人教版九年级数学上册教案第24章 圆

第二十四章圆

24.1圆的有关性质

24.1.1S]

01教学目标

1.了解圆的基本概念，并能准确地表示出来.

2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等.

（）2预习反馈

阅读教材P79〜80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题.

1.如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其

固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

2.圆心为0、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径:圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一

条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.

4.以点A为圆心，可以画无数个圆;以已知线段AB的长为半径，可以画无数个圆:以点A为圆心，AB的

长为半径，可以画L个圆.

【点拨】确定圆的两个要素：圆心（定点）和半径（定长）.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

5.到定点O的距离为5的点的集合是以Q为圆心，1为半径的圆.

03名校讲坛

例1（教材P80例1）矩形A8C。的对角线AC,相交于点。.求证：A,B,C,。四个点在以点O为圆心的

同一个圆上.

【思路点拨】要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点（即圆心）的距离相等.

【解答】证明：；四边形ABC。为矩形，

:.OA=OC=\AC,OB=OD=^BD,AC=BD.

：.OA=OC=OB=OD.

：.A,B,C,。四个点在以点。为圆心，04为半径的圆上（如图）.

例2（教材P80例1的变式）AABC中，NC=90。.求证：A,B,C三点在同一个圆上.

【解答】证明：如图，取AB的中点0,连接0C

•在△ABC中，ZC=90°,

.,.△ABC是直角三角形.

.•.0C=0A=08=%B(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).

B,C三点在同一个圆上.

【跟踪训练1](例1的变式题)(1)在图中，画出。。的两条直径；

(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由.

解：(1)作图略.

(2)矩形.理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形.

【思考】由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？

例3已知。。的半径为2,则它的弦长d的取值范围是0<dW4.

【点拨】直径是圆中最长的弦.

例4在。。中，若弦AB等于。。的半径，则AAOB的形状是等边三角形.

【点拨】与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.

【跟踪训练2】如图，点A,B,C,D都在。。上.在图中画出以这4点为端点的各条弦.这样的弦共有多

少条？

解：图略.6条.

()4巩固训练

1.如图，图中有L条直径，1条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有人条，劣弧有工条.

【点拨】这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.

2.如图，。。中，点A,O,D以及点B,O,C分别在一条直线上，图中弦的条数为2.

3.(《名校课堂〉〉24.1.1习题)点P到。。上各点的最大距离为10cm,最小距离为8cm,则。。的半径是1或

9cm.

【点拨】这里分点在圆外和点在圆内两种情况.

4.如图,已知AB是。0的直径，点C在。O上,点D是BC的中点.若AC=10cw,则0D的长为5an.

【点拨】圆心0是直径AB的中点.

5.如图,CD为。0的直径，ZEOD=72°,AE交。。于B,且AB=OC,则NA的度数为好.

【点拨】连接0B构造三角形，从而得出角的关系.

（）5课堂小结

1.这节课你学了哪些知识？

2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？

24.1.2垂直于弦的直往

01教学目标

1.理解圆的对称性.

2.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质.

3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.

02预习反馈

阅读教材P81〜83内容，并完成下列问题.

1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,圆也是中心对称图形，对称中心为圆心.

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,即

O）

如图，：CD是OO的直径，且AB_LCD,

；.AE=BE；AC=BC；AD=TO.

3.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,即

如图，：CD是。O的直径，且AE=BE（AB不是直径），

.'.CD1AB；起=靛;AD=ro.

03名校讲坛

知识点1垂径定理

例1（教材补充例题）已知。。的半径为5cm.

（1）若圆心。到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长为8cm；

（2）若弦AB的长为8cm,则圆心O到AB的距离为3cm.

【点拨】（1）圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个.（2）“已知弦的中点，连接圆

心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线.

例2（例1的变式题）已知：如图，线段A8与。。交于C,。两点，且04=02.求证：AC^BD.

【解答】证明：作OE_LAB于E.则CE=DE.

'：OA=OB,OELAB,：.AE=BE.

：.AE-CE=BE-DE,即4c=BD

【点拨】过圆心作垂径是圆中常用辅助线.

【跟踪训练1】若。O的半径OA=5a“弦AB=8CTH,点C是AB的中点，则OC的长为3cm.

