吉林省白城市通榆县第一中学2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题含解析

PAGE17-吉林省白城市通榆县第一中学2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.（）A.70° B.75° C.80° D.85°【答案】B【解析】【分析】利用，进行转化求解.【详解】因为，故.故选：B.【点睛】本题考查弧度转化角度，公式为：.3.函数的定义域是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必需有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．4.设终边在轴的负半轴上的角的集合为则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据角的表示方法及终边在轴的负半轴上,即可得解.【详解】依据角的表示方法可知,终边在轴的负半轴上的角可以表示为,,故选:D【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题.5.若函数是幂函数,且在上单调递增,则()A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.6.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简得到原式，再利用和差公式计算得到答案.【详解】．故选：【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的敏捷运用.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数解析式，推断函数的奇偶性，解除A、B，再依据函数值的正负状况，即可推断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以解除A，B；当时，；当时，，解除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式推断性质进而识别图像，属于中等题型.8.若为其次象限角，下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据角所在象限,推断三角函数符号,即可推断选项.【详解】因为为其次象限角,所以,,AB,C对,D不肯定正确.故选:D【点睛】本题考查了三角函数在其次象限的符号,属于基础题.9.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．10.已知函数是定义在上的奇函数，则（）A.-2 B.-1 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】依据奇函数的定义域关于原点对称可得，再由，列方程组求出，进而求出代入求函数值即可.【详解】由函数是定义在上的奇函数，得，所以，，则.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，特殊的定义域关于原点对称不要忽视，是基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满意，，连接交于点M，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，依据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.设分别是方程，，的实根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程的根转化为图像交点的横坐标，数形结合，进行分析.【详解】对于，其方程的根为与的图象交点横坐标在同始终角坐标系作出两个函数图像如下：由图可知；对于，其方程的根为与的图象交点的横坐标由图可知；对于，其方程的根为与的图象交点的横坐标，由图可知或.综上所述，故.故选：C.【点睛】本题考查方程根的转化，留意数形结合，同时考查了作图实力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则_________.【答案】【解析】【分析】依据正切二倍角公式,代入即可求解.【详解】由正切的二倍角公式,代入即可求解..故答案为:【点睛】本题考查了正切函数而倍加公式的简洁应用,属于基础题.14.已知向量，.若，则______.【答案】-1【解析】【分析】依据向量平行的坐标关系,代入即可求得的值.【详解】依据向量平行的坐标关系可得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了平面对量平行的坐标关系及运算,属于基础题.15.已知，，则______.【答案】【解析】【分析】依据同角三角函数关系式及角范围,可求得,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知因为,,所以,,所以.故答案为:【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题.16.定义在R上的偶函数满意,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图视察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满意,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据对数的真数大于零，求得集合B，再进行并运算；（2）由得，依据集合的包含关系，求解参数范围.【详解】（1）因为所以，即，当时，所以（2）因为，所以，由（1）知，则或，即或，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合的运算，以及由集合之间的包含关系求参数范围，涉及对数函数定义域.18.已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.（2）依据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.【详解】（1）由,得,即,解得.（2）,.因为,所以,即.令,则.【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,依据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19.已知函数的图象过点.（1）求函数的解析式，并求出的最大值、最小值及对应的的值；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）；时，；时，（2）【解析】【分析】（1）将图像所过点的坐标代入解析式，求得参数，即可得解析式；再利用余弦型函数的性质求解最值；（2）将整体代入函数的单调区间，解不等式即可.【详解】（1）因为过点，得，.∵，∴，故.当，即时，；当，即时，.（2）由（1）知，当时，单调递增，解得：故的单调递增区间为.【点睛】本题考查余弦型函数的解析式求解，涉及单调性、最值，属基础题.20.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满意，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满意相应的不等关系．21.已知函数，的图象的一条对称轴是，一个对称中心是.（1）求的解析式；（2）已知是锐角三角形，向量，，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据函数的对称中心，结合的取值范围，即可简洁求得；结合函数对称轴，即可求得；（2）依据（1）中所求，结合向量垂直的坐标运算，即可简洁求得，结合角，即可求得.【详解】（1）设的最小正周期为，图象的一个对称中心是，，，，，，，.，图象的一条对称轴是，，，，.，..（2）因为，，，，，，，，又是锐角，.，，.【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求函数解析式，向量垂直的坐标表示，利用正余弦的倍角公式进行三角恒等变换，属综合性中档题.22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:上单调递增；(2)函数，假如总存在，对随意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对随意都成立，即