8.6.1 空间直线、平面的垂直（原卷版）（人教版2019必修第二册）-人教版高中数学精讲精练必修二

8.6.1空间直线、平面的垂直考法一异面直线所成角【例1】（2024山东烟台）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024·陕西）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．2．（2023北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．3．（2024北京）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．考法二线线垂直【例2-1】（2023北京）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.【例2-2】（2023云南）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.【一隅三反】1．（2023福建福州）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.2．（2024天津）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.3（22·23高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？(2)求证直线与BC垂直．(3)求直线与AC的夹角．考法三线面垂直的判定【例3-1】（2024广东湛江）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，，证明：BD平面

2（2024海南）如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点，证明：平面【一隅三反】1．（2023高一课时练习）如图，在正方体中，为的中点，.求证：（1）平面；（2）平面.2．（2024天津）如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.(1)求证：直线平面；(2)求证：直线平面；3（2024内蒙古）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.(1)证明：平面.(2)若，求三棱锥的体积.考法四面面垂直判定【例4】（2024河南）在四棱锥中，底面是正方形，平面．

(1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．【一隅三反】1（2024广西柳州）如图，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且．求证：平面平面．

2．（2023内蒙古）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：(1)平面；(2)平面平面.3（2024江苏南京）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．考法五线面垂直的性质定理【例5-1】（2023上海）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.【例5-2】（2023安徽）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面【例5-3】（2023广东肇庆）如图，在正三棱柱中，D是棱的中点.(1)证明：；(2)证明：平面.【一隅三反】1．（2023北京）如图，已知正方体的棱长为2．，分别为与上的点，且，．求证：；2．（22·23高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.3．（2024湖北）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：．考法六面面垂直的性质定理【例6-1】（2024·河南信阳）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，【例6-2】（2023北京）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．(1)求证：平面；(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．【一隅三反】1．（2023山东济宁）已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行C．且 D．且2．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：.3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，．若为的中点，求证：．4．（2023河南）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：．单选题1．（2024·湖北）正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．12．（2023北京海淀）已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·广东）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（

）

A． B．平面C． D．平面4．（22·23高一下·全国·课时练习）对于直线m、n和平面、，的一个条件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．（2023北京房山）如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面6．（2024江西上饶）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则7．（22·23高一下·江苏镇江·期末）对于直线和不重合的平面，，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则8．（2024陕西）已知在边长为6的菱形中，，点，分别是线段，上的点，且．将四边形沿翻折，当折起后得到的几何体的体积最大时，下列说法其中正确的是（

）

A．B．C．平面平面D．平面平面多选题9．（2024贵州贵阳）已知,表示平面，m，n表示直线，则（

）A．若，n，则mB．若，，则C．若，，则D．若，，则10．（2024云南玉溪）在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（

）A．B．C．异面直线，EF所成角的正切值为D．异面直线，EF所成角的正切值为11．（2024黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面12（2023河北）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面填空题13．（2023广东）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于14．（2024·安徽）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有条15．（2023广东）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（2023湖南永州）如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为解答题17．（2023广东潮州）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：18．（2024河南南阳）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．19．（2023上海）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．20．（2024上海）如图，在四