人教版高中物理举一反三-必修一3.5.1共点力平衡计算（教师版）

3.5.1共点力平衡计算解析版目录TOC\o"1-1"\h\u一、【三角函数法（直角）知识点梳理】 1二、【菱形法知识点梳理】 3三、【相似三角形法知识点梳理】 4四、【正弦三角函数法知识点梳理】 6五、【自锁问题知识点梳理】 7六、【整体隔离法（多对象）知识点梳理】 9【三角函数法（直角）知识点梳理】对一个研究对象所受力进行合成和分解后，在力的三角形中含有直角，可以用一个已知的力和已知的夹角用三角函数求出其他的力。若已知F2，θ求F1、F。则F1=F2sinθF=F2cosθ若已知F1，θ求F2、F。则F2=F1/sinθF=F1/tanθ若已知F，θ求F1、F2。则F1=FtanθF2=F/cosθ【三角函数法（直角）举一反三练习】1．如图，悬线OA与天花板夹角为60°，悬线OB水平，所挂物体的重力为，求：（1）悬线OA和OB的拉力大小；（2）若保持OA、OC位置不变，所挂物体的重力也保持不变，仅改变悬线OB方向，使其方向与竖直方向的夹角变为30°，再计算悬线OA和OB的拉力大小。【答案】（1）200N，100N；（2）100N，100N【详解】（1）对结点O受力分析，则将正交分解，根据平衡条件，有解得，（2）悬线OB方向改变后，对结点O受力分析，则将、正交分解，根据平衡条件，有解得2．如图所示，已知质量分布均匀的球重，悬挂在光滑竖直墙边并处于静止状态，绳与墙夹角为，。求：（1）轻绳对球的拉力大小；（2）球对墙面的压力大小。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）根据题意，对球受力分析，如图所示

由平衡条件可得解得（2）由平衡条件有解得由牛顿第三定律知，球对墙面的压力大小3．如图所示，光滑金属球的质量G=100N．它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角=37°的斜面体上．已知斜面体处于水平地面上保持静止状态，sin37°=0．6，cos37°=0．8．求：（1）墙壁对金属球的弹力大小（2）斜面体对金属球的弹力大小；【答案】(1)N1=75N；(2)N2=125N【详解】金属球静止，则它受到三力而平衡，如图所示：由平衡条件可得墙壁对金属球的弹力为：N1=Gtanθ=100×tan37°=75N斜面体对金属球的弹力为：N2==125N4．（多选）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是（  ）A． B．F＝mgtanθ C． D．【答案】AC【详解】将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图所示联立解得故选AC。5．碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d为（）

A． B． C． D．【答案】D【详解】设米粒的质量为，当米粒受到碗的摩擦力达到最大时，米粒距碗口的距离最小，设支持力与与水平方向的夹角为，做出米粒的受力分析如图所示

根据平衡条件有，，联立解得而根据几何关系有，联立解得故选D。【菱形法知识点梳理】当两分力大小相等，夹角为θ，画力的平行四边形为菱形。菱形的两条对角线相互垂直。大小：F=2F1cosθ方向：F与F1夹角为θ特殊情况：当θ=120°时，F1=F2=F【菱形法举一反三练习】6．如图所示，两根相同的橡皮绳OA、OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一重50N的物体后，结点O刚好位于圆心．今将A、B分别沿圆周向两边移至A′、B′，使∠AOA′＝∠BOB′＝60°，欲使结点仍在圆心处，则此时结点处应挂多重的物体？【答案】25N【详解】：当AO、BO夹角为0°时，设每根橡皮绳上弹力为F，合力为2F，与重力平衡．2F＝G1＝50N，所以F＝25N.当A′O、B′O夹角为120°时，A′、B′还在圆周上，每根橡皮绳伸长不变，拉力仍为F＝25N，而此时合力为：F合＝F＝25N，所以此时结点处应挂重25N的物体．7．如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果演员和独轮车总质量为80kg，两侧的钢索互成150°夹角，求钢索所受拉力有多大？（cos75°＝0.259，g＝9.8m/s2）【答案】1514N【详解】对与车轮接触的钢索上的点受力分析，其受力如图所示，其中F1、F2为两侧钢索对O点的拉力，显然F1＝F2G′为独轮车对O点的压力，平衡时F1、F2的合力F大小与G′相等。G′数值等于人和车的重力G。由几何关系得：2F1cos75°＝mg所以8．如图所示是由某种材料制成的固定在水平地面上半圆柱体的截面图，O点为圆心，半圆柱体表面是光滑的．质量为m的小物块(视为质点)在与竖直方向成θ=30º角的斜向上的拉力F作用下静止在A处，半径OA与竖直方向的夹角也为θ，且A、O、F均在同一横截面内，则半圆柱体对小物块的支持力为()

