8.3 列联表与独立性检验（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修三

8.3列联表与独立性检验考法一分类变量与列联表【例1-1】（2024上海）下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（

）总计a217322527总计b46100A．52、54B．54、52C．94、146D．146、94【答案】A【解析】由题意可得，解得，所以a、b值分别为52、54.故选：A.【例1-2】（2024广西）假设有两个变量x与y的列联表如下表：abcd对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【解析】对于A，，对于B，，对于C，，对于D，显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,故选:B.【例1-3】（2023河北）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（

）

B．

C．

D．

【答案】B【解析】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系，由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系，故选：B【一隅三反】1．（2024江苏·课时练习）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下：优秀非优秀总计甲班乙班总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．列联表中c的值为20，b的值为50D．由列联表可看出成绩与班级有关系【答案】D【解析】依题意，解得，由解得.补全列联表如下：优秀非优秀总计甲班乙班总计105甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误.故选：D2．（2024湖北）假设有两个分类变量与的列联表如下表：对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大，对于A选项，，对于B选项，，对于C选项，，对于D选项，，显然D中最大，故选：D.3．（2023·四川达州）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（

）A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C．样本中选择物理学科的人数较多D．样本中男生人数少于女生人数【答案】C【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.故选：C.4．（2024吉林·阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（

）A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】D【解析】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.故选：D.考法二独立性检验的概念及辨析【例2-1】（2024·广东广州）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（

