高考总复习理数（北师大版）课时作业提升61分类加法计数原理和分步乘法计数原理

课时作业提升(六十一)分类加法计数原理和分步乘法计数原理A组夯实基础1．某局的号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的号码的个数为()A．20 B．25C．32 D．60解析：选C依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的号码的个数为25＝32.2．现用4种不同的颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种 B．30种C．36种 D．48种解析：选D分4个步骤依次对1,2,3,4进行着色，易知不同的着色方法共有4×3×2×(1＋1)＝48种，故选D．3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10解析：选C分两类情况：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．4．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279解析：选B十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)；第2步，排十位数字，有9种方法；第3步，排个位数字，有8种方法，根据分步乘法计数原理，共有9×9×8＝648个没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有()A．32个 B．34个C．36个 D．38个解析：选A先把集合中的元素分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选一个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个满足题意的子集．6．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：∵P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，∴x∈{y,2}．∴当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．当x＝y时，x可取3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．综上，共有7＋7＝14种情况．即这样的点的个数为14.答案：147．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他三个号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有情况有________种．解析：按照车主的要求，从左到右第一位有5种选法，第二位有3种选法，其余三位各有4种选法，因此车牌号码可选的所有情况有5×3×4×4×4＝960种．答案：9608．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有3、6、8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种．(2)分两步，先选老师，共3种选法，再选学生，共6＋8＝14种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×14＝42种．(3)选老师、男同学、女同学各一人，可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步乘法计数原理知总方法数为3×6×8＝144种．B组能力提升1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24解析：选B易知长方体的6个表面所在的平面分别与相应直线(过两个顶点)构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外，长方体的6个对角面所在的平面分别与相应直线(过两个顶点)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，故共有36＋12＝48(个)，故选B．2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A．12种 B．10种C．9种 D．8种解析：选A2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有Ceq\o\al(2,4)种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有Aeq\o\al(2,2)种方法，故不同的安排方案共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12种，故选A．3．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”，则a，b“心有灵犀”的情形的种数为()A．9 B．16C．20 D．28解析：选D由题意知，当a为0时，b只能取0,1；当a为9时，b只能取8,9；当a为其他数时，b都可以取三个数．故共有28种情形．4．(2018·合肥模拟)数字0,1,2,3,4组成的五位数(可有重复数字)中，中间三位数字各不相同，首末两位数字相同的共有________个．解析：先从1,2,3,4四个数中选取1个作首末数字，有4种选法，再从0,1,2,3,4五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有Aeq\o\al(3,5)＝60种选法，根据分步乘法计数原理知满足题意的有60×4＝240个五位数．答案：2405．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有________种(用数字作答)．解析：分两步：第一步，先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，所以共有5种排法．第二步，排a2，a4，a6，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，故有5×6＝30种不同的排列方法．答案：306．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种(用数字作答)?解：方法一从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，可知必有2组同颜色的花，故从同色入手分类求解．(1)若2与5同色，则3,6或4,6同色，共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；(2)若3与5同色，则2,4或4,6同色，共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；(3)若2与4且3与6同色，则共有4×3×2×1＝24种栽种方法．所以共有48＋48＋24＝120种栽种方法．方法二记四种颜色的花分别为A，B，C，D，先安排1,2,3，有4×3×2种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽种A，B，C，则4,5,6的栽种方法共有5种，由以下树状图清晰可见．根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×5＝120种不同的栽种方法．7．电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观