第03讲集合的基本运算（3个知识点2个要点3种题型1个易错点过关检测）

第03讲集合的基本运算（3个知识点+2个要点+3种题型+1个易错点+过关检测）知识点1：并集文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B注意点：(1)A∪B仍是一个集合．(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B.(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．知识点2：交集文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B注意点：(1)A∩B仍是一个集合．(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅.知识点3：全集与补集1.全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.2．补集定义文字语言设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集符号语言∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}图形语言性质(1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A；(3)∁SS＝∅，∁S∅＝S要点1：德•摩根（DeMorgan）定律(1)∁u(AnB)=(∁uA)U(∁uB)(简记为“交的补”=“补的并”).(2)∁u(AUB)=(∁uA)∩(∁uB)(简记为“并的补”=“补的交”).要点2：集合中元素个数的计算（容斥原理）实际问题中的集合主要是涉及集合中元素个数的问题,先对实际问题进行分析,抽象建立集合模型,转化为集合问题,运用集合知识进行求解,然后将数学问题的解翻译成实际问题的解并进行检验,从而使问题得以解决,其中用Venn图进行分析,往往可将问题直观化、形象化,使问题便捷、准确地获解我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如,A={a,b,c},则card(A)=3.结论:一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(AUB)=card(A)+card(B)card(AnB)易错点：考虑问题不全面，等价变换时易出错题型一集合交、并、补的综合运算【例题1】（2425高一上·上海·随堂练习）设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得，得到，结合并集的运算，即可求解.【详解】由，又由，可得，所以.故选：D【变式1】（2324高一下·河南许昌·开学考试）设集合，．若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直接得到的取值范围.【详解】因为，且，所以，即实数的取值范围是.故选：D【变式2】（2324高一上·西藏林芝·期中）设集合，则(用区间表示).【答案】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为，所以，则.故答案为：【变式3】（2425高一上·上海·课堂例题）已知全集，且，，求集合．【答案】【分析】根据得出有元素，没有，得出有元素即可求解．【详解】解：∵全集，满足，，有元素，没有，有，∴题型二集合交、并运算与集合间关系的转化【例题2】（2324高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，又，，所以，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式1】（2324高一上·天津红桥·阶段练习）已知集合.若，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解.【详解】因为，则，若，则，解得；若，则，解得；综上所述：实数a的取值范围为.故选：C.【变式2】（2223高一上·河北保定·阶段练习）已知集合，，，则实数．【答案】【分析】首先根据集合补集的定义得到，然后分别讨论或即可得到参数的值.【详解】，.，，即.当时，得，分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去；当，得或，将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去；将分别代入集合与集合中得：，，符合题意.综上所述：.故答案为：.【变式3】（2425高一上·上海·随堂练习）已知集合，．(1)若是的真子集，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据真子集定义即可求出的取值范围；（2）根据子集定义即可求出的取值范围.【详解】（1）若是的真子集，根据真子集定义，的范围要完全在的内部，且，故．（2）若，即，由图知题型三补集思想的应用【典例分析】【例3】设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【详解】当A∩B＝∅时，如图所示，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋4≤5，))解得－1≤a≤1.即A∩B＝∅时，实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}．而A∩B≠∅时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1，或a＞1}．【变式演练】【变式】已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围．解若A∩B＝A，则A⊆B.又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2，,2k－1≥3，))解得2≤k≤3.又k∈R，所以当A∩B≠A时，实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}在R中的补集，即k的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)．易错点考虑问题不全面，等价变换时易出错例：已知全集，集合，求∁U.【错解】由已知得，设方程的两根分别是，所以当时，，∁U.当时，，∁U.【错因分析】忽略了的情况.【正解】由已知得.当时，方程无实数根，此时，，所以∁U=∁U=.当时，设方程的两根分别是，，.因为，所以只可能有以下情形：①当时，，此时，∁U；②当时，，此时，∁U.综上所述，当时，∁U；当时，∁U=；当时，∁U=.【变式1】（2324高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可以得到，从而对集合分类讨论即可求解参数的范围.【详解】∵已知，又因为，∴，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述，.故选：C.【变式2】（2223高一上·山东滨州·期末）已知集合，，且，则的所有取值组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.【详解】因为，所以，所以，若，则或，经检验均满足题意，若，则或，经检验满足题意，与互异性矛盾，综上的所有取值为：，0,2，故选:D【变式3】（2223高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，若，求实数的值及.【答案】，【分析】由交集的运算可知，则或，分别求值并验证集合是否满足题意和元素的互异性，从而确定的值，进而得解.【详解】因为，所以且，又，所以或，解得或；当时，，，则，与已知矛盾，舍去；当时，，，集合不满足集合的互异性，舍去；当时，，，则，满足题意；综上，，此时.一、单选题1．（2324高一上·河北石家庄·期中）设集合，.若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集的定义可知，代入集合可求出的值，从而求解集合.【详解】因为，所以，则，解得.则.故选：D2．（2324高一上·贵州毕节·期末）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再根据补集的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，则，故选：B．3．（2324高一上·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【分析】根据给定条件，求出集合，再借助韦达定理求解作答.【详解】由全集，，得，即1，4是方程的两个根，于是，解得，所以m的值等于4.故选：A4．（2324高一上·广东广州·期中）集合，若，则满足条件的集合个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】求出集合，由得，根据子集的定义可得．【详解】由题意，则，这样的有个．故选：C．5．（2324高一上·山西·期中）设集合．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意易得1是方程的解，代入方程可得的值，解方程进而得结果.【详解】因为，所以，即1是方程的解，将代入方程得，所以的解为或，所以．故选：A.6．（2324高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，，若满足，则的值为（