）A．变量与独立B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过C．变量与不独立D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】A【解析】因为，所以，依据的独立性检验，我们认为变量与独立，故选：A.【例2-2】（2023山东烟台·期中）下列关于独立性检验的说法正确的是（）A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大【答案】D【解析】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故错误；对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确；故选:D.【一隅三反】1．（2023全国·专题练习）（多选）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2＝2.974，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析变量x与y相互独立B．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析变量x与y不相互独立C．变量x与y相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1D．变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1【答案】AD【解析】因为，的独立性检验变量x与y相互独立，的独立性检验变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1.故选：AD.2．（2023云南）（多选）为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（）附表：A．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”B．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”C．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”D．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”【答案】BC【解析】因为，所以，所以根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”；故选：BC.3．（2023北京）（多选）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为9认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）4010已知，，则下列判断正确的是（）A．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关【答案】AC【解析】根据题目提供的数据，计算出的观测值，结合选项进行判断.∵的观测值为9，且P（≥6.635）＝0.010，P（≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C正确，选项D错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为%≈66.7%，故选项A正确，选项B错误.故选：AC.考法三独立性检验的计算【例3】（2024江西九江）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数174360502631该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关，请根据上表数据将如下列联表补充完整后，求出随机变量的观测值.潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200附：，其中.【答案】【解析】由题意得列联表：潜伏期≤6天潜伏期>6天总计50岁以上（含50岁）752510050岁以下4555100总计12080200由上表可得.故答案为：.【一隅三反】1．（2023·四川绵阳）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有人.参考数据及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】12【解析】设男生人数为，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生女生总计若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，由，解得，因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人.故答案为：.2．（2024·陕西安康·模拟预测）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.(1)完成如下用户类别与购买意向的列联表；购买6元购买24元总计个人用户公司用户总计(2)能否有的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）附：，临界值表如下：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析(2)有的把握认为用户类别与购买意向有关系【解析】（1）解：设购买24元的个人用户数为，则购买24元的公司用户数为，设购买6元的公司用户数为，则购买6元的个人用户数为，则有，解得，所以用户类别与购买意向列联表如下：购买6元购买24元总计个人用户4060100公司用户2080100总计60140200（2）解：由（1）中列联表，可得，所以有的把握认为用户类别与购买意向有关系.3．（2024·陕西商洛）随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了两个参加国内学科竞赛的中学，从两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次中学116中学349(1)试判断是否有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自中学的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关(2)【解析】（1）补全列联表如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次总计中学11617中学34943总计451560所以，故没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.（2）由题知，用分层抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，记为，来自中学的有3人，记为，从这5人中任选3人进行深度调研，所有的结果有，共10种，其中恰有2人来自中学的结果有，共6种，故所求概率.考法四独立性检验解决实际问题【例4】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知某校高一有600名学生（其中男生320名，女生280名）.为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下的列联表.选择课程选择课程总计男生200女生60总计(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；(2)在所有男生中按列联表中的选课情况采用分层抽样的方法抽出8名男生，再从这8名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程的人数为，求的分布列及数学期望.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，有关，理由见解析(2)分布列见解析，.【解析】（1）解：由男生320名，女生280名，结合表中数据，列联表，如图所示，选择课程选择课程总计男生120200320女生60220280总计180420600可得，所以有的把握认为选择课程与性别有关.（2）解：抽出8名男生中，选择课程的人数为：（名），选择课程的人数为：5（名），随机变量的所有可能取值为，可得，，则的分布列为0123所以.【一隅三反】1．（2023河北保定·开学考试）在治疗某种疾病中，某医院有两套治疗方案，方案一：以中医药为主，方案二：以西医药为主，为了检验这两种方案哪种方案更有效，随机选取150名患者进行分组对照治疗，其中应用方案一为80人，应用方案二为70人，经过一段时间治疗后，应用方案一组有65人明显好转或治愈，应用方案二组有45人明显好转或治愈.(1)根据小概率值的独立性检验，能否判断方案的选择和治疗效果有关？(2)利用分层随机抽样的方法从这两组中疗效不明显的患者中随机选取8人，再从这8人中随机选取4人，这4人中，选自方案二组的人数为，求的分布列与数学期望.参考公式及参考数据：.0.250.150.100.050.0250.0100.0011.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)能，理由见详解；(2)分布列见详解，.【解析】（1）根据题意可得方列联表如下所示：有效果（好转或治愈）效果不明显合计方案一方案二合计零假设：方案的选择和治疗效果无关.故可得：，故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故可以判断方案的选择和治疗效果有关.（2）由题可得两组中疗效不明显的患者共有人，从中抽取人，则方案一组抽取，方案二组抽取人；再从中抽取人，选自方案二组的人数为，则，，，，故的分布列如下所示：.2．（2023全国·开学考试）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？了解人工智能不了解人工智能合计男生女生合计(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差.参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析；没有(2)①；②，.【解析】（1）因为，所以了解人工智能的女生为，了解人工智能的总人数为，则了解人工智能的男生有人，结合男生和女生各有人，填写列联表为：了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100因，故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.（2）①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，，所以，，.3．（2024·湖北）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系(2)，(3)分布列见解析；期望为【解析】】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值为；且服从超几何分布：故所求分布列为0123可得4．（2024上海浦东新·阶段练习）环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）．调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．(1)完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；汽车日流量汽车日流量合计的平均浓度的平均浓度合计(2)经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1）参考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回归方程，其中．相关系数．若，则认为与有较强的线性相关性．【答案】(1)列联表见解析，至少有的把握；(2)①0.84，有价值；②【解析】（1）列联表如下：汽车日流量汽车日流量合计的平均浓度16824的平均浓度62026合计222850零假设：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，因为，所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．（2）①因为回归方程为，所以，又因为，，所以．与有较强的相关性，该回归方程有价值．②，解得而样本中心点位于回归直线上，因此可推算.单选题1．（2023高二·全国·专题练习）某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，，，，，所以，，，，．故选：D．2．（2023·云南昆明）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：项目种子处理种子未处理总计得病32101133不得病192213405总计224314538根据以上数据，则（

）A．种子是否经过处理决定是否生病B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理跟是否生病有关D．以上都是错误的【答案】C【解析】由列联表中的数据可知，种子经过处理，得病的比例明显降低，种子未经过处理，得病的比例要高些，所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关.故选：C3（2024吉林长春）观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】等高的条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小.故选：B.4．（2023江西九江）假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为（

）根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，显然最大，故C正确.故选：C.5．（2024江西九江）某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（

