考点01 实数的概念（解析版）

考点一实数知识点整合1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.5．（1）按照定义分类（2）按照正负分类注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如，等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60°等.6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.（4）9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示为.（3）.10．数的乘方：求QUOTEn个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.11．实数的运算：（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.重点考向考向一实数的有关概念此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.典例引领1．的相反数为（

）A． B．5 C． D．－5【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：的相反数为，故选：B．2．下列各组数中，互为相反数的是（）A．与 B．与 C．与 D．与3【答案】B【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数的乘方，先计算出各组数，再根据相反数的定义“绝对值相同，符号相反的两个数互为相反数”逐项判断即可．【详解】解：A，与绝对值不同，符号相同，不是互为相反数；B，，，9与互为相反数，即与互为相反数；C，，，与不是互为相反数；D，，与3不是互为相反数；故选B．3．的倒数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了倒数的定义，先将带分数化为假分数，再根据“乘积为1的两个数互为倒数”，即可解答．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：B．4．下列说法正确的是（

）A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是，C．的平方根是 D．的算数平方根是【答案】C【分析】根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一判断即可．【详解】A、当时，有平方根，故错误，不符合题意；B、立方根等于它本身的数为：，，，故错误，不符合题意；C、的平方根是，正确，符合题意；D、负数没有平方根，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查算术平方根，平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义．5．已知、互为相反数，p、互为倒数，且a为最大的负整数，则代数式的值为．【答案】【分析】利用相反数、倒数、负整数的性质求出，，a的值，代入原式计算即可求出值．此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及负整数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【详解】解：∵、互为相反数，∴，∵p、互为倒数，∴，∵a为最大的负整数，∴，∴，故答案为：．6．的相反数是，的倒数是，的绝对值是．【答案】4【分析】根据相反数、倒数、绝对值的性质即可求解．此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数、倒数、绝对值的定义．【详解】解：的相反数是4，的倒数是，的绝对值是故答案为：4；；．7．若a为的算数平方根，且，则．【答案】1或7/7或1【分析】根据算术平方根的定义求得，再跟，即可得到或，进一步求得答案即可．【详解】解：∵a为的算数平方根，∴，∴，则或，解得或，∴或，故答案为：1或7【点睛】此题考查了算术平方根、绝对值等知识，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．8．的立方是，2的算数平方根是，的平方根是．【答案】【分析】根据立方、算术平方根以及平方根的定义进行求解即可．【详解】解：因为，所以的立方是；2的算数平方根是；因为，所以4的平方根是，即的平方根是，故答案为：，，．【点睛】本题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．9．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，(1)填空：______；______；______．(2)求代数式的值．【答案】(1)0，，或(2)7【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，x与y的值；（2）将（1）中结果代入原式计算即可得到结果．【详解】（1）解：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，，，，故答案为：0，，或；（2）解：．【点睛】本题考查了代数式求值，绝对值，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题：(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、．①A、B之间的距离可用含x的式子表示为_______；②若该两点之间的距离为3，那么x值为______；(2)的最小值为______，此时x的取值是______；(3)已知，求的最大值和最小值．【答案】(1)①；②2或(2)5；(3)最大值18，最小值．【分析】（1）①根据题意代入相应的值运算即可；②由题意可得：，进行运算即可；（2）由绝对值的几何意义可知：当时，有最小值，从而可求解；（3）由题意可得：当，时，符合题意，从而可确定，的最小值，从而可求解．本题主要考查了列代数式、数轴上两点的距离、绝对值，解决本题的关键是综合运用以上知识．【详解】（1）①由题意得：，故答案为：．②由题意得：，∴，解得：或．故答案为：2或．（2）由绝对值的几何意义可得，是数x到与3的距离之和，∴当时，有最小值，取代入可得：，故最小值为5．故答案为：5；；（3）∵，∴当，时，符合题意，此时，的最小值为5，的最小值为7，∴当时，的最大值为：，当时，的最小值为：．故答案为：18；．11．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；．观察上述式子的特征，解答下列问题：(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______；(2)当时，______；(3)计算：．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值意义；（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；（2）根据绝对值的意义进行化简；（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算．【详解】（1）解：①；②；故答案为：，；（2）解：当时，；故答案为：；（3）解：．12．已知的算数平方根为的立方根是3，求的平方根与立方根．【答案】【分析】根据算式平方根和立方根的定义，求出的值，再代值计算平方根和立方根即可．【详解】解：∵的算数平方根为的立方根是3，∴，∴，∴，∴的平方根为，立方根为：．【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根．解题的关键掌握相关定义，正确的计算．变式拓展1．表示（

