中考数学二轮复习-专题08 尺规作图+补全证明过程 解析版

二轮复习2023-2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题08——尺规作图+补全证明过程（重庆专用）1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）学习了角平分线的性质后，小明进行了拓展性研究．他发现△ABC的外角∠CBD和外角∠BCE的角平分线BF，CF交于点F，他猜想AF平分∠BAC，他的解决思路是利用角平分线性质，过点F分别向BD、BC、CE作垂线，再证明这∠BAF和∠CAF这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向BD，BC作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点F作FK⊥CE于点K．（保留作图痕迹）己知：如图，△ABC的外角∠CBD和外角∠BCE的角平分线BF，CF交于点F，FK⊥CE于点K，FH⊥BC于点H，FG⊥BD于点G．求证：∠BAF=∠CAF．证明：∵BF平分∠CBDFH⊥BC于点H，FG⊥BD于点G∴①∵CF平分∠BCEFK⊥CE于点K，FH⊥BC于点H∴FH=FK∴②∵FG⊥BD，FK⊥CE∴△AGF，△AKF均为直角三角形．∵AF=AF∴③∴∠BAF=∠CAF由此他得到结论：三角形两条④平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角．【答案】作图见解析，①FH=FG；②FG=FK；③Rt△FAG≌【分析】本题主要考查了尺规做角平分线，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分的限制和三角形全等的性质和判定判定，同通过FH=FG，FH=FK，证明FG=FK，再证明Rt△FAG≌【详解】解∵BF平分∠CBD，FH⊥BC于点H，FG⊥BD于点G，∴FH=FG，①∵CF平分∠BCEFK⊥CE于点K，FH⊥BC于点H∴FH=FK∴FG=FK，②∵FG⊥BD，FK⊥CE∴△AGF，△AKF均为直角三角形．∵AF=AF，FG=FK∴Rt△FAG≌∴∠BAF=∠CAF由此他得到结论：三角形两条外角平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角．④故答案为：①FH=FG；②FG=FK；③Rt△FAG≌2．（2024上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图：正方形ABCD中，直线l1经过点D，与AB交于点E(1)用直尺和圆规作图：过点C作DE的垂线l2，垂足为G，交AD于点F(2)同学们作图完成后，通过测量发现DE=CF，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明：如图：已知正方形ABCD中，DE、CF分别是直线l1，直线l2被一组对边截得的线段，当DE⊥CF时，求证：证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC，∴∠EAD=∠CDF=90°，∴      ①      +∠AED=90°∵DE⊥CF，∴∠FGD=90°，∴②，∴∠AED=∠DFG，在△DAE和△CDF中，∠EAD=∠CDF      ③      ∴△DAE≌△CDF，∴DE=CF．同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段④．【答案】(1)见解析(2)①∠ADE

②∠ADE+∠DFG=90°

③AD=CD④互相垂直，那么这两条线段相等【分析】本题考查了作图—基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了全等三角形的判断与性质和正方形的性质．（1）利用基本作图，过点C作DE的垂线l2（2）先利用等角的余角证明∠AED=∠DFG，然后根据“ASA”证明△DAE≌△CDF，从而得到结论【详解】（1）解：如图所示，l2（2）证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC，∴∠EAD=∠CDF=90°，∴      ∠ADE∵DE⊥CF，∴∠FGD=90°，∴∠ADE+∠DFG=90°，∴∠AED=∠DFG，在△DAE和△CDF中，∠EAD=∠CDF    ∴△DAE≌△CDF，∴DE=CF．两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段互相垂直，那么这两条线段相等故答案为①∠ADE