A． B． C． D．【答案】A【详解】沿半径方向和切线方向建立直角坐标系，沿切线方向，受力平衡可得：Fcos30°=mgsin30°，求得：F=mg；沿半径方向，设圆柱对物块支持力为N，受力平衡可得：N+Fsin30°=mgcos30°，求得：N=mg；所以A正确，BCD错误．故选A．9．如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对小球受力分析如图所示由力的合成可知，FN和F的合力与重力mg等大反向，由几何关系可知又由胡克定律得解得故C正确，ABD错误。故选C。【相似三角形法知识点梳理】在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行讨论、计算【相似三角形法举一反三练习】10．如图所示，轻杆一端与竖直墙上的铰链B连接，另一端与质量为m的小球C连接，轻绳一端固定在竖直墙面上的A点，另一端与小球C连接。小球C静止时，，重力加速度大小为g，则轻绳的拉力大小与轻杆的弹力大小之和为（）

A． B．C． D．【答案】C【详解】对小球C进行受力分析，作出的矢量三角形与相似，则有解得，则有故选C。11．（多选）如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，且OA=OB=L。当小球B平衡时，绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1.现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2（k2<k1）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2，则下列关于T1和T2、F1与F2大小之间的关系，正确的是（）A．T1>T2 B．T1=T2C．F1<F2 D．F1>F2【答案】BD【详解】对B球受力分析并合成矢量三角形：根据图中相似三角形的关系：可知绳子长度不变，绳子拉力不变，所以根据：当换用另一个劲度系数较小的弹簧k2时，弹簧的压缩量增大，所以AB长度应该变小，则F也应该变小，则F1>F2故AC错误，BD正确。故选BD。12．如图所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上，一个原长为的轻弹簧，一端固定在大圆环顶点A，另一端与小球相连，当小球静止于B点时，弹簧的长度。图中角未知，试求：（1）小球在点时，大圆环对它的支持力大小；（2）该弹簧的劲度系数k。【答案】（1）；（2）【详解】（1）根据题意，对小球受力分析，如图所示由于小球静止于点，则小球所受合力为0，由平衡条件有由相似三角形可得解得（2）由胡克定律有解得13．如图所示，两个可视为质点的光滑小球a和b，先用一刚性轻细杆相连，再用两根细绳两端分别连接a、b，并将细绳悬挂在O点。已知小球a和b的质量之比，细绳的长度是细绳的长度的倍，两球处于平衡状态时，绳上的拉力大小为，绳上的拉力大小为。则为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】两球都受到重力、细杆的弹力和细绳的弹力这三个力的作用而处于平衡状态，对a、b受力分析，如图所示；在图中过O点作竖直线交于c点，则与小球a的矢量三角形相似，与小球b的矢量三角形相似，有解得故选B。14．如图，在天花板上A点用长为L的轻细绳悬挂质量为M的小球搭在半径为R的光滑半圆球上，半圆球的球心位于A点的正下方，半圆球顶与A点的距离为h，则绳对小球的拉力为，小球所受的支持力为.【答案】【详解】[1][2]对小球进行受力分析，小球受重力、半球面对小球的弹力和绳对小球的拉力，小球受力平衡，即小球受重力、支持力和绳拉力的合力为0，如图，作出小球的受力示意图.因为小球所受合力为零，故半球对小球的弹力N和绳对小球的拉力T的合力与重力mg大小相等，方向相反，根据三角形相似得计算得出【正弦三角函数法知识点梳理】①适用于没有垂直、等腰等特殊角；②能用正弦定理的基本能用正交分解求解，注意坐标系的建立。③首先也是顺边延，构造封闭矢量三角形，找角度边的关系。【正弦三角函数法举一反三练习】15．如图所示，竖直固定放置的光滑半圆环O的半径为R，用轻绳相连的、两球（可视为质点）套在圆环上，分别静止在A点和B点，已知绳长，与圆心O的连线与水平面成角。、两球的质量之比为（）