）A．的倒数 B．的相反数 C．的绝对值 D．的算术平方根【答案】C【分析】根据绝对值的定义解答即可．【详解】解：表示的绝对值．故选C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．2．设A是的相反数与的绝对值的差，B是比大5的数，则的值为．【答案】【分析】本题考查有理数的运算．根据题意，求出的值，再进行减法运算即可．【详解】解：由题意，得：，，∴；故答案为：．3．已知，，，，都是不等于的有理数，若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于．【答案】【分析】本题主要考查数字的变化规律，化简绝对值，根据题意分别得出所有可能等于的值即可得出结论．【详解】解：当个数的符号相同时，若都为正，∴若都为负，则∴等于或，当个数的符号有一个相异时，不妨设这个数为，当为正，则，若为负，则，∴等于或，同理当个数的符号有两个相异时，等于或，当个数的符号有三个相异时，等于或，当个数的符号有四个相异时，等于或，，当个数的符号有十个相异时，等于，所有可能等于的值的绝对值之和，故答案为：．4．若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值是2，则．【答案】5【分析】根据题意，可得，，，再代入即可求解．本题主要考查了倒数，绝对值的意义，相反数的性质，有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，，，故答案为：5．5．实数，，，，，中，与互为倒数，与互为相反数，是的绝对值，的算术平方根是8，求：的值．【答案】【分析】根据倒数的定义，相反数的性质，绝对值的化简及算术平方根的定义得到，，，，代入计算即可．【详解】解：由题意得，，，，，．【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握倒数的定义，相反数的性质，绝对值的化简及算术平方根的定义得到，，，是解题的关键．6．如果是实数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值是，的算术平方根是8，求．【答案】或【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出，及的值，代入计算即可．【详解】解：由题意可知：，，，，，当时，，当时，．【点睛】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知实数，，，，，其中，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的平方根．【答案】【分析】直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案．【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，∴a+b=0，cd=1，m=±2∴，，5的平方根是．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确得出已知代数式的值是解题关键．8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．【答案】或/或【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，根据立方根求这个数，无理数的估算等等，正确根据题意求出的值是解题的关键．根据立方根的定义得到，估算出得到，根据平方根的定义得到，据此求出或，再根据算术平方根的定义可得答案．【详解】解：∵的立方根是2，∴，∵，∴，∵是的整数部分，∴，∵是9的平方根，∴，∴或，∴的算术平方根为或．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根据的平方根为，的立方根为2，得出，，代入进行计算求出的值，再由算术平方根的定义计算即可；（2）由数轴可得，，从而得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：（1）的平方根为，的立方根为2，，，的算术平方根为；（2）由图可得：，，，，．【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．10．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求．【答案】【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握互为相反数的两个数相加等于，互为倒数的两个数相乘等于，解题的关键掌握各自的定义．根据互为相反的两个数相加等于0，互为倒数的两个数相乘等于1，互为相反数的两个数比值为即可求解．【详解】解；由题意可知，，，，原式．考向二实数的分类实数的分类典例引领1．表示（