【跟踪训练2】已知AB是。0的直径，弦CDJ_AB,E为垂足.若AE=9,BE=1,求CD的长.

解:连接OC.

；AE=9,BE=1,半径OC=5,OE=4.

•.•弦CDJ_AB,

.•.在册AiOCE中，CE=dOC2-O中=3.

又；AB是。。的直径，弦CDJ_AB,

；.CD=2CE=6.

【跟踪训练3】。。的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点，则线段0M的长的最小值为3，最

大值为3

【点拨】当0M与AB垂直时，0M最小（为什么）；当M在A（或B）处时，0M最大.

知识点2垂径定理的实际应用

例3（教材P82例2）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳

与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,

求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.

【思路点拨】解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.

【解答】如图，用彘表示主桥拱，设矗所在圆的圆心为O,半径为R.

经过圆心。作弦A8的垂线OC,。为垂足，OC与最相交于点C,连接OA.根据垂径定理，。是AB的中点，

C是前的中点，CZ）就是拱高.

由题设可知AB=37cm,CD=7.23cm,

所以A£>=%B=Tx37=18.5（cm）,

OD^OC-CD=R~7.23.

在RtaOA。中，由勾股定理，得

OA2^AD2+OD2,

即/?2=18.52+（Z?-7.23）2.

解得R^27.3.

因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3m.

【点拨】圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个.

【跟踪训练4】（教材P82例2的变式题）某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13

米，则拱高为区米.

04巩固训练

1.在直径是20cm的。0中，ZAOB的度数是60°,那么弦AB的弦心距是5小cm

【点拨】这里利用60。角构造等边三角形，从而得出弦长.

2.弓形的弦长为6c7”，弓形的高为2cvn,则这个弓形所在的圆的半径为宁_g.

3.如图，AB为。O的直径，E是R中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=&

4.（《名校课堂》24.1.2习题变式）。。的半径是5,尸是圆内一点，且0尸=3,过点尸最短弦的长为8，最长

弦的长为”.

【点拨】过点尸最短弦即为与。尸垂直的弦，最长弦即为直径.

5.（《名校课堂》24.1.2习题变式）已知：如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D

两点.求证：AC—BD.

【点拨】过圆心作垂径.

证明：过点。作0EL4B于点E.

则AE=BE,CE=DE.

：.AE-CE=BE-DE,B|JAC=BD.

6.已知。O的直径是50cm。。的两条平行弦AB=40cm,CD=48cm,求弦AB与CD之间的距离.

【点拨】分情况讨论：①AB,CD在点O两侧；②AB,CD在点O同侧.

解：过点O作直线OEJ_AB于点E,直线OE与CD交于点F.

又：AB〃CD,.,.OF1CD.

①当AB,CD在点O两侧时，如图1.

连接AO,CO,则AO=CO=25cm,AE=20CH,CF=24cm.

由勾股定理知OERACP—AE2=15cm,OF=-\/CO2-CF2=7cm.

...EF=OE+OF=22cm,即AB与CD之间的距离为22c/n；

②当AB,CD在点O同侧时，如图2.

连接AO,CO.PliJAO=CO=25cm,AE=20cm,CF=24。*.

由勾股定理知OERACP-AE2=15cm,OF=A/CO2-CF2=7cm.

.,.EF=OE-OF=8cm,即AB与CD之间的距离为8cm.

综上所述，AB与CD之间的距离为22cm或8sz.

05课堂小结

1.垂径定理及其推论.

2.常用的辅助线（作垂径）和解题思路（构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形）.

24.1.3张，弦、回心角

01教学目标

1.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.

2.运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题.

02预习反馈

阅读教材P83〜84内容，回答下列问题.

1.顶点在圆心的角叫做圆心角.

2.如图所示，下列各角是圆心角的是(B)

A.ZABCB.ZAOBC.ZOABD.ZOBC

3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

4.在同圆或等圆中，两个圆心角,两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

如图，在。O中，AB,CD是两条弦.

(1)如果AB=CD,那么/AOB=NCOD,AB=CD；

(2)如果翁=比)，那么AB=CD,/AOB=/COD；

(3)如果NAOB=NCOD,那么AB=CD,AB^CD.

