广东省湛江市2025届高三数学下学期模拟考试试题理含解析

PAGE19-广东省湛江市2025届高三数学下学期模拟考试试题理（含解析）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合和,即可依据交集的运算求出.【详解】∵,而,∴.故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于简单题.2.设（是虚数单位），则（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可依据复数的模计算公式求出．【详解】∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于简单题．3.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.25 B.32 C.35 D.40【答案】C【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，即可依据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，∴，即有．故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于简单题．4.某歌手大赛进行电视直播，竞赛现场出名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参与竞赛后，现场嘉宾的评分状况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分依据，，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分平均数为，场内外的观众评分的平均数为，全部嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出、，进而可得出结论【详解】由表格中的数据可知，，由频率分布直方图可知，，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算实力，属于基础题.5.已知函数的图象如图所示，则可以为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性推断，可知，为偶函数，不符合题意，解除B；其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行推断,在上无零点,不符合题意，解除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性推断,在上单调递减,不符合题意，解除C.故选：A．【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的推断，意在考查学生的直观想象实力和逻辑推理实力，属于简单题．6.若两个非零向量、满意，且，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设平面对量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面对量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面对量与的夹角为，，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面对量的模求夹角的余弦值，考查平面对量数量积的运算性质的应用，考查计算实力，属于中等题.7.已知为等比数列，，，则（）A.9 B.－9 C. D.【答案】C【解析】【分析】依据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再依据等比数列的性质即可求出.【详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴；当时,,∴.故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算实力,属于基础题.8.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点位于其次象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于其次象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，，，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算实力，属于中等题.9.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围,再利用对数的运算性质和换底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.【详解】∵,即,,即,,即,∴,即有.∵,即,∴.综上,.故选：D．【点睛】本题主要考查对数的运算性质,换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学生的数学运算实力和逻辑推理实力,属于中档题.10.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，，，，，，，，可得，，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算实力，属于中等题.11.已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先依据图象求出函数的解析式,再由平移学问得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可依据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,依据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,明显,∴是的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算实力和逻辑推理实力,属于中档题.三、解答题12.如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先依据平方关系求出,再依据正弦定理即可求出；（2）分别在和中，依据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再依据余弦定理求出，即可依据求出的面积．【详解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面积.【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算实力，属于基础题．13.如图，在四棱柱中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据面面垂直的判定定理可知，只需证明平面即可．由为菱形可得，连接和与的交点，由等腰三角形性质可得，即能证得平面；（2）由题意知，平面，可建立空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，再分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可依据向量法求出二面角的余弦值．【详解】（1）如图，设与相交于点，连接，又为菱形，故，为的中点.又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等边三角形，可得，故平面，所以，，两两垂直.如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.不妨设，则，，则，，，，，，设为平面法向量，则即可取，设为平面的法向量，则即可取，所以.所以二面角的余弦值为0.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象实力，逻辑推理实力和数学运算实力，属于基础题．14.某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的肯定值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差肯定值的数学期望；（2）假如视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意即可写出该批次产品长度误差的肯定值的频率分布列，再依据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事务的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，推断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可依据上述方法求出，解，即可得出最小值.【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差肯定值的频率分布列为下表：00.010.020.030.04频率0.40.30.20.0750.025所以的数学期望的估计为.（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事务，则，故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为，由题意，又，解得，所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事务同时发生的概率公式的应用，对立事务的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模实力和数学运算实力，属于基础题．15.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）依据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式，并代入韦达定理，消去，可得出点的横坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意得，解得，.所以椭圆的方程是；（2）设直线的方程为，、、，由，得.，则有，，由，得，由，可得，，，综上，点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算实力与推理实力，属于中等题.16.设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；（2）由题意可将转化为，构造函数，利用导数探讨探讨其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．【详解】（1）若，则，，设，则，，，故函数是奇函数．当时，，，这时，又函数是奇函数，所以当时，.综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.又，，故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.（2），由，所以恒成立，若，则，设，.故当时，，又，所以当时，，满意题意；当时，有，与条件冲突，舍去；当时，令，则，又，故在区间上有无穷多个零点，设最小的零点为，则当时，，因此在上单调递增.，所以于是，当时，，得，与条件冲突.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数探讨函数的单调性和最值，涉及分类探讨思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模实力，数学运算实力和逻辑推理实力，属于较难题．17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的一般方程和的直角坐标方程；（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的一般方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；（2）依据变换得出的一般方程为，可设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.【详解】（1）由（为参数），得，化简得，故直线的一般方程为.由，得，又，，.所以的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为，所以曲线的参数方程为（为参数）.故点到直线的距离为，当时，最小为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与一般方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算实力，属于中等题.18.已知，，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成