）A．的倒数 B．的相反数 C．的绝对值 D．的算术平方根【答案】C【分析】根据绝对值的定义解答即可．【详解】解：表示的绝对值．故选C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．2．设A是的相反数与的绝对值的差，B是比大5的数，则的值为．【答案】【分析】本题考查有理数的运算．根据题意，求出的值，再进行减法运算即可．【详解】解：由题意，得：，，∴；故答案为：．3．已知，，，，都是不等于的有理数，若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于．【答案】【分析】本题主要考查数字的变化规律，化简绝对值，根据题意分别得出所有可能等于的值即可得出结论．【详解】解：当个数的符号相同时，若都为正，∴若都为负，则∴等于或，当个数的符号有一个相异时，不妨设这个数为，当为正，则，若为负，则，∴等于或，同理当个数的符号有两个相异时，等于或，当个数的符号有三个相异时，等于或，当个数的符号有四个相异时，等于或，，当个数的符号有十个相异时，等于，所有可能等于的值的绝对值之和，故答案为：．4．若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值是2，则．【答案】5【分析】根据题意，可得，，，再代入即可求解．本题主要考查了倒数，绝对值的意义，相反数的性质，有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，，，故答案为：5．5．实数，，，，，中，与互为倒数，与互为相反数，是的绝对值，的算术平方根是8，求：的值．【答案】【分析】根据倒数的定义，相反数的性质，绝对值的化简及算术平方根的定义得到，，，，代入计算即可．【详解】解：由题意得，，，，，．【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握倒数的定义，相反数的性质，绝对值的化简及算术平方根的定义得到，，，是解题的关键．6．如果是实数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值是，的算术平方根是8，求．【答案】或【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出，及的值，代入计算即可．【详解】解：由题意可知：，，，，，当时，，当时，．【点睛】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知实数，，，，，其中，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的平方根．【答案】【分析】直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案．【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，∴a+b=0，cd=1，m=±2∴，，5的平方根是．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确得出已知代数式的值是解题关键．8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．【答案】或/或【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，根据立方根求这个数，无理数的估算等等，正确根据题意求出的值是解题的关键．根据立方根的定义得到，估算出得到，根据平方根的定义得到，据此求出或，再根据算术平方根的定义可得答案．【详解】解：∵的立方根是2，∴，∵，∴，∵是的整数部分，∴，∵是9的平方根，∴，∴或，∴的算术平方根为或．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根据的平方根为，的立方根为2，得出，，代入进行计算求出的值，再由算术平方根的定义计算即可；（2）由数轴可得，，从而得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：（1）的平方根为，的立方根为2，，，的算术平方根为；（2）由图可得：，，，，．【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．10．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求．【答案】【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握互为相反数的两个数相加等于，互为倒数的两个数相乘等于，解题的关键掌握各自的定义．根据互为相反的两个数相加等于0，互为倒数的两个数相乘等于1，互为相反数的两个数比值为即可求解．【详解】解；由题意可知，，，，原式．变式拓展1．下列各数是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数，有限小数或无限循环小数是有理数；根据无理数的概念判断即可．【详解】解：由于，所以都是有理数，是无理数，故选：D．2．下列各数中：，，，，，，负数一共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数分为正实数、负实数和零．【详解】解：，，，，，中负数有，，，共3个，故C正确．故选：C．3．在实数，，，，（相邻两个之间的个数逐次增加）中，无理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】本题考查了有理数与无理数的分类，无理数为无限不循环小数；有理数包含整数与分数．分别根据无理数、有理数的定义逐项进行判断即可，理解无理数的定义是解题关键．【详解】解：，，为有理数；，为无理数，共有两个，故选：B4．下列说法正确的是（

）A．所有无限小数都是无理数 B．实数分为正实数、负实数、0C．是分数 D．无理数与无理数的和仍是无理数【答案】B【分析】本题考查了无理数的概念、实数的分类，根据无理数的概念和实数的分类逐项判断即可，熟练掌握相关定义是解此题的关键．【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原说法错误，不符合题意；B、实数分为正实数、负实数、0，故原说法正确，符合题意；C、是无理数，故原说法错误，不符合题意；D、无理数与无理数的和可能是有理数，例如，故原说法错误，不符合题意；故选：B．5．在实数、0、、、、中，无理数的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：，，是无限不循环小数，它们是无理数；0，是整数，是分数，它们不是无理数；综上，无理数共3个，故选：．6．下列说法正确的是（

）A．实数分为正实数和负实数 B．是分数C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根【答案】D【分析】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．【详解】解：A、实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意；B、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意；D、，则是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意；故选：D7．下列说法正确的是（