5.如图，AD是。O的直径，AB=AC,NCAB=120。，根据以上条件写出三个正确结论.(半径相等除外)

D

(l)AACO^AABO；

(2)AD垂直平分BC；

(3)AC=AB.(答案不唯一)

03名校讲坛

例1(教材P84例3)如图，在。。中，AB=AC,ZACB=60°,求证：ZAOB^ZBOC^ZAOC.

A

【解答】证明：•.•矗=念，

：.AB=AC,AABC是等腰三角形.

又•:ZACB=6Q°,

.'.△ABC是等边三角形，AB^AC=BC.

：.NAOB=NBOC=ZAOC.

【跟踪训练1】如图，在。0中，AB=AC,ZACB=75°,求ZBAC的度数.

A

解：VAB=AC,

；./ACB=NABC.

又ZACB=75°,ZACB+ZABC+ZBAC=180°,

；./BAC=30°.

例2(教材P84例3变式题)如图.

（1）如果废）=於，求证：AB=CD;

（2）如果AO=BC,求证：DC=AB.

【解答】证明：（1）•.•翁=元,

：.AD+AC=BC+AC,即比=鼐.

：.AB=CD.

(.2)'：AD=BC,：.AD=BC.

：.AD+AC=BC+AC,即比=靠.

例3（教材补充例题）如图，AB是。。的直径，M,N分别是AO,8。的中点.CMLAB,DNLAB,分别与圆

交于C,D点.求证：AC=BD.

【思路点拨】连接。C,0D,构造全等三角形.

【解答】证明：连接OC,0D.

,：M,N分别为40,8。的中点,

.,.OM=^OA,0N=^0B.

又：0A=08,：.0M=0N.

；CM_LAB,DNA.AB,:.NCM0=NDNO=90°.

\OM-ON,

在RtACMO和Rt/\DNO中，\

[OC^OD,

：.RtACMO^RtAD^O(HL).

/AOC=NBOD.

：.AC=BD.

【跟踪训练2】已知：如图，AB,CD是。0的弦，且AB与CD不平行，M,N分别是AB,CD的中点,

AB=CD,那么/AMN与NCNM的大小关系是什么？为什么？

【点拨】（1）OM,ON具备垂径定理推论的条件；（2）同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等.

解：NAMN=NCNM.理由如下：

连接OB,0D.

VM,N分别是AB,CD的中点，

；.BM=AM,DN=CN,且OM_LAB,0N1CD,即NOMB=/OND=90°.

又；AB=CD,；.BM=DN.

[BM=DN,

在aZXOBM和RfZkODN中，

[OB=OD,

.,./?/AOBM^/?zAODN(WZ,).

OM=ON.ZOMN=ZONM.

A900-ZOMN=90°-ZONM,即NAMN=NCNM.

04巩固训练

1.（《名校课堂》24.1.3习题变本）如图，AB是。。的直径，BC=CI）=DE,ZCOD=35°,则N4OE的度数为

75°.

2.（《名校课堂》24.1.3习题变式）如图所示，CD为。。的弦，在C£＞上截取CE=DF,连接OE,OF,并且它

们的延长线分别交。。于点A,B.

(1)试判断△OEF的形状，并说明理由;

⑵求证：AC^BD.

【点拨】(1)过圆心作垂径；(2)连接AC,BD,通过证弦等来证弧等.

解：(1)Z\OEF为等腰三角形.理由：

过点0作OGJ_CD于点G,则CG=DG.

,:CE=DF,

：.CG~CE=DG-DF,BPEG=FG.

,：OGVCD,；.0G为线段EF的中垂线.

：.OE=OF,即△OEF为等腰三角形.

(2)证明：连接AC,BD.

由(1)知OE=OF,

又•；OA=O3,

：.AE=BF,ZOEF=ZOFE.

:ZCEA=ZOEF,ZBFD=ZOFE,

ZCEA=ADFB.

AE=BF,

在△CEA和△DFB中，＜ZCEA=ZDFB,

、CE=DF,

.,.△CEA丝△OFB(SAS).J.AC^BD.

：.AC=BD.

05课堂小结

弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法.

24.1.4回周角

第1课时圆周角定理及其推论

01教学目标

1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.

2.掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题.

02预习反馈

阅读教材户85〜87,完成下列问题.

1.顶点在圆上，并且两边都与圆H变的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的凸.