②∠ADE+∠DFG=90°

③AD=CD，④互相垂直，那么这两条线段相等．3．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究，她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AE平分∠BAD，DE平分求证：AB+CD=AD．证明：∵AE平分∠BAD，∴①，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠AFE，在△ABE和△AFE中，∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE≅△AFE(AAS∴③，同理可得：CD=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么④．【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图和角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，也考查了全等三角形的判定与性质．以点E为圆心，任意长为半径画弧，交于AD两点，再以两交点为圆心，大于两交点距离的12为半径画弧，两弧交于一点，连接该交点与点E，交AD于点F根据角平分线的性质可得BE=EF，证明Rt△ABE≌Rt△AFE，得到AB=AF，同理可得DC=DF【详解】解：由题意可画图如下：证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠AFE，在△ABE和△AFE中，∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE≅△AFE(AAS∴AB=AF，同理可得：CD=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD．小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．4．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角．(1)用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹(2)在（1）所作的图形中，若BE=FE，证明：四边形AGBF是矩形．（请完成下面的填空）∵BG平分∠ABD，∴①，∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴②，∴∠DBG=∠EGB，∴∠EGB=∠ABG∴③．∵BE=FE，∴④，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，∴AB=GF，∴四边形AGBF是矩形．（⑤）【答案】(1)见解析(2)∠ABG=∠DBG；EF∥BC；EG=EB；【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定等知识．掌握矩形的判定是解答本题的关键．（1）以B为圆心，以一定长度为半径画弧交AB、BD于点Q、P，再分别以点Q、P为圆心，以大于QP一半的长度为半径画弧，两弧交于点T，连接BT，交FE的延长线于点G，即可；（2）依据题目已给出的思路进行作答即可．【详解】（1）解∶如图，（2）证明：∵BG平分∠ABD，∴∠ABG=∠DBG，∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥∴∠DBG=∠EGB，∴∠EGB=∠ABG∴EG=EB．∵BE=FE，∴EG=EF，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，∴AB=GF，∴四边形AGBF是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）故答案为：∠ABG=∠DBG；EF∥BC；EG=EB；5．（2023上·重庆·九年级重庆市松树桥中学校校考期中）如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，CF⊥BD于点F，(1)尺规作图：过A作AE⊥BD于点E，连接AF，(2)在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）证：∵AE⊥BD，∴∠AED=___________=90°．∵BD是AC边上的中线，∴___________．∵在△AED和△CFD中，∠AED=∠CFD___________，AD=CD∴△AED≌∴___________．∵AD=CD，∴四边形AECF是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)∠CFD；AD=CD；∠ADE=∠CDF；ED=FD【分析】（1）根据尺规作垂线的方法进行作图即可；（2）通过证明△AED≌△CFD(AAS【详解】（1）解：作图如下：（2）证明：∵AE⊥BD，∴∠AED=∠CFD=90°．∵BD是AC边上的中线，∴AD=CD∵在△AED和△CFD中，∠AED=∠CFD∴△AED≌∴ED=FD∵AD=CD∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，平行四边形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．6．（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，矩形ABCD中，AC为其对角线．过点B作BE⊥AC于点E．(1)用直尺和圆规，作∠CDF，使∠CDF=∠ABE，DF交AC于点F，交BC于点G；(2)小明思考此时的DF是否会垂直AC，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导DF⊥AC．根据小明的思路，完成以下填空：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，①，∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDFASA∴③．∵BE⊥AC，∴④，∴∠CFD=90°，∴DF⊥AC．【答案】(1)见解析(2)①AB∥CD，②∠ABE=∠CDF，③∠AEB=∠CFD【分析】本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质、矩形的性质．（1）利用基本作图作∠CDF=∠ABE；（2）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，则∠BAE=∠DCF，再证明△ABE≌△CDFASA得到∠AEB=∠CFD【详解】（1）如图，∠CDF为所作；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCFAB=CD∴△ABE≌△CDFASA∴∠AEB=∠CFD，∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠CFD=90°，∴DF⊥AC．故答案为：①AB∥CD，②∠ABE=∠CDF，③∠AEB=∠CFD，④7．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期中）在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空：(1)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，连接BO并延长，在射线BO上截取OD=OB，连接AD、CD(2)在（1）问所作的图形中，求证：OB=1证明：∵OE垂直平分AC，∴点O是AC的中点．∴OA=_____．∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=_____，∴四边形ABCD是_____．∴_____．∵OB=1∴OB=_____．【答案】(1)图形见解析；(2)OC；90°；矩形；AC=BD，1【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，（1）根据要求作出图形；（2）证明四边形ABCD是矩形，可得结论；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵OE垂直平分AC，∴点O是AC的中点．∴OA=OC．∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AC=BD．∵OB=1∴OB=1故答案为：OC；90°；矩形；AC=BD，128．（2024上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，作∠BAC的角平分线交BC于D．（只保留作图痕迹）(2)已知：如图：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD⊥BC．求证：AB=AC．证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=①___________．∵AD⊥BC，∴∠BDA=②____________=90°，∴△ABD≅△ACDASA∴③__________．林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形．【答案】(1)详见解析；(2)∠CAD，∠CDA【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，（1）根据角平分线的基本作法作出图形即可；（2）根据ASA证明△ABD≌△ACD即可得出结论；证明△ABD≌△ACD是解题的关键．【详解】（1）如图所示；（2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA∵AD=AD∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC．林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的高与中线重合时，这个三角形是等腰三角形，故答案为：∠CAD，9．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．(1)尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵DF平分∠ADC，∴∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，∴∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即又∵∴四边形BEDF是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；（2）由角平分线的性质得到∠ADF=∠CDF，由平行线的性质得到∠ADF=∠CFD，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答．【详解】（1）解：如图就是所求作的图形；（2）证明：∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，∴∠ADF=∠CFD∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE=BF又∵DE∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，AE∥(1)请用尺规完成以下基本作图：在射线BF上截取BC=AB，作∠ABC的平分线，交AE于点D，连接CD；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AE∥∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC∴①,∴∠ADB=∠ABD,∴②,又∵AB=BC,∴AD=BC,又∵③,∴四边形ABCD是平行四边形又∵④,∴四边形ABCD是菱形．【答案】(1)见解析(2)∠ABD=∠CBD，AB=AD,AD∥BC,【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定等知识点，正确运用尺规作出图形以及菱形的判定定理是解题的关键．（1）根据尺规作图和题目要求作图即可；（2）先根据平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定定理说明四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答．【详解】（1）解：如图即为所求；．（2）证明：