）A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．实数可以分为有理数、零和无理数C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是有理数【答案】A【分析】根据实数与数轴，实数的分类逐项判断即可．【详解】解：A.实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确；B.实数可以分为有理数和无理数，原说法错误；C.带根号的数不一定是无理数，例如，原说法错误；D.不带根号的数不一定是有理数，例如，原说法错误；故选：A．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的分类，正确理解无理数的概念是解题的关键．8．在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：①任何无理数都是无限不循环小数；②立方根等于它本身的数是和；③在和之间的无理数有且只有、、、这个；④是分数，是有理数；⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数．其中正确的有（填序号）．【答案】①②⑤【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，近似数；根据无理数是无限不循环小数，立方根，实数的分类，近似数，可得答案．【详解】解：①任何无理数都是无限不循环小数，故①正确；②立方根等于它本身的数是和，故②正确；③在和之间的无理数有无数个，故③错误；④是无理数，故④错误；⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数，故⑤正确；故答案为：①②⑤．9．下列各数，，……（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，，中，有理数有个．【答案】4【分析】根据实数的分类进行判定即可得出答案，有理数包括整数和分数，其中有限小数和无限循环小数都属于分数．【详解】解：有理数有，，，共4个．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了实数，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键．10．在，，，，（相邻两个之间依次增加个）中，有理数有个．【答案】【分析】根据实数的分类，有理数是有限小数，无限循环小数，由此即可求解．【详解】解：在，，，，（相邻两个之间依次增加个）中，有理数有，，，共个，故答案为：．【点睛】本题主要考查实数的分类，掌握其分类的方法，有理数的概念是解题的关键．11．在，，，中，无理数是．【答案】【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有开不尽方的数，含的最简式子，特殊结构的数等，由此即可求解．【详解】解：根据无理数的定义，可知无理数有，故答案为：．【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数的定义，及常见无理数的形式是解题的关键．12．将下列各数进行分类（填序号即可）①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“．正整数：；分数：；无理数：．【答案】①⑤；④⑥；②⑦【分析】根据实数的分类即可解答．【详解】解：，为正整数．正整数为：①⑤；分数为：④⑥；无理数为：②⑦．故答案为：①⑤；④⑥；②⑦．【点睛】本题考查了实数的分类，化简绝对值和求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解决本题的关键．13．将下列各数填入相应的集合内．，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…①有理数集合{…}②无理数集合{…}③负实数集合{…}．【答案】，0.32，，0，，，π，0.1010010001【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．【详解】解：，，，①有理数集合{，0.32，，0，，…}②无理数集合{，，π，0.1010010001…，…}③负实数集合{，…}．故答案为：，0.32，，0，；，，π，0.1010010001…；．【点睛】本题考查了实数的分类．注意0既不是正实数也不是负实数是解题的关键．14．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，0，，，，，，，．负有理数集合：{}；分数集合：{}；无理数集合：{}；非负整数集合：{}．【答案】，，，，；，，，；，；，0，．【分析】根据实数的分类，即可得到答案．【详解】解：负有理数集合：{，，，，，}；分数集合：{，，，，}；无理数集合：{，，}；非负整数集合：{，0，，}；故答案为：，，，，；，，，；，；，0，．【点睛】本题考查了实数，利用实数的分类是解题的关键．考向三近似数和科学记数法在用科学记数法表示数时，一定要正确确定的值.典例引领1．华为手机搭载了海思麒麟八核处理器，预装华为自主研发的操作系统，为全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【详解】解：，故选：C．2．2023年9月23日晚，以“潮起亚细亚”为主题的杭州亚运会盛大开幕，本次亚运会观众预计达到570万人次（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：万，故选：D．3．长城的总长用科学记数法表示约为米，则它的原数为（

）A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米【答案】B【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．本题根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可．【详解】解：米对应的原数为6700000米，故选B4．今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为，关于下列说法正确的是（

