2025年高考数学总复习 16 第二章 第八节 函数与方程

第八节函数与方程考试要求：1．借助函数图象，会用数学语言表示函数的单调性、最值，理解实际意义．2．理解单调性、最值及其几何意义．自查自测知识点一函数的零点1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点.(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√)(3)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0)．(×)2．(教材改编题)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为－2，2，1，核心回扣1．定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．三个等价关系：注意点：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解，是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．自查自测知识点二函数零点存在定理1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(C)2.函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是(BA．(1，2) B．(2，3)C．1e，1和核心回扣函数零点存在定理(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线．②f(a)·f(b)＜0．(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注意点：由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．【常用结论】1．已知函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在(a，b)上有且只有一个零点．2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．应用(多选题)有如下说法，其中正确的有()A．函数f(x)的零点为x0，则函数f(x)的图象经过点(x0，0)时，函数值一定变号B．连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号C．函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效BC解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．判断函数零点所在的区间1．函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)C解析：(方法一)因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由函数零点存在定理，得函数f(x)的零点位于区间(2，3)上．故选C．(方法二)函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在区间转化为g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f(x)的零点在(2，3)内．2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有()A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0ABD解析：取f(x)＝x2－1，x∈[－2，2]，满足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，故A错误，C正确；取f(x)＝sinx，x∈π6，19π6，满足fπ6f19π6＝12×-12＝－14＜0，但是f(x)在π6，3．函数f(x)＝2x＋14x－5的零点x0∈[a－1，a]，a∈N*，则a＝(A．1 B．2C．3 D．4C解析：因为f(1)＝2＋14－5<0，f(2)＝4＋12－5<0，f(3)＝8＋34－5>0，所以f(2)·f(3)<0，可知函数零点所在区间为[2，3]，故确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．确定函数零点的个数【例1】(1)已知函数f(x)＝12x，x≤0，log2x，x>0，则函数A．0 B．1C．2 D．3C解析：当x≤0时，由g(x)＝0，得12x＝12，解得x＝1(舍去)；当x＞0时，由g(x)＝0，得|log2x|＝12，即log2x＝－12或log2x＝12，解得x＝22或x＝(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A．9 B．10C．11 D．18B解析：由题意，分别画出函数y＝f(x)和y＝|lgx|的图象，如图所示．由图可知，y＝f(x)与y＝|lgx|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理：要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数．(3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．1．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：(方法一)因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数f(x)在R上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．(方法二)设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示．由图可知，两图象在(0，1)内的交点个数即f(x)在区间(0，1)内的零点个数，故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．2．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3C解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的图象如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.函数零点的应用考向1根据函数零点所在区间求参数【例2】函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．2，52 D解析：由题意，知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解．设t＝x＋1x，x∈12，3，则t′＝1－1x2＝x2－1x2，所以函数t＝x＋1x在12，1上单调递减，在(1，3)上单调递增．又当x＝12时，t＝52；当x＝1时，根据函数零点所在区间求参数的步骤考向2根据函数零点的个数求参数【例3】(2024·黄冈模拟)设min{m，n}表示m，n中的较小数(当m＝n时，min{m，n}＝m＝n)．若函数f(x)＝min{|x|－1，2x2－ax＋a＋6}至少有3个零点，则实数a的取值范围是()A．[12，＋∞) B．(－∞，－4]∪(12，＋∞)C．(－∞，－4)∪[12，＋∞) D．(－∞，－4)A解析：由题意，得g(x)＝2x2－ax＋a＋6＝0必有解，所以Δ＝a2－8(a＋6)≥0，解得a≤－4或a≥12.结合图象(图象略)，知当a≥12时，必有a4≥3，且g(1)＝2－a＋a＋6＝8＞0，此时f(x)有4个零点；当a≤－4时，a4≤－1，且g(－1)＝2a＋8≤0，此时f(x综上所述，a≥12，即a的取值范围为[12，＋∞)．故选A．利用函数零点个数求参数的方法由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个函数的方程，再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，通过数形结合求解．1．(2024·聊城模拟)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－18) B．(5，＋∞)C．(5，18) D．(－18，－5)D解析：由题意，知函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上单调递增且存在零点，所以由函数零点存在定理得f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5)．故选D．2．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________.14，12解析：依题意，结合函数数f(x)的图象(图象略)，分析可知m需满足m≠2，f-1课时质量评价(十三)1．函数f(x)＝1x－lnx＋2的零点所在的大致区间为(A．(1，e) B．(e，e2)C．(e2，e3) D．(e3，e4)C解析：f(x)＝1x－lnx＋2在(0，＋∞)上连续不断，且单调递减，f(1)＝3>0，f(e)＝1e＋1>0，f(e2)＝1e2>0，f(e3)＝1e3－1＜0，f(e4)＝1e4－2<0，所以零点位于(e22．(2024·大庆模拟)函数f(x)＝x2+x－A．3 B．2C．1 D．0B解析：由f(x)＝0，得x≤0，x2+x－2＝0或x>0，－1+lnx＝3．方程x2＝2x的实数解为()A．2 B．4C．2或4 D．以上答案都不对D解析：由于22＝22，42＝24，所以2或4是方程x2＝2x的实数解．当－2＜x＜0时，令f(x)＝x2－2x，由于f(x)的图象在(－2，0)上连续不断，且f(－2)＝4－14＞0，f(0)＝－1＜0，由函数零点存在定理，可知存在x0∈(－2，0)，使得f(x0)＝0，故x＝x0是x2＝2x的一个实数根．故选D4．(多选题)若函数f(x)＝2x－a，x≤A．－1 B．1C．1 D．2BC解析：当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，所以当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．又因为f(x)＝2x－a在(－∞，0]上单调递增，所以令f(x)＝0，得a＝2x∈(0，1].故选BC．5．函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)上有零点，则实数k的取值范围是________.(0，3)解析：令f(x)＝0，所以x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－2x，即y＝k与y＝2x－2x，x∈(1，2)的图象有交点．又y＝2x－2x在(1，2)上单调递增，且21－21＝0，22－22＝36．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想确保检验出哪一处的焊口脱落，则至少需要检测______次．6解析：第1次取中点把焊点数减半为642＝32，第2次取中点把焊点数减半为322＝16，…，第6次取中点把焊点数减半为22＝7．(2024·德州模拟)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋(－∞，－1)解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)，在同一平面直角坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．结合图象可知，当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，得a＝－1；当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，不符合题意．综上，a的取值范围为(－∞，－1)．8．(新定义)若平面直角坐标系内A，B两点满足点A，B都在函数f(x)的图象上，且点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝x2+2x，x<0，2ex，A．1个 B．2个C．3个 D．4个B解析：如图所示，作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝2ex(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选9．(2024·武汉模拟)已知x0是函数f(x)＝11－x＋lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2