点对称，所以y=()的图象关于点0)对称，故③错误④正确，fx又所以正确的有：①②④，故选：C.【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若f(x+a)为偶函数，则函数=()x=a的图象关于直线对称；yyfx（2）若f(x+a)为奇函数，则函数=()的图象关于点(a,0)成中心对称.fx第二部分（非选择题共分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.02x0【答案】0【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“x0，20200x0”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“”0200故答案为：12.【答案】14【分析】由韦达定理可得答案.【详解】方程x−4x+1=0的两根为x和x，则122x+x=4xx=12x+1x22=(12221216−2=14+−=，，则.1212故答案为：14.()(−)fbf213.【答案】【分析】根据函数奇偶性求出函数()，在计算出()与(−)的值即可比较二者之间的大小关系fbf2.fx【详解】因为函数()是偶函数，所以(−)=()fxfxfx,所以()2+b−1x−2，得b=1，即f(x)=x2−，()x2−b−1x−2=x2fb=f1=−1f，因为()()(−2)=2，所以fb)f(−2)，fbf−2故答案为：()()..−答案不唯一62,4(14.【答案】①.)fx=2fx11，【分析】利用二次函数的单调性与对称性计算即可.根据题意令()()=，求出对应的值，x结合二次函数的性质即可求解.()=【详解】由fxx22x+3=(x−)+2，−21,3时，函数单调递增，x0,1，函数单调递减，当x可知故x=1时，(fx=2，x=3时，f(xmax=6，即()()的值域是fx2,6fx2,6..令f(x)=x2−2x+3=2，解得x=1；令f(x)=x2−2x+3=x2−2x−8=0x=2或x=，解得4；fx=x由二次函数的图象与性质可得，若要使函数()2−2x+3的值域是，−4．1,42,1，则它的定义域是可能是，故答案为：;4(答案不唯一)2,6(−15.【答案】【分析】求出函数的对称轴，分类讨论区间端点与对称轴的大小，将恒成立问题转化为最值问题解决.【详解】由f(x)=x2−2ax+2可知，函数对称轴为xa=，1119a(−,)f(x)[,+)在()fx=f()=−a，当时，上单调递增，22249112fxa所以要使()fx()a，即−aa,a，解得a恒成立，即；，421a[,+∞)f(x=f(a)=2−a2f(x)在[a,)上单调递增，所以当则时，2112−a2a,a≤a≤1；，解得22(a综上所述，的取值范围是,1.故答案为：(,116.【答案】①.(1,4)②.【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.x2x22x4或1x2，即1x4，不等式f(x)<0详解：由题意得或，所以x−40x2−4x+30的解集是当4时，f(x)=x−40，此时f(x)=x2−4x+3=x=1,3(−,)，即在上有两个零点；当4时，f(x)=x−4=0,x=4，由f(x)=x2−4x+3在(−,)上只能有一个零点得13.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.A=−−Bx4x2；17.1）(x4x3=−.（2）,B【分析】通过解分式不等式和绝对值不等式求出集合，结合集合的运算即可求解.【小问1x−3x+2x3x2(−)(+)0，0根据题意：，解得：x<2或−或x3，即A=xx−2x3B=x−4x11，即2x+3−52x+35，解得：−4x；；AB=x−4x−2【小问2x−2x−2x，或，4x1−(=−x4x3.()为奇函数，证明如下.fx18.1）（2）证明如下.【分析】(用奇函数的性质证明即可.()用定义证明单调性即可.【小问1()为奇函数；fx证明：由题意知()的定义域x|x关于原点对称，，故得证；fx4f且【小问2证明：设任意的则21x，24f121x−xxx4因为，1212fx−fx0所以()()，12故函数()在(2,+)上单调递增fx2003x+219.1）200（2）y=6x0x5+()8（3）宿舍应建在离工厂km处，总费用最小为36万元.3）根据条件代入，即可求得；（2）费用之和包括函数P、道路费用两部分，加起来即可；（3）用基本不等式求第（2）问函数的最值即可.【小问1k40=k=200，由题意，得31+2【小问22003x+2y=P+6x=+6x(0x5)【小问32003x+22003x+22003x+2y=+6x=23x242+(+)−23x2436，(+)−=2003x+2823x2=(+)0x5x=，即当且仅当，且时取等号38处，总费用最小为36万元.所以，宿舍应建在离工厂320.【答案】答案不唯一，具体见解析121212【分析】讨论a=0、a0时，不等式的解集情况，再分0a、a=、a、0，求出不等式的解集即可．【详解】解：①当a=0时，原不等式为−x+20，解得x2；②当a0时，原不等式为(ax−1x−20)()，1211(ax1x2x−)(−)可得x2或0；0a2（i）当（ii）当（iii）当时，，解不等式aa11a=(−)x220，解得；x2时，原不等式即为22111时，，解不等式(ax1x2x−)(−)可得或x2；a0202aa11，解不等式(02ax1x2−)(−)可得0x2.（iv）当0时，aa1xx2综上所述，当0时，原不等式的解集为；a当a=0时，原不等式的解集为xx2；1120axx或x；当当时，原不等式的解集为a1时，原不等式的解集为xx2；a=2121axx或x2.当时，原不等式的解集为a()，()1,33,921.1）（2）0（）答案见解析）联立方程直接计算；（2）根据二次函数单调性可得参数范围;（3）分类讨论结合函数的单调性求解即可.【小问1当a=1时，()fx=x−x+3，2=−+x32x=1x=3yx或联立方程，解得：，y=3xy3=y=9即交点坐标为()和()3,91,3.【小问2a2a2fx=x函数()2−ax+3在,+−,−,上单调递增，在上单调递减；又函数()在()上不具有单调性，fx,0a0.所以，即02【小问3a−ax+3在,+a函数f(x)=x2上单调递增，在上单调递减；22a()=−+在−上单调递增，()的最小值−2时,fxx2ax3x2,2fx当f2(−)=++=+42a372a．2