3.己知，如图所示，OA,OB是。O的两条半径，点C在。。上.若NAOB=90。，则NACB的度数为筌.

4.圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相篁.

半圆（或直径）所对的圆周角是直鱼，90。的圆周角所对的弦是直径.

5.如图所示，点A,B,C在圆周上，ZA=65°,则ND的度数为空.

6.如图，A,B,C均在。O上，且AB是。。的直径，AC=BC,则NC=2Q5ZA=452.

03名校讲坛

知识点1圆周角定理

例1（教材补充例题）如图所示，点A,B,C在。。上，连接04,OB,若NABO=25°,求NC的度数.

【解答】'：OA=OB,乙48。=25。，

：.ZBAO^ZABO^25°.

：.ZAOB=\30°.

：.ZC=^ZAOB=65°.

【跟踪训练1】如图，点A,B,C在。O上，若/ABC+/AOC=90。，则NAOC大小为婚.

勺------

知识点2圆周角定理的推论

例2(教材P87例4)如图，。。的直径AB为10cm,弦AC为6cm,N4CB的平分线交。。于D,求BC,

AD,BO的长.

【思路点拨】根据A8是直径的条件，得出△ABC,△AB。都是直角三角形，由于RtZXABC中A8,AC已知,

根据勾股定理可求出8c.进一步，因为CD平分NAC8,根据圆周角定理和弧、弦、圆心角之间的关系，可知A£)=

BD,这样，在Rt^ABO中可求出A。和B。的长.

【解答】连接0D

是直径，

ZACB=ZADB=90°.

在RtAABC中，

BC=y]AB2-AC2=^102-62=8(cm).

：CZ)平分NACB,AZACD^ZBCD.

：.ZAOD=ZBOD.：.AD=BD.

又在RtZ\ABD中，ACP+BD^AB2,

.'.AD=BD--^AB=^-X10=5也(cm).

例3(教材补充例题)如图，△4BC的顶点都在。。上，4。是。。的直径，AD=取,ZB=ZDAC,则AC=L

【归纳总结】1.圆周角定理及其推论中的转化思想：

(1)瓠是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；

(2)在同圆或等圆中，90。的圆周角和直径之间可以相互转化.

2.圆周角定理及其推论中常用的辅助线：

当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作

直角

3.利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：

(1)在同圆或等圆中，若要证瓠相等，则考虑证明这两条瓠所对的圆周角相等；

(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；

(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题.

【跟踪训练2】如图所示，点A,B,C在。O上，已知/B=60。，则NCA0=位.

【点拨】连接0C,构造圆心角的同时构造等腰三角形.

【跟踪训练3】如图所示，AB是。。的直径，AC是弦，若NACO=32。，则NB=飨:.

()4巩固训练

1.如图所示，已知圆心角NBOC=100。，点A为优弧前:上一点，则圆周角NBAC的度数为壁.

2.如图所示,OA为。O的半径，以OA为直径的。C与。O的弦AB相交于点D,若OD=5cm,则BE^IOcm.

【点拨】利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线.

3.如图所示，在。。中，ZAOB=100°,C为优弧@的中点，则NCAB的度数为丝.

4.如图，OA,OB,OC都是。O的半径，/AOB=2/BOC.求证：/ACB=2/BAC.

证明：••,NAOB是劣弧@所对的圆心角，NACB是劣弧◎所对的圆周角，，NAOB=2NACB.

同理NBOC=2NBAC.

VZAOB=2ZBOC,

AZACB=2ZBAC.

【点拨】看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.

05课堂小结

圆周角的定义、定理及推论.

第2课时圆内接四边形

01教学目标

1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.

2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处

理相关问题.

02预习反馈

阅读教材P87〜88,完成下列问题.

1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.如

图,四边形ABCD是。O的内接四边形,。0是四边形ABCD的外接圆.

2.圆内接四边形的对角互补.如图，ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180°.

3.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知NBOD=100。，则NA=空，3BCD=130°.

A

()3名校讲坛

例（《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式）如图所示，已知AB是。。的直径，NBAC=32。，力是正的中点,

那么ND4C的度数是多少？

【解答】连接BC.

是。。的直径，

/ACB=90。.

又；NBAC=32。，

.,.ZB=90°-32°=58°.

.../。=180。-/8=122。（圆内接四边形的对角互补）.