）A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【分析】根据集合的交集，知，分类讨论，求出a的值，检验是否符合题意，即得答案.【详解】由，则，若，则，，则，不符合题意；若，当时，，违反了集合元素的互异性，不合题意；当时，，，符合题意，故选：C7．（2324高一上·河北石家庄·阶段练习）集合，，若，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出集合，依题意可得，再分、、三种情况讨论.【详解】因为，，所以，又，当，则，当，即，解得，当，即，解得，综上可得实数a的取值集合为.故选：D8．（2324高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据交集、并集的定义计算可得.【详解】因为，，，所以，则.故选：C二、多选题9．（2324高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，且，则实数的值可以为（

）A． B． C．0 D．1【答案】BCD【分析】根据已知得出.分以及讨论，即可得出答案.【详解】由可得，.当时，满足，此时；当时，，解可得，.因为，所以或.当时，；当时，.综上所述，或或.故选：BCD.10．（2324高一上·江西·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】解法一：由判断A；由判断B；由判断CD．解法二：依题意列举中的元素，观察可得答案.【详解】解法一：易知，故A错误；易知，则B正确；，故，故C正确，D错误，故选：BC．解法二：依题意，，，观察可知AD错误，BC正确，故选：BC.11．（2324高一上·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求出集合，再有交集，并集和补集的定义求解即可.【详解】因为，对于A，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AC.三、填空题12．（2324高一上·四川成都·期中）已知，均为集合的子集，且，，则集合．【答案】【分析】根据集合间交并补的混合运算可得解.【详解】由，，可得，故答案为：.13．（2324高一上·辽宁大连·期中）设，，若，则实数的值为.【答案】或【分析】依题意可得，分和两种情况讨论.【详解】因为，又，所以，当时，符合题意；当，则，解得，综上可得或.故答案为：或14．（2324高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，且，，，则集合

．【答案】【分析】由已知补集交集的运算结果，得到集合A与集合B，再求补集与交集的运算.【详解】全集，，则，，所以.故答案为：.四、解答题15．（2324高一上·湖南长沙·期末）已知集合，.(1)当时，求与；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）把代入求出集合，再利用交集、并集的定义求解即得.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【详解】（1）当时，，而，所以，.（2）由，得，则，解得，所以实数a的取值范围是.16．（2324高一上·河南·期中）已知集合，，．(1)若，求中元素的个数；(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)5(2)【分析】（1）化简集合直接根据交集运算即可；（2）化简集合C，根据交集为空集列出不等式求解.【详解】（1）当时，，所以，故中元素的个数为.（2）由，可得，解得，故a的取值范围为.17．（2324高一上·湖南长沙·期末）已知集合或．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由补集、并集的概念即可求解.（2）由包含关系分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，，或，所以，因此，.（2）当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由，可得，解得，此时．综上，，即实数的取值范围是.18．（2425高一上·上海·课后作业）已知，或．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分和两种情