湖南省新宁县崀山培英学校2024-2025学年高二数学上学期第一次月考9月试题A卷

PAGE18-湖南省新宁县崀山培英学校2024-2025学年高二数学上学期第一次月考（9月）试题（A卷）分值：150分时间：120分钟留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（共10个小题，每题5分，共50分）1．已知全集，，，A． B．C． D．2．命题“，都有”的否定是（）A．，使得 B．，都有或C．，使得 D．，使得3．若函数的图象如图所示，则（）A．，B．，C．，D．，4．已知如表所示数据的回来直线方程为，则实数的值为（）A． B． C． D．5．抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A．1 B．2 C． D．6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子擅长织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”依据上题的已知条件，该女子其次天织布多少尺？()A． B． C． D．7．为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．若是过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为（）A．4 B．8 C．12 D．249．在△ABC中，已知D是AB边上一点，，则实数λ＝()A． B． C． D．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、多选题（下列各题均有两个及以上正确答案，多选或漏选均不得分，选对部分选项得3分）11．下面命题正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“随意，则”的否定是“存在，则”.C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件12．某城市收集并整理了该市2024年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图.（）已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则依据折线图，下列结论正确的是最低气温与最高气温为正相关10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4第II卷（非选择题）三、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13．已知，，且，则的最大值是__________．14．，则的值是______15．假如椭圆的焦点坐标为，离心率为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为_________.16．设，则______.四、解答题（6个小题，共70分）17．（10分）已知三角形中，.（1）求；（2）若，，求三角形的面积.18．（12分）已知数列前项和为，且．(1)证明：是等比数列；(2)若数列，求数列的前项和．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成果（满分100分，成果均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成果不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成果在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成果之差的肯定值大于10的槪率．21．（12分）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．22．（12分）已知函数．(1)若，且函数有零点，求实数的取值范围；(2)当时，解关于的不等式；(3)若正数满意，且对于随意的恒成立，求实数的值．参考答案1．A【解析】【分析】依据集合的补运算以及交运算，即可简洁求得结果.【详解】由题可知：且，故可得.故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算和补运算，属基础题.2．C【解析】【分析】干脆利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“,都有”的否定是,使得.故选：C.【点睛】本题考查的学问点是命题的否定,其中娴熟驾驭全称命题：“,”的否定是特称命题：“,非”,是解答此类问题的关键.3．D【解析】试题分析：由图易知，而函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的，而函数恒过点，所以由图可知，故选D．考点：函数的图象．4．A【解析】【分析】依据表中数据求得，代入回来直线可构造方程求得结果.【详解】由表中数据可知：；，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用回来直线方程求解实际数据点的问题，关键是明确回来直线必过.5．C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为.由渐近线的对称性可知，焦点到两渐近线距离相等.不妨计算焦点到直线即的距离，，选.考点：1.双曲线、抛物线的几何性质；2.点到直线的距离公式.6．B【解析】【分析】先依据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，依据题意求出首项和公比，即可求出结果.【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，首项为，前项和为，由题意可得，解得，所以其次天织的布为.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.7．A【解析】【分析】依据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度．【详解】因为，所以只需把函数的图象向左平移个单位长度即可得，故选：A.【点睛】本题主要考查就三角函数的变换，左加右减只针对，属于基础题．8．A【解析】【分析】依据题意,由椭圆的方程求出a、b、c的值,设为椭圆的右焦点,其坐标为,再设A的坐标则依据对称性得：,再表示出面积,由图知,当A点在椭圆的顶点时,其面积最大,最终结合椭圆的标准方程即可求出面积的最大值.【详解】解：依据题意,椭圆的方程为,其中,,则,设为椭圆的右焦点,其坐标为,椭圆的中心为,若是过椭圆中心的弦,则A、B关于原点对称,设A的坐标,则B的坐标为,面积,当A点在椭圆的顶点,即时,其面积最大,此时,故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,留意椭圆的对称性,属于简洁题.9．D【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则和平面对量基本定理即可得出．【详解】如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则,因为,所以,由△ADE∽△ABC，得,所以，故λ＝．故选D.【点睛】娴熟驾驭向量的平行四边形法则和平面对量基本定理是解题的关键．10．