又•..。是忿的中点，

ZZMC=ZDCA=1（180°-ZD）=29°.

【跟踪训练1】已知圆内接四边形ABCD中，NA：NB：NC=1：3：5,则/D的度数为维.

【跟踪训练2】（《名校课堂〉＞24.1.4第2课时习题变式）如图，在。O的内接四边形ABC。中，点E在。C的

延长线上.若NA=50。，则

O

A

04巩固训练

1.（《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式）如图，。。的内接四边形ABCD中，ZA=120°,则NBOD等于120。.

2.如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且NA=56。，NE=32。，则/F=

362.

3.如图，在。。中，ZCBD=30°,ZBDC=20°,求NA的度数.

解：:在4BCD中,ZCBD=30°,NBDC=20。,

ZC=180°-ZCBD-NBDC=130°.

.*.ZA=180°-ZC=50°.

05课堂小结

圆内接四边形的对角互补.

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1点和圜的伉置关东

01教学目标

1.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.

2.知道确定一个圆的条件：掌握三角形外接圆及三角形的外心的概念.

3.掌握反证法，并会应用于有关命题的证明.

02预习反馈

阅读教材P92〜95,完成下列问题.

1.设。。的半径为r,点到圆心的距离为d,则有：点在圆外Qd>r,如图中的点C；点在圆上Qd=r,如图

中的点B；点在圆内odVr,如图中的点A.如：若。。的半径为4o"，点A到圆心0的距离为3“〃，则点A与。O

的位置关系是点A在圆内.

2.经过一个已知点A可以作无数个圆；经过两个已知点A,B可以作无数个圆,它们的圆心在线段AB的垂

直平分线上;经过不在同一条直线上的A,B,C三点可以作二个圆，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

3.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫

做这个三角形的外心.锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心在三角形斜边的中点;钝角三角形的外

心在三角形外部.任意三角形的外接圆有二个，而一个圆的内接三角形有无数个.

03名校讲坛

例1（《名校课堂》24.2.1习题）矩形ABC。中，AB=8,BC=3小，点P在边AB上，且BP=3AP,如果圆P

是以点P为圆心，PO为半径作圆，判断点8,C与。P的位置关系.

【解答】•；4B=8,点尸在边AB上，且8P=3",

；.BP=6,AP=2.

根据勾股定理得r=PD=N（3小）2+22=7,

PC=y/PB2+BC2=-\j62+(3^5)2=9.

'：PB=6<r,PC=9>r,

...点8在。尸内，点C在OP外.

【方法归纳】根据勾股定理求出点到圆心的距离d与半径r比较.

【跟踪训练1】（例1变式题）如图，已知矩形A8CZ）的边AB=3cm,AO=4cm.

AD

H

（1）以点A为圆心，4cm为半径作。A,则点8,C,。与。4的位置关系怎样？

（2）若以A点为圆心作。A,使B,C,力三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则。A的半径r的取

值范围是什么？

【解答】⑴；AB=3cmVr,AC^y）AB2+BC2^5cm>r,AO=4cm=r,

...点8在。A内，点C在。A外，点力在。A上.

（2Y：AB<AD<AC,且B,C,£>三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，

3cm<r<5cm.

【思考】（2）问中8,C,。三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外，是指哪个点

在圆外？

例2（教材P95练习3）如图，CD所在的直线垂直平分线段48,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？

D

【解答】因为A,B两点在圆上，所以圆心与A,8两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上.因此使

用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点。就是圆心.

【跟踪训练2】（《名校课堂》24.2.1习题）如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是（一2,—1）.

例3（《名校课堂》24.2.1习题）用反证法证明：若/A,NB,NC是AABC的三个内角，则其中至少有一个

角不大于60°.

【解答】证明：假设NA,NB,NC都大于60。，则有NA+NB+NC180。，这与三角形的内角和等于180。

相矛盾.因此假设不成立，即NA,NB,NC中至少有一个角不大于60。.

【方法归纳】用反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

③由矛盾断定假设不成立，从而得到原命题成立.

【跟踪训练3】已知aABC中，AB=AC,求证：/B<90。.若用反证法证这个结论，应首先假设/B290。.

04巩固训练

1.用反证法证明命题“^ABC中，至少有两个锐角”时，第一步假设为假设AABC中，只有一个锐角.