）把握喜欢篮球与性别有关.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】B【解析】，有把握认为喜欢篮球与性别有关，故选：B.6．（2024四川成都）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下列联表（部分数据缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828计算可知，根据小概率值______的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【解析】完善列联表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100假设：“给基因编辑小鼠注射该疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”.因为：，而，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立.即认为“给基因编辑小鼠注射该疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.故选：B7（2024四川绵阳）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.故选：B．8．（2023山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根据题意，不妨设，于是，由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，于是最小值为.故选：C多选题9．（2023福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（

）

A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为【答案】CD【解析】由图可知，女生喜欢数学的占，男生喜欢数学的占，男生不喜欢数学的百分比为，故B错误，D正确；显然性别与喜欢数学有关，故A错误；男生比女生喜欢数学的可能性大些，故C正确.故选：CD.10．（2023高三上·全国·专题练习）对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表：优秀不优秀总计甲班10b乙班c30总计已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（）.A．列联表中c的值为的值是35B．列联表中c的值为的值为50C．根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系D．不能根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系【答案】ABD【解析】由题意，知成绩优秀的学生人数是，成绩不优秀的学生人数是，所以，，选项A，B错误；因为，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系，故C正确，D错误.故选：ABD.11．（2023贵州）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效”D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大【答案】AD【解析】因为，即，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，故在犯错误的概率不超过的前提下，认为药物有效，故BC错误．而根据统计量的意义，可得其值越大，则判断与有关系的把握程度越大，故D正确.故选：AD．12．（2024广东深圳）某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：64161010经计算，则可以推断出（

）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64B．若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C．在犯错的概率不超过的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关D．有超过99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关【答案】ACD【解析】补充完整列联表如下：合计641680101020合计7426100对于A选项，该市一天中，空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；对于B选项，由，显然观测值也扩大十倍，故B不正确；因为，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过的条件下，即有超过的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，故C、D正确.故选：ACD填空题13．（2023河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表：了解不了解总计年龄不小于60岁aba＋b年龄小于60岁cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d给出下列4组数据：①；②；③；④．则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是．（填序号）【答案】③【解析】当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大，在①中，，在②中，，在③中，，在④中，,故居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是③,故答案为：③14（2024湖北）已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879则最大有的把握说变量有关系.（填百分数）【答案】【解析】因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系.所以最大有的把握说变量有关系.故答案为：15．（2023高三上·全国·专题练习）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．【答案】0.01【解析】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．故答案为：0.01.16．（2024宁夏银川）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是①列联表中c的值为30，b的值为35；②列联表中c的值为20，b的值为45；③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.【答案】②③【解析】由题意，在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，所以成绩优秀的人数为人，非优秀的人数为人，所以，故①错误，②正确；则，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”，故③正确，④错误.故答案为：②③.解答题17．（2024·福建龙岩）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病未感染支原体肺炎6080感染支原体肺炎4020(1)试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为，求的分布列和数学期望.附：.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有关(2)分布列见解析；【解析】（1）假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.则，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）由已知得，，，所以随机变量的分布列为：0123所以.18．（2023辽宁·开学考试）某单位为了解性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了100名员工，得到的数据如表：对工作满意对工作不满意总计男203050女302050总计5050100(1)能否有的把握认为对工作是否满意与性别有关？(2)将频率视为概率，从该公司所有男性员工中随机抽取2人进行访谈，记这2人中对工作满意的人数为，求的分布列与数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有的把握认为对工作是否满意与性别有关(2)分布列见解析；期望为【解析】（1）因为，所以有的把握认为对工作是否满意与性别有关．（2）由表中数据可知，从该公司所有男性员工中随机抽取1人进行访谈，此人对工作满意的概率为由题意可知的可能取值为，，，．故的分布列为012故．19．（2024海南省）2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．【答案】(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联(2)【解析】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．，∴依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，∴随机变量，∴．要使取得最大值，则需，解得，∵，∴当时，取得最大值．20．（2024山西·阶段练习）光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082(1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？(2)①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望；②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．参考数据：取．若，则，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)答案见解析(2)①分布列见解析，；②【解析】（1）由题意可得：列联表为物理优秀物理非优秀总计数学优秀246数学非优秀044总计2810零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，可得，依据小概率值的独立性检验，可以推断成立，即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.（2）由题意可知：抽取的5人中数学等第优