D【解析】【分析】依据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不肯定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不肯定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不肯定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的推断题，可以举反例或者用定理简洁证明，属于基础题.11．ABD【解析】【分析】分别推断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；依据全称命题的否定是特称命题，推断选项B的正误．【详解】解：对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；对于B，全称命题的否定是特称命题，“随意，则”的否定是“存在，则”，故B对；对于C，“且”“”，“且”是“”的充分条件，故C错；对于D，，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对；故选：ABD．【点睛】本题主要考查命题真假的推断，考查充分条件与必要条件的推断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．12．ABC【解析】【分析】依据折线图逐个选项分析即可.【详解】对A,由图可知,最低气温与最高气温走势基本相同,故最低气温与最高气温为正相关.故A正确.对B,10月的最高气温超过,5月的最高气温低于.故B正确.对C,1月的月温差最大,超过,故C正确.对D,仅1,2,4月的的最低温低于,故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了折线图的理解,属于基础题.13．4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，留意等号成立的条件即可．【详解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，∴由基本不等式可得mn4，当且仅当m＝n＝2时，取等号，故答案为4【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．14．【解析】【分析】设，则，利用诱导公式及二倍角公式即可求出.【详解】设，则，且，则故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查利用换元法求值问题，属于基础题.15．6【解析】【分析】由椭圆的几何性质，求得的值，再结合椭圆的定义，即可求得的周长，得到答案.【详解】设椭圆的标准方程为，因为椭圆的焦点坐标为，离心率为，即，且，解得，由椭圆的定义，可得的周长.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程和简洁的几何性质的应用，其中解答熟记椭圆的几何性质，合理利用椭圆的定义求解是解答的关键.16．1【解析】【分析】由函数的解析式，可得，运算求得结果.【详解】由函数得，故答案为：1【点睛】本题主要考查利用分段函数的解析式求函数的值，属于基础题.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过正弦定理化简已知条件，利用两角和的正弦公式与二倍角公式即可求；（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）三角形中，角、、所对的边分别为、、，，由正弦定理可知，可得，，，，可得，因此，；（2）依据正弦定理得，得，.因为，所以.由余弦定理得，得.可得.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及特别角的三角函数值，娴熟驾驭正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中等题.18．（1）见解析；（2）【解析】【分析】⑴由已知条件求出，再依据，证明结果⑵运用裂项相消法求出数列的和【详解】(1)当时，是以为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：，【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法及运用裂项相消法求出数列的和，较为基础。19．（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：(1)利用题意首先证明面然后利用线面垂直的结论可得.(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值为．试题解析：⑴证明：取中点，连接分别是的中点四边形是平行四边形面,面⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则设面的法向量为由，令，即面的一个法向量设二面角的大小为，则20．（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成果不低于分的概率，由此能求出数学成果不低于分的人数；（3）数学成果在的学生为分，数学成果在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这名学生的数学成果之差的肯定值大于的概率．试题解析：（1）由频率分布直方图，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03.（2）数学成果不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成果不低于60分的人数为：1000×0.85=850（人）．（3）数学成果在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），数学成果在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成果在[40，50）的学生为A，B，数学成果在[90，100]的学生为a，b，c，d，从样本中数学成果在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本领件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中两名学生的数学成果之差的肯定值大于10的状况有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，∴这2名学生的数学成果之差的肯定值大于10的槪率为．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．21．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）依据已知条件及可得关于的方程组,从而可求得.（Ⅱ）由点斜式可得直线方程,与双曲线联立消去可得关于的一元二次方程.可得两根之和,两根之积.由弦长公式可得,依据点到面的距离公式可得原点到直线的距离,从而可求得的面积.试题解析：解：(Ⅰ)依题意可得解得双曲线的标准方程为．(Ⅱ)直线的方程为设、由可得由韦达定理可得，即原点到直线的距离为于是的面积为考点：1双曲线的方程,简洁几何性质;2直线与双曲线的位置关系问题.22．(1)；(2)时；时；时；(3)；【解析】【分析】(1)由可得结果；(2)时，，分三种状况探讨，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)时恒成立，当且仅当，即，即，由，可得，则，解不等式即可的结果．【详解】(1)时，，由函数有零点，可得，即或；(2)时，，当即