2.已知。O的半径r=5。”，圆心O与点D的距离OD=3"”，过点D且垂直于OD的直线1上有三点A,B,

C,J.AD=4cm,BD>4cm,CD<4cm.则点A在。。上，点B在。。处，点C在。。内.

3.已知线段AB=4c〃?，以3。*长为半径可作2_个圆使其经过A,B两点，其圆心在线段AB的中垂线上,圆

心与点A的距离为3cm.

4.在放AABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=4cm,以点C为圆心，3。〃?为半径作。仁

（1）点A,B与。C有何位置关系？为什么？

（2）若将。C的半径改为2a",其他条件不变，则结果又如何呢？若将0c的半径改为4cm呢?

解：（1）由条件及勾股定理得AC=^AB2-BC2=^/52-42=3（cm）.

AC=3cm—r,

.•.点A在。C上.

'.'BC=4cm>r,

...点B在。C外.

（2）当。C的半径为2时，点A,B都在。C外：

当。C的半径为4c机时，点B在。C上，点A在。C内.

（）5课堂小结

1.点与圆的三种位置关系.

2.三角形外接圆及三角形的外心的概念.

3.反证法.

24.2.2直线和圆的住置关条

第1课时直线和圆的位置关系

01教学目标

1.理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系.

2.理解记忆割线、切线、切点等概念.

3.能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系.

()2预习反馈

阅读教材P95〜96,完成下列知识探究.

1.直线和圆有两个公共点时,直线和圆相交，这条直线叫做圆的副线.

2.直线和圆只有一个公共点时,直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

3.直线和圆没有公共点时，直线和圆相离.

4.设。。的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则有：直线1和。O相交=归；直线1和。O相切=归;

直线1和。O相离Qd>r.

03名校讲坛

例1在Rf^ABC中，NC=90。，AB=4c/n,BC=2cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？

请你写出判断过程.

(l)r=1.5cm；(2开=小cm；(3)r=2cm.

【解答】过点C作CDLAB,垂足为D.

VAB=4cm,BC=2cm,.,.AC=2-\/3cm.

又SAABC=；AB-CD=；BCAC，

.…BCACr-

•，CD=AB=小cm.

(l)r=1.5cm时,相离;

⑵的时，，相切；

(3)r=2cnz时,相交.

【跟踪训练1】在RfaABC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径作圆.

①当r满足()<!■〈亍52时,0C与直线AB相离;

②当r满足三冷皿时，OC与直线AB相切；

③当r满足r>,5时,0c与直线AB相交.

【跟踪训练2］已知。O的半径为5c/n,圆心O到直线a的距离为3cm,则。O与直线a的位置关系是相交.直

线a与。O的公共点个数是2.

例2已知。O的半径是3cm,直线1上有一点P到O的距离为3cm,试确定直线1和。O的位置关系.

【思路点拨】这里P到O的距离等于圆的半径，而不是点O到直线1的距离等于圆的半径，因此要分情况讨

论.

【解答】相交或相切.

【跟踪训练2】如图，在放ZiABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB

只有一个公共点，则r的取值范围是多少？

c

A6

【点拨】分相切和相交两类讨论.

解：r=2.4或3<rW4.

04巩固训练

1.已知(DO的半径为5,直线1是。。的切线，则点O到直线1的距离是(C)

A.2.5B.3C.5D.10

2.已知OA平分NBOC,P是OA上任意的一点.若以点P为圆心的圆与OC相离，则OP与OB的位置关系

是⑻

A.相切B.相离C.相交D.相离或相切

3.在AABC中，AB=AC=5,BC=6,以点A为圆心，4为半径作。A,则BC与。A的位置关系是(C)

A.相交B.相离C.相切D.不确定

4.已知NAOB=30。，M为OB上的一点，且OM=5c/n,以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位

置关系？为什么？

(l)r=2cm；(2)r=4cm；(3)r=2.5cm.

解：圆心M到OA的距离d=0.50M=0.5X5=2.5(cm).

(])r=2c机时，d>r,直线OA与。M相离；

(2)r=4cm时，d<r,直线OA与。M相交；

(3)r=2.5cm时，d=r,直线OA与。M相切.

第2课时切线的判定和性质

01教学目标

1.探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系.