）A．是一个5位数 B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了科学记数法及有理数的运算，根据科学记数法的定义及有理数的运算法则逐项判断即可．【详解】解：A、是个6位数，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意．故选：D．5．下列用四舍五入法得到的近似数，说法不正确的是（

）A．3.25万精确到百分位 B．精确到十分位C．精确到千位 D．精确到万分位【答案】A【分析】本题考查了近似数的精确度，看一个数精确到哪一位，就把这个数还原，看近似数的最后一位是在原数的哪一位上，就是精确到了哪一位，依此解答即可．【详解】解：A、万，精确到百位，原说法错误，故此选项符合题意；B、42.8精确到十分位，原说法正确，故此选项不符合题意；C、，精确到千位，原说法正确，故此选项不符合题意；D、0.0468精确到万分位，原说法正确，故此选项不符合题意．故选：A．6．下列说法正确的是(

)．A．有4个有效数字 B．万精确到C．精确到千分位 D．有个有效数字【答案】C【分析】本题考查了近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．有效数字是指从左起第一个不为0的数开始所有数字个数的和．【详解】解：A、有3个有效数字，故本选项错误；B、万精确到千位，故本选项错误；C、精确到千分位，故本选项正确；D、有4个有效数字，故本选项错误．故选：C．7．某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把用科学记数法表示应是【答案】【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故答案为：．8．国家航天局正式宣布，探月工程嫦娥六号任务计划于2024年前后实施，月球与地球的平均距离约38.4万千米，将数字384000用科学记数法表示．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：故答案为：．9．一个数用科学记数法可写成，则这个数是．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，根据科学记数法还原成原数，只需要将小数点向右移动位，即可求得．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法还原是解题的关键．10．用四舍五入法对取近似数（精确到百分位）为．【答案】【分析】本题考查了近似数，把千分位上的数字6进行四舍五入即可．【详解】解：（精确到百分位）．故答案为：．11．2023年10月16日是第43个世界粮食日，由于俄乌冲突引发的全球粮食危机导致超过3.45亿人正遭受或面临严重粮食不足的风险；近似数3.45亿精确到位．【答案】百万【分析】根据近似数的精确度定义即可求出，本题主要考查近似数的精确度，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：近似数3.45亿精确到百万位；故答案为：百万．变式拓展1．地球的海洋面积约为平方米，其中数用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故选：C．2．国家提倡“低碳减排”，盐城某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据213000000用科学记数法表示为，故选：C．3．下列近似数中，说法正确的是（