A． B． C． D．【答案】A【详解】根据几何关系有可得对两小球受力分析可得可得故选A。16．（多选）如图所示，穿在一根光滑固定杆上的小球A、B通过一条跨过定滑轮的细绳连接，杆与水平方向成θ角，不计所有摩擦．当两球静止时，OA绳沿竖直方向，OB绳与杆的夹角为θ，则下列说法正确的是（）A．小球A可能受到3个力的作用B．小球B一定受到3个力的作用C．小球A、B的质量之比：：tanθD．小球A、B的质量之比：=tanθ：1【答案】BD【详解】A．对A球受力分析可知，A受到重力，绳子的拉力，两个力合力为零，杆子对A球没有弹力，否则A不能平衡，A错误；B．对B球受力分析可知，B受到重力，绳子的拉力以及杆对B球的弹力，三个力的合力为零，B正确；CD．分别对AB两球分析，运用合成法，如图：根据共点力平衡条件，得：根据正弦定理列式得：联立解得mA：mB=tanθ：1C错误，D正确。故选BD。【自锁问题知识点梳理】1、自锁现象定义：一个物体受静摩擦力作用而静止，当用外力试图使这个物体运动时，外力越大，物体被挤压的越紧，越不容易运动即最大静摩擦力的“保护能力”越强，这种现象叫自锁现象摩擦角：若物体（不计重力），在粗糙的水平面上一旦存在相对运动趋势，就会受静摩擦力作用，假设动摩擦因数为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则最大静摩擦力fm=μFN如图所示水平面对物体的作用力F＇（支持力与最大静摩擦力的矢量和）与竖直方向的夹角α，满足tanα=fm/FN=μ，则α称谓摩擦角，当外力F与竖直方向的夹角θ小于α时，无论外力F多大，都不可能推动物体2、水平面上的自锁现象如图，重力为G的物体，放置在粗糙的水平面上，当用适当大小的水平外力F1推它时，总可以使它动起来，但当用竖直向下的力F2去推，显然它不会动，即使力从竖直方向旋转一个小角度，就算用再大的力，它也不一定会运动，只有当力的方向与竖直方向的夹角，超过某一角度，才可能用适当大小的力将它推动，而小于这个角度，无论用多大的力，都不可能推动它3、竖直面上的自锁现象如图所示，紧靠在竖直墙壁上的物体，在适当大的外力作用下，可以保持静止。当外力大到重力可以忽略时，无论用斜向上的力，还是斜向下的力，发生自锁的条件与水平面的情况是相同的，如改用于竖直墙壁的夹角来表示摩擦角则摩擦角α0满足tanα0=1/μ与水平面不同的，只是保证物体静止的最小力的条件有所不同，当用斜向上的力维持物体平衡时，不一定满足自锁条件，而若用斜向下的力使物体平衡，一定要满足自锁条件才可能发生，而生产、生活中更多的是发生在竖直面的自锁船现象【自锁问题举一反三练习】17．一般课室的门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾斜角θ=450，质量忽略不计）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示（俯视图）．设锁舌D与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．有一次放学后，小明准备锁门，当他用某力拉门时，不能将门关上，此刻暗锁所处的状态如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，问：

