高中数学-向量的内积概念

1、2021/8/141向量的内积的概念向量的内积的概念向量的长度向量的长度向量的正交性向量的正交性向量空间的正交规范基的概念向量空间的正交规范基的概念向量组的正交规范化向量组的正交规范化正交阵、正交变换的概念正交阵、正交变换的概念1. 预备知识：向量的内积预备知识：向量的内积 n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向量的内积，从而引进量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度，维向量的度量概念：向量的长度，夹角及正交。夹角及正交。2021/8/142定义定义1 设有设有 n 维向量维向量TnTnyyyyxxxx),(,),(2121 向量内积的

2、概念向量内积的概念在空间解析几何中，两向量的数量积在空间解析几何中，两向量的数量积 cos|yxyx 在直角坐标系中表示为在直角坐标系中表示为,),(),(332211321321yxyxyxyyyxxxyx 推广到推广到 n 维向量即有：维向量即有：的的与与称称为为向向量量令令yxyxyxyxyxyxnn, ,2211 内积内积。2021/8/143,yxyxyxT 有有均均为为列列向向量量时时与与当当可可以以用用矩矩阵阵表表示示种种运运算算向向量量的的内内积积是是向向量量的的一一内积的内积的运算规律运算规律：. 0,0, 0,).(;, :).(;, :).(;, :).(;, :).(2

3、 xxxxxvyyxxyxivzyzxzyxiiiyxyxyxiixyyxi有有时时且且当当施施瓦瓦茨茨不不等等式式加加法法分分配配律律数数乘乘结结合合律律交交换换律律 2021/8/144向量的长度向量的长度由向量内积的性质由向量内积的性质(v) 自然引入向量的长度。自然引入向量的长度。定义定义1 令令.,22221的的长长度度为为向向量量xxxxxxxn 向量长度的性质：向量长度的性质：.:).(;:).(;,0, 0:).(yxyxiiixxiixxi 三三角角不不等等式式齐齐次次性性等等式式成成立立时时当当且且仅仅当当非非负负性性 为为时时，称称当当xx1 单位向量单位向量。2021/

4、8/145,0, 0时时当当 yx|,arccosyxyx 正交向量组正交向量组：指一组两两正交的非零向量。：指一组两两正交的非零向量。的的与与维维向向量量称称为为yxn向量的正交性向量的正交性 空间解析几何中两向量垂直推广到空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可维向量，可得向量的正交性概念。得向量的正交性概念。.,0.,0,何何向向量量正正交交与与任任时时当当正正交交与与称称向向量量时时当当xxyxyx 夹角夹角。2021/8/146定理定理1.,2121线线性性无无关关则则的的非非零零向向量量是是一一组组两两两两正正交交维维向向量量若若rrn 证证, 0,221121 rrr 使使

5、设设有有得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1T , 0111 T, 01 因因, 02111 T故故. 01 从从而而必必有有. 0, 0,2 r 可可证证类类似似地地.,21线线性性无无关关于于是是向向量量组组r 2021/8/147 121,11121aa例例1解解 ,12111121 TTaaA记记即即应满足齐次方程应满足齐次方程, 03 xAa,00121111321 xxx已知已知 3 维向量空间维向量空间 R 3 中两个向量中两个向量.,3213两两两两正正交交使使试试求求一一个个非非零零向向量量正正交交aaaa2021/8/148 ,0231xxx得得.101 从从而而有有基基础

6、础解解系系.1013即即可可取取 ,010101030111 由由A2021/8/149 212100,212100,002121,0021214321eeee例例如如就是就是 R 4 的一个正交规范基。的一个正交规范基。向量空间的规范正交基向量空间的规范正交基定义定义3.,)(,212121的的一一个个规规范范正正交交基基是是则则称称单单位位向向量量且且都都是是两两两两正正交交如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设VeeeeeeRVVeeenrrnr 2021/8/1410,2121线线性性表表示示应应能能由由任任一一向向量量中中那那么么的的一一个个规规范范正正交交基基