）A．与精确度相同 B．精确到了十万位C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位【答案】B【分析】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般的，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．【详解】解：A、精确到十分位，0.20精确到百分位，则与精确度不相同，此选项不符合题意；B、精确到个位，是精确到十万位，此选项符合题意；C、精确到了百位，此选项不符合题意；D、万精确到了千位，此选项不符合题意；故选：B4．3970000用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．【详解】解：3970000用科学记数法表示为，故答案为：．5．据相关机构统计，去年我国智能网联汽车规模近亿元，比年增长近4倍，预计到年将突破亿元．在庞大的规模效应背景下，业内普遍认为，标准制定是智能网联汽车未来发展的关键，要为更高阶自动驾驶大规模量产持续铺路．亿用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中,n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：亿．故答案为：．6．近似数精确到百分位约等于．【答案】【分析】本题考查了近似数，解题的关键是把千分位上的数字8进行四舍五入．【详解】解：（精确到百分位）．故答案为：．7．近似数万的精确到位．【答案】百【分析】本题主要考查了精确度，只需要找到近似数万中最右边的数字8所在的位即可得到答案．【详解】解：近似数万中，最右边的数字8在百位上，则近似数万的精确到百位，故答案为：百．8．用四舍五入法对2.0156取近似数为：（精确到百分位）．【答案】2.02【分析】本题考查了近似数，把千分位上的数字进行四舍五入是解此题的关键．【详解】解：用四舍五入法对2.0156精确到百分位，取近似数为2.02，故答案为：2.02．9．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位的结果是．【答案】【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，只需要对千分位上的数字4进行四舍五入即可得到答案．【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到百分位的结果是，故答案为：．10．一个高为，宽为的长方形的面积是多少．（精确到）【答案】【分析】运用长方形面积计算法则计算后精确到即可；【详解】长方形的面积是：，即．【点睛】该题主要考查了精确度和近似值，解答该题的关键是掌握近似数的确定方法．考向四实数与数轴1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.典例引领1．一个点在数轴上表示，该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了数轴上的动点问题，；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．【详解】解：在数轴上向左移动3个单位长度后所表示的数是；在数轴上向右移动3个单位长度后所表示的数是；即该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是或，故选：C．2．数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点．（1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：．（2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：．【答案】4【分析】本题考查了新定义，数轴上的点表示有理数，关键是新定义的阅读理解要准确．（1）根据捕获点的定义求点A所表示数的取值范围，得到最大值．（2）点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，找到两个范围，取公共部分即可．【详解】解：点A是点O关于点N的捕获点，，，，∴点A所表示数的最大值为：4．故答案为：4．（2）∵点A是点C关于点B的捕获点，，，，点表示的数是5，或．点是点关于点的捕获点，，，，或，．故答案为：．3．点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为x，若点到点的距离是点到点的距离倍，则=．【答案】或【分析】本题考查了数轴，本题考查了数轴，由题意得，，再根据，列出式子，然后根据绝对值的性质化简即可．【详解】解：由题意得，，，，，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；综上，的值为2或5，故答案为：或．4．已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题：(1)表示有理数的点是______，点B表示的有理数是______；A，C两点之间的距离为______个单位长度；(2)在数轴上画出点，分别表示有理数和；这两个数之间所有的负整数是______；(3)将，，，这四个数用“”连接的结果是：______．【答案】(1)，，；(2)画图见解析；，，(3)【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小（1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可；（2）根据数轴上表示有理数的方法求解即可；（3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得表示有理数的点是A，点B表示的有理数是3.5；A，C两点之间的距离为个单位长度，故答案为：，，；（2）解：如图所示，即为所求；和，这两个数之间所有的负整数是：，，；故答案为：，，．（3）解：由题意得，故答案为：．5．我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”．(1)若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是；(2)如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和；(3)如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”．【答案】(1)或1(2)(3)经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”【分析】本题为新定义问题，考查了数轴上上的点表示有理数，绝对值方程等知识，理解新定义，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键．（1）先确定点A表示的数是﹣1，设M表示的数是x，根据“青春点”的定义得到绝对值方程，解方程即可求解；（2）设点N表示的数为y，即可得到，根据N表示的数是整数，得到y的值为，求和即可求解；（3）设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”，得到经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据“奋斗中心”的定义列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵点A表示最大的负整数，∴点A表示的数是，设M表示的数是x，则，解得或1，∴点A的“青春点”M表示的数是﹣3或1，故答案为：或1；（2）解：设点N表示的数为y，∵A，B间的距离为5，∴，∵N表示的数是整数，∴y的值为，∴满足条件的点N所表示的整数的和为；（3）解：设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”．根据题意可知，经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是，由题意知，，∴，∴，∴，∴或，解得或，∴经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”．6．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足．(1)______，______；(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则①由此可得到木棒长为______；②图中点表示的数是______，点表示的数是______；(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁．【答案】(1)7，28(2)①7；②14，21(3)爷爷现在的年龄是65岁【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题：（1）利用绝对值和平方的非负性求解；（2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解；（3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解；【详解】（1）解：因为，所以，解得．故答案为：7，28．（2）解：①由题知，，又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且，所以，即木棒的长度为．故答案为：7；②因为，所以点表示的数是14；因为，所以点表示的数是21；故答案为：14，21．（3）解：根据题意，建立数轴如图所示，小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点，则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点，所以，又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”，所以，且，所以爷爷现在的年龄是65岁．7．【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作．【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．(1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置；(2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______；②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？③为何值时，，两点之间的距离为4？【答案】(1)见解析(2)①，；②；③或．【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．（1）根据题意画出数轴，即可解答；（2）①用含的代数式表示即可；②根据相反数的意义列式计算即可求解；③根据题意列出绝对值方程即可求解．【详解】（1）解：如图：；（2）解：①秒时，点表示的数为，点表示的数为；故答案为：，；②由题意得：，解得：；③由题意得：，即，∴或，解得：或．8．点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点．(1)点表示的数是_______；(2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值；(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由．【答案】(1)(2)或(3)线段的长度不变，且为3，见解析【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，数轴上的平移，熟练掌握两点间的距离是解题的关键，（1）根据点表示的数是4，平移左减2两个单位得到的数是2，其相反数即为点B表示的数．（2）根据点表示的数是4，，确定点C表示的数，再计算平移单位数即可．（3）分，，三种情况计算即可．【详解】（1）∵点表示的数是4，∴平移左减2两个单位得到的数是2，其相反数即为点B表示的数．∴点B表示的是，故答案为：．（2）∵点表示的数是4，，∴，∴或，解得或，∵点B表示的是，∴向右平移或故或．（3）设点P表示的数是，点D表示的数是，点E表示的数是，∵点B表示的是，点表示的数是4，当时，，，∴；当时，，，∴；当时，，，∴；故线段的长度不变，且为3．变式拓展1．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查数轴，绝对值，二次根式的性质．先根据数轴确定a，b的范围，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简，即可解答．【详解】由数轴可得，，∴，，∴，故选：A．2．如图，在数轴上点A表示的实数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了数轴上点的表示方法，利用勾股定理求斜边．根据勾股定理求出斜边长为，弧的半径等于，点A在的左边，表示的数为．【详解】解：根据勾股定理得：，点A表示的数为．故选：D．3．如图，数轴上点表示的实数是．