（1）此时，外壳A对锁舌D的摩擦力的方向；（2）此时，锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；（3）当满足一定条件是，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁）．求暗锁能够保持自锁状态时的取值范围．【答案】见解析．【详解】试题分析：（1）设锁舌D下表面受到的最大静摩擦力为f1，则其方向向右．（2）设锁舌D的下表面所受到的最大静摩擦力为f1，其方向向右．设锁舌D受到锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，弹力为kx，由平衡条件：又

联立解得：（3）令N趋向无穷大，则有：解得：考点：摩擦力．【名师点睛】略．18．如图所示，质量为m的物体，放在一固定的斜面上，当斜面倾角θ＝30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现增大斜面倾角θ，当θ增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。那么（）A．物体与斜面间的动摩擦因数为 B．θ0＝45°C．θ0＝60° D．θ0＝30°【答案】AC【详解】A．斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，对物体进行受力分析，如图所示，可知应满足解得选项A正确；BCD．当斜面倾角为临界角时，受力情况如图所示由物体做匀速直线运动的条件有解当时，即满足“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”的临界条件，临界角故C正确，BD错误。故选AC。19．如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角，光滑球体的质量为m，支架的质量为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】对光滑球体受力分析如图所示根据平衡条件可得对支架受力分析如图所示根据牛顿第三定律可知对支架由平衡条件可得又联立解得可知支架和地面间的动摩擦因数至少为。故选D。20．某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1kg，拖把杆的质量不计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10N的力F1时，恰好能推动拖把头向前匀速运动。重力加速度g取10m/s2，，。（1）求拖把头与地板间的动摩擦因数。（2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为。当增大到某一值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的tan值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

【答案】（1）或0.33；（2）【详解】（1）对拖把头受力分析，如图所示

拖把头做匀速直线运动，水平方向和竖直方向受力平衡：水平方向有竖直方向有而解得（2）忽略拖把头的重力，若不能推动拖把头，需满足即即时，无论对拖把头施加一个沿拖把杆向下的多大的力，都不能推动拖把头。六、整体隔离法（多对象）21．如图所示，质量为圆环套在固定的水平杆上，细线一端系着圆环，另一端连接质量为的小球，在水平向右的拉力作用下小球静止，此时细线与竖直方向的夹角为。已知圆环与杆的滑动摩擦因数为0.6，且认为最大静摩擦等于滑动摩擦力，重力加速度，已知，。求：（1）水平拉力的大小；（2）水平拉力多大时，圆环恰好发生滑动？

【答案】（1）15N

；（2）18N【详解】（1）对小球受力分析知，小球受重力、水平拉力和线的拉力作用，则由平衡条件得得（2）对小球和环组成的整体受力分析，由平衡条件得，解得22．用三根细线a、b、c将质量均为m的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为37°，细线c水平。求：（1）细线a、c分别对小球1和2的拉力大小；（2）细线b对小球2的拉力大小。

【答案】（1）Ta=2.5mg，Tc=1.5mg；（2）【详解】（1）对小球1和2整体分析有，解得Ta=2.5mg，Tc=1.5mg（2）对小球2进行分析有解得23．如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（）A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1【答案】D【详解】将两球和弹簧B看成一个整体，整体受到总重力G、弹簧A和C的拉力，如图所示设弹簧A、C的拉力分别为F1和F2．由平衡条件得知，F2和G的合力与F1大小相等、方向相反，则得F2=F1sin30°=0.5F1根据胡克定律得F=kxk相同，则弹簧A、C的伸长量之比等于两弹簧拉力之比，即有xA：xC=F1：F2=2：1故D正确，ABC错误。故选D。24．如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA=10kg，mB=20kg，A、B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为=0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今用外力将物体B匀速向右拉出的过程中（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：（1）绳子对A物体的拉力大小；（2）所加水