2.能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线.

3.会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题.

02预习反馈

阅读教材P97〜98,完成下列问题.

1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2.切线的性质：①切线和圆只有一个公共点:②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半

径.

3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点,得到半径，那么

半径垂直于切线.

03名校讲坛

例（教材P98例1）如图，AABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰48与。。相切于点。，求证：AC

是。。的切线.

【思路点拨】根据切线的判定定理，要证明4c是。。的切线，只要证明由点。向AC所作的垂线段OE是

。。的半径就可以了，而。。是。。的半径，因此需要证明OE=OD

【解答】证明：过点。作OEL4C,垂足为E,连接0。，OA.

与48相切于点O,

：.OD±AB.

又aABC为等腰三角形，O是底边8c的中点，

；.AO是/8AC的平分线.

：.OE=OD,即OE是。。的半径.

这样，AC经过。。的半径OE的外端E,并且垂直于半径OE,所以AC与。。相切.

【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径.

【跟踪训练1】（《名校课堂〉〉24.2.2第2课时习题）如图，AB为。。的直径，点E在。。上，C为前的中点,

过点C作直线COLAE于。，连接AC试判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由.

解：直线8与。。相切，理由:

连接OC,

为病的中点，：.BC=CE.

：.ZDAC^ZBAC.

'：OA=OC,

：.ZBAC^ZOCA.

：.ZDAC=ZOCA.：.OC//AD.

'：ADLCD,：.OC±CD.

又：0c为。。的半径，

...CO是的切线.

【跟踪训练2】如图，AB是。。的直径，BC切。O于B,AC交。O于P,E是BC边上的中点，连接PE,

则PE与。。相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由.

解：相切.

证明：连接OP,BP,则OP=OB.

AZOBP=ZOPB.

VAB为直径，

ABP1PC.

在Rf^BCP中，E为斜边中点，

.,.PE=|BC=BE..\/EBP=/EPB.

...ZOBP+ZEBP=ZOPB+ZEPB,

即/OBE=NOPE.

：BE为切线，AABIBC.

AOP±PE.

又...OP为。o的半径，

；.PE是。O的切线.

04巩固训练

1.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与

OP的位置关系是(8)

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

2.如图，A,B是。O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果/AOB=120。，那么当/CAB的度数等于

婚时，AC才能成为。。的切线.

3.如图，AB是。O的直径，点D在AB的延长线上，DC切。O于C.若NA=25。，则/D=处.

4.如图，在aABC中，AB=AC,以AC为直径的。O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DFJ_AB,垂

足为F,连接DE.求证：直线DF与。0相切.

B

证明：连接OD.；AB=AC,；.NB=NC.

VOD=OC,AZODC=ZC.

.../ODC=NB".OD〃AB.

VDF1AB,AODIDF.

又•.•点D在。O上，

直线DF与。O相切.

05课堂小结

1.有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；

2.“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切.

①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；

②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d=r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线

的垂线，证明垂线段的长等于半径.

第3课时切线长定理

01教学目标

1.理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题.

2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.

02预习反馈

阅读教材P99〜100,完成下列知识探究.

1.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.图中的切线长为PB.

2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等,图中相等的线段有PA,PB,这一点和

圆心的连线壬分两条切线的夹角，图中相等的角为/APO=/BPO.

3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

4.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心,它到三边的距离相等.

03名校讲坛

例（教材P100例2）如图，ZVIBC的内切圆。。与BC,CA,4B分别相切于点E,F,且AB=9,BC=14,

CA=13.求AF,BD,CE的长.

【思路点拨】根据切线长定理得AE=4尸，BF=BD,CE=CD,设用含x的代数式表示出B。，CD,

根据BC=14列出方程即可.

【解答】设AF=x,则4E=x,

CD=CE=AC~AE=13-x,BD=BF=AB~AF=9~x.

由BD+CD=BC,可得(13—x)+(9—x)=14.解得x=4.

因此AF=4,BD=5,CE=9.

【跟踪训练】（《名校课堂》24.2.2第3课时习题）如图，已知（DO是RtZ\A8C（/C=90。）的内切圆，切点分别

为D,E,F.

（1）求证：四边形OZ5CE是正方形；

（2）设BC=a,AC=b,AB=c,求。。的半径r.

A

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