【答案】/【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数．【详解】解：由图形可得：到的距离为，则数轴上点A表示的实数是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识，数形结合是解题关键．4．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．，0，，，

用“”连接：【答案】图见解析，【分析】本题考查了用数轴表示实数及利用数轴比较实数的大小，根据用数轴表示实数的方法表示出实数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示实数的方法及数轴上点的特点是解题的关键．【详解】解：，原数在数轴上表示为：

用“”连接为：，故答案为：．5．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________．(2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________．(3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________．(4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值．【答案】(1)3(2)(3)3或(4)【分析】本题考查了绝对值的性质，关键掌握数轴上两点间距离的表示方法、理解绝对值的几何意义和绝对值非负的性质．（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得出结论；（2）根据数轴上两点的距离等于这两个数的差的绝对值列式即可得出结论；（3）根据绝对值的性质化简即可得出结论；（4）结合数轴，根据绝对值几何意义可得最小值．【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：3；（2）解：数轴上表示x与的两点之间的距离是，故答案为：；（3）解：，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，；故答案为：3或；（4）解：表示x到点的点距离之和，当时，的值最小是：．6．阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：

(1)①数轴上表示和3的两点和之间的距离是；②在①的情况下，如果，那么为；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是．(3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且，点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)①；②1或5(2)(3)①，，②不变，其值为0．【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识．（1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可；（2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上；（3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出．【详解】（1）解：①数轴上表示和3的两点和之间的距离是；②如果，即，∴，∴或．故答案为：①；②1或5；（2）解：∵，∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，

的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小，所以，当时，最小值是5．故答案为：；（3）解：①∵是最大的负整数，∴，∵，又∵，，∴，，∴，，；②的值不随着时间的变化而改变，其值是0．理由如下：∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴，，∴．7．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．【答案】【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，立方根的性质，算术平方根的性质．观察数轴可得，再根据立方根的性质，算术平方根的性质化简，然后计算，即可求解．【详解】解：观察数轴得：，．8．若，化简，某同学的解答过程如图．解：原式第一步第二步第三步(1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质：当时，______；当时，______；(2)写出原题正确的解答过程；(3)若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．

