2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级上学期开学考数学试题及答案

2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在中，，，，那么C.等于()A.B.D.2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是()A.①B.②C.③D.④3.如图，点、DGM在半上，四边形ABOC、DEOFHMNO均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是()A.B.C.D.4.如图，在中，，，的垂直平分线OD交O于点D，连接BD，下列结论错误的是()A.B.C.D.点D为线段的黄金分割点5.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：第1页，共页xy……011331……则下列判断中正确的是(A.抛物线开口向上)B.抛物线与y轴交于负半轴C.当时，D.方程的正根在3与46.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和()A.大于0B.0C.0D.不能确定7.如图，直径为的上经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则的余弦值为()A.B.中，直径把圆上一个动点与点AB不重合，过点CC.D.8.如图，在半径为1的分成上、下两个半圆，点C是上半，垂足为，的平分线交，设，，下列图象中，最能刻画y与x数关系的图象是()第2页，共页A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共9.分解因式：10.如图，线段______.，于点，于点B，，，点P为线段上一动点，且以、P为顶点的三角形与以、DP为顶点的三角形相似，则的长为______.11.如图，在扇形OABC是上的一个动点不与AB若，则扇形OAB的重合，，，垂足分别为D，面积为______.12.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①②③④⑤，，，，，正确的序号是______.三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第3页，共页13.本小题10分计算：；解分式方程：14.本小题10分如图，四边形ABCD中，平分，，E为的中点，连接CE，求证：若；，，求的值.15.本小题14分已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点.求证：E两点不可能同时在抛物线点A在抛物线上；上吗？为什么？求a和k的值.16.本小题8分如图，在矩形ABCD中，DE是大于0的常数，E为线段上的动点不与C重合，交于点，设，求y关于x的函数关系式；若若x为何值时，y的值最大，最大值是多少？，要使为等腰三角形，m的值应为多少？第4页，共页答案和解析1.【答案】B【解析】，，是直角三角形，，，，故选：根据中，，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．此题主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．2.【答案】A【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．3.【答案】D【解析】解：连接OMODOA、根据矩形的对角线相等，得，，再根据同圆的半径相等，得故选本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要第5页，共页考查学生的推理能力．求出的度数即可判断；求出和的度数，求出的度数，即可判断B，求出，即可判断形面积即可判断；求出∽，得出【解答】解：A、，，，，正确，B、是垂直平分线，，，，是的角平分线，正确，C，根据已知不能推出的面积和D、面积相等，错误，，，∽，，，，，，，，，，即点D是的黄金分割点，正确，故选：5.【答案】D【解析】解：由图表可得，该函数的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，第6页，共页抛物线与y轴的交点为，故选项B错误，时，和时的函数值相等，则，故选项C错误，方程的正根在3与4之间，故选项D正确，故选：根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．6.【答案】A【解析】解：设的两根为，，由二次函数的图象可知，，设方程的两根为m，，则，，，故选设的两根为，，由二次函数的图象可知，，设方程的两根为mn再根据根与系数的关系即可得出结论．本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．7.【答案】C第7页，共页【解析】解：如图，连接并延长交与点D，连接OD，同弧所对的圆周角相等，，是的直径，，，，，，即的余弦值为故选：首先根据圆周角定理，判断出；然后根据是的直径，判断出，在中，用OD的长度除以的长度，求出为多少即可．的余弦值为多少，进而判断出的余弦值此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．8.【答案】A【解析】解：连接OP，，，，第8页，共页，故选：连接OP，根据条件可判断出是定值，与x的大小无关，所以函数图象是平行于x轴的线段．要注意的长度是小于1而大于0的．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．9.【答案】【解析】解：原式，故答案为：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10.【答案】1或3或【解析】解：设以、P为顶点的三角形与以、DP为顶点的三角形相似，①当②当时，时，，解得，解得或，当以ACP为顶点的三角形与以BDP为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8，故答案为1或3或分两种情形构建方程求解即可．本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．11.【答案】第9页，共页【解析】解：连接AB，，，、E分别为BC、的中点，为的中位线，又在中，，，，扇形OAB的面积为：故答案是：连接AB，由OD垂直于BCOEAC，利用垂径定理得到DE分别为BC的中点，即为三角形的中位线，即可求出的长．利用勾股定理、，且，可以求得该扇形的半径．此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．12.【答案】【解析】抛物线开口向下，，抛物线对称轴为直线，，，②错误．抛物线与y轴交点在x轴上方，，，①错误．由图象可得③错误．时，，由图象可得时，为最大值，，即，抛物线对称轴为直线，④正确．时，，第10页，共14页时，，，，，，⑤正确．故答案为：④⑤．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．13.【答案】；，方程可化为，方程两边同乘，得，解得，，检验：当时，，所以不是分式方程的解；当时，所以原分式方程的解是【解析】先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键．，所以是分式方程的解；14.【答案】证明：，平分，，∽，第页，共14页：AB，；解：，E为中点，，，平分，，，，∽，：CF，，，，【解析】由平分，，可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15.【答案】抛物线的对称轴为，而，两点纵坐标相等，由抛物线的对称性可知，、E关于直线对称，又与对称轴相距2，与对称轴相距，、E两点不可能同时在抛物线上；假设点在抛物线上，第12页，共14页则，解得，因为抛物线经过5个点中的三个点，将、、、代入，，得出a的值分别为所以抛物线经过的点是，D，又因为，与矛盾，，，，所以假设不成立．所以A不在抛物线上；由题意，抛物线可能经过BCDBDE，两点坐标代入将、中，得，，解得，在抛物线上．或将ED两点坐标代入中，得，解得，，在抛物线上．或综上所述，【解析】由抛物线可知，抛物线对称轴为，而，两点纵坐标相等，应该关于直线对称，但与对称轴相距，与对称轴相距3，故不可能；第13页，共14页假设A点在抛物线上，得出矛盾排除A点在抛物线上；D两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是CED或DE两点坐标代入求a和k的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．16.【答案】，，又