7、是是若若rreeeVVeee rreee 2211设设表表示示式式为为,), 2 , 1(iiiTiTiieeeri 有有左左乘乘上上式式用用为为求求其其中中的的系系数数.,iTiiee 即即2021/8/1411向量组的正交规范化向量组的正交规范化.,.,.,2121212121基基规规范范正正交交化化这这个个这这样样的的问问题题称称为为把把等等价价与与使使交交的的单单位位向向量量正正这这也也就就是是要要找找一一组组两两两两的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设rrrrreeeeeeVV :,21规范正交化规范正交化可以用以下办法把可以用以下办法把r

8、 2021/8/1412;,1112122bbbabab .,111122221111 rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab;11 b取取.,212121等等价价与与且且两两两两正正交交可可以以证证明明rrrbbbbbb 2021/8/1413,1,1,1222111rrrbbebbebbe 就得就得 V 的一个正交规范基。的一个正交规范基。然后只要把它们单位化，即取然后只要把它们单位化，即取.)(,2121正正交交化化过过程程的的过过程程称称为为施施密密特特组组寻寻出出正正交交向向量量上上述述从从线线性性无无关关向向量量组组Schimidtbbbrr .,:,21212121

9、等价等价与与向量组向量组对任何对任何还满足还满足等价等价与与它不仅满足它不仅满足kkrrbbbkbbb 2021/8/1414,014,131,121321 aaa设设试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。解解;11ab 取取;1113512164131,1211222 bbbaab例例2 22021/8/1415.10121113512131014,222231211333 bbbabbbaab再把它们单位化，取再把它们单位化，取,12161111 bbe.10121333 bbe,11131222 bbe2021/8/1416,1111 a已已

10、知知.,32132两两两两正正交交使使求求一一组组非非零零向向量量aaaaa解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT即即应应满满足足方方程程例例 3 3它的基础解系为它的基础解系为.110,10121 2021/8/1417.1212110121110,10132 aa把基础解系正交化，即为所求。取把基础解系正交化，即为所求。取;12 a 于是得于是得其中其中, 2, 1,1121 .,1112123 a2021/8/1418 由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化组时，只要抓住向量正交的本质，可以避

11、免正交化过程。过程。x1 + x2 + x3 = 0的基础解系为例，的基础解系为例，21,011 使得前两个分量与使得前两个分量与1 的前两个分量对应的前两个分量对应乘积之和为零即可，乘积之和为零即可，,2112 容易验证容易验证.21是是正正交交的的与与 要求两两正交的基础解系，只要取要求两两正交的基础解系，只要取从而取从而取以例以例3中求齐次线性方程组中求齐次线性方程组2021/8/1419Ex.1.,422143214321两两两两正正交交使使求求一一组组非非零零向向量量已已知知aaaaaaaa . 0422, 0,43211432 xxxxxaaaaT即即应应满满足足方方程程向向量量解

12、解其基础解系可取为其基础解系可取为.9884,0542,0012321 .,342312321即即可可取取是是两两两两正正交交的的显显然然 aaa2021/8/1420 定义定义4 如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 满足满足AT A = E ( 即即 A1 = AT ),那么称那么称 A 为为正交阵正交阵。 上式用上式用 A 的列向量表示，即是的列向量表示，即是 ,2121EaaaaaanTnTT ), 2 , 1,(0, 1njijijiaaijjTi 亦亦即即2021/8/1421 2121000021212121212121212121P是正交阵。是正交阵。例例4 解解 P 的每一个行向量

13、都是单位向量，且两两的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以正交，所以 P 是正交阵。是正交阵。验证矩阵验证矩阵这就说明：方阵这就说明：方阵A 为为正交阵正交阵的充分必要条件是的充分必要条件是A 的列的列( 行行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A 的的n 个列个列( 行行)向量构成向量空间向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。的一个规范正交基。2021/8/1422 定义定义5 若若 P 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 y = P x 称称为为正交变换正交变换。 .xxxxPPxyyyTTTT 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。型的几何特征。设设 y = P x 是正交变换，则有是正交变换，则有2021/8/1423 (i). 正交矩阵正交矩阵A 的行列式的行列式 |A| = 1 或或|A| = 1;