【答案】(1)二，，(2)，过程见解析(3)【分析】（1）根据二次根式的性质解答即可；（2）根据二次根式的性质化简即可；（3）根据数轴先得到，，，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】（1）解：由化简过程可知，从第二步出现错误，当时，，当时，，故答案为：二，，；（2）∵，∴，；（3）由数轴可知：，，，．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴上的有理数，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．考向五实数的大小比较比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：典例引领1．比较大小：4（填“>”，“<”或“=”）．【答案】【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据题意得到，进而得到，解题的关键是根据无理数的估算方法得到．【详解】解：∵∴∴．故答案为：．2．比较大小：4．【答案】【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据中，被开方数越大，则越大可得只需要判断出17和16的大小即可得到答案．【详解】解；∵，∴，故答案为：．3．已知下列各数：，的相反数，，，．(1)将上述各数表示在数轴上．(2)将上述各数按从小到大的顺序用“<”连接．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．（1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答；（2）利用（1）的结论，即可解答．【详解】（1）的相反数是1，，如图：（2）．4．在数轴上表示下列各数，再用“”号把它们连接起来．，，，，【答案】图见解析，【分析】本题考查实数与数轴、实数的大小比较，先化简各数，再将各数表示在数轴上，然后根据数轴上，右边的数总大于左边的数的顺序用“”将各数连接起来即可．【详解】解：，，将各数表示在数轴上如图：由图知：5．把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“<”号把这些数连接起来．【答案】，数轴见解析【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先计算绝对值和平方根，再在数轴上把各个数表示出来，再按在数轴上右边的数总比左边的数大比较即可．【详解】解：，，在数轴上表示为：．6．一年一度的招生工作开始了，某学校招生老师计划给新生邮寄录取通知书，已知录取通知书是面积为的正方形纸片，现向后勤部门了解到，只有一种长与宽之比为，面积为的长方形信封，若录取通知书不能折叠或弯曲，问能否把录取通知书放入此种长方形信封中？并说明理由．【答案】能，见解析【分析】本题考查了算术平方根的应用，设长方形信封的长为，窝为．根据题意求得，进而即可求解．【详解】解：能．理由如下：录取通知书是面积为的正方形，正方形的边长为，设长方形信封的长为，窝为．依题意得，，．，，．，能将录取通知书放入此种长方形信封中．变式拓展1．实数，，0，四个数中，最小的是（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根据负数小于零小于正数，两个负数绝对值大的反而小，进行判断即可．【详解】解：由题意知，，，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于熟练掌握：负数小于零小于正数；两个负数绝对值大的反而小．2．如图，数轴上点M表示的数可能是（）A． B．3 C．2 D．【答案】A【分析】本题主要考查了实数比较大小，实数与数轴，根据数轴上点的位置得到，再推出即可得到答案．【详解】解：由题意得，，∵，∴，∴数轴上点M表示的数可能是，故选A．．3．下列比较大小正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，进而分析得出答案．【详解】解：A、∵，，，∴，故本选项符合题意；B、∵，，，∴，故本选项不符合题意；C、∵，，，∴，故本选项不符合题意；D、∵，∴，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是实数数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．4．如图，有一个半径为个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数(用含π的式子表示)；若点B表示的数是，则点B在点的(填“左边”、

“右边”)【答案】右边【分析】转动一圈点运动的路径长度为圆的周长，得到点表示的数，比较两个实数的大小，确定点B在点的哪一侧即可．【详解】解：由题意，得：点A到达点的位置，所以点移动了个单位长度，∴点表示的数为，∵，∴，∴，∴点B在点的右边；故答案为：，右边．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上的点的移动：左减右加，以及比较实数大小的方法，是解题的关键．5．比较大小：（1）；（2）；【答案】【分析】本题主要考查求一个数的平方根，立方根的运算及比较大小，掌握负数小于零，无理数比较大小的方法是解题的关键．【详解】解：根据负数小于零得，；∵，，且，∴，故答案为：，．6．比较大小：．【答案】【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是将两个数平方后比较．【详解】解：，，∵，∴，故答案为：．考向六无理数的估算无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.典例引领1．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查二次根式的估算和无理式的整数和小数部分，熟练掌握二次根式的估算是解答本题的关键．先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求，进而求，最后把、的值代入计算即可．【详解】解：，，，则，，，．故选：D．2．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，．，现对72