如图：∵AE∥∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD又∵AB=BC,∴AD=BC,又∵AD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形故答案为：∠ABD=∠CBD，AB=AD,AD∥BC,11．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州国本中学校校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．

(1)尺规作图：在CB的延长线上截取BE=BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：四边形AOBF为矩形．证明：∵BF⊥AE∴①∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AD=BC∴∠AOB=90°∵BE=BC∴②又∵AD∴四边形ADBE为平行四边形∴③∴∠AFB+∠FBO=180°∴④∴∠AFB=∠AOB=∠FBO=90°∴四边形AOBF为矩形．【答案】(1)见解析(2)①∠AFB=90°，②BE=AD，③AE∥BD【分析】（1）根据题意画图即可；（2）根据垂直的性质可得∠AFB=90°，根据菱形的性质可得BE=AD，根据平行四边形的性质可得AE∥BD，根据平行线的性质可得∠FBO=90°，根据矩形的判定可得四边形【详解】（1）如图：

作法：延长CB，以B为圆心，BC的长为半径，在CB的延长线上画弧，即为点E；连接AE，分别以A，E为圆心，BC的长为半径，在AE的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点B，与AE交于一点，即为点F（2）证明：∵BF⊥AE∴∠AFB=90°∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AD=BC∴∠AOB=90°∵BE=BC∴BE=AD又∵AD∴四边形ADBE为平行四边形∴AE∴∠AFB+∠FBO=180°∴∠FBO=90°∴∠AFB=∠AOB=∠FBO=90°∴四边形AOBF为矩形．【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图．12．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，已知四边形ABCD中，H为BC边上一点，连接AH，DH，AC．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线交BC于E（保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若BE=HE，∠BAH=∠CAD，AH为的角平分线．求证：∠ADH=∠ACB．完成下列填空．证明：∵AE⊥BC，BE=HE，∴①____________，∴∠ABH=∠AHB，∵AH为∠BHD的角平分线，∴∠AHD=∠AHB，∴②____________，∴∠BAH=∠CAD，∴∠BAH+∠HAC=∠CAD+∠HAC，即：③____________，∴△ABC≌∴∠ADH=∠ACB．【答案】(1)见解析(2)①AB=AH②∠ABH=∠AHD③∠BAC=∠HAD④△AHD【分析】本题考查了“过直线外一点作已知直线的垂线”及全等三角形判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”的基本做法作图，注意垂线是一条直线．（2）根据三角形的全等的判定定理（ASA）即可补充证明过程．【详解】（1）如图所示：点E即为所求：作法：以点A为圆心，大于A到BC的距离长为半径画弧，交BC于M、N两点，分别以这两交点为圆心，以AM的长为半径作弧，两弧于直线下方交于点Q，连接AQ，交BC于点E，直线AQ即为BC的垂线．（2）证明：∵AE⊥BC，BE=HE，∴①AB=AH，∴∠ABH=∠AHB，∵AH为∠BHD的角平分线，∴∠AHD=∠AHB，∴②∠ABH=∠AHD，∴∠BAH=∠CAD，∴∠BAH+∠HAC=∠CAD+∠HAC，即：③∠BAC=∠HAD，∴△ABC≌④△AHD∴∠ADH=∠ACB．13．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线．(1)尺规作图：过点B作BE⊥AC于点E，再在CA上截取CF=AE．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DE、DF、BF，猜想四边形BEDF的形状，将下面的推理过程补充完整．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，①∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，AB=DC∴△ABE≌△CDF（②），∴BE=DF，∴③

∴四边形DEBF是④．（⑤

）（⑤填推理依据）【答案】(1)见详解(2)①AB∥DC②SAS③BE∥DF④平行四边形⑤一组对边相等且平行的四边形是平行四边形【分析】本题考查的是过已知点向已知直线作垂线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，熟悉基本作图的方法是解本题的关键．（1）先以B为圆心，大于B到AC的距离长为半径画弧，交AC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离为半径画弧，得到两弧的两个交点，再过这两个交点作直线交AC于E，再在AC上截取CF=AE即可；（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=DC，AB∥CD，再证明△ABE≌△CDFSAS，证明∠FEB=∠EFD，可得BE∥DF【详解】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，AB=DC∴△ABE≌△CDF∴BE=DF，∴BE∥DF∴四边形DEBF是平行四边形．（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）14．（2023上·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，延长BC至点M，点E是边BC上一点，∠AEN=90°．

(1)尺规作图：在射线EN上截取EG=EA，过点G作BM的垂线交BM于点Q．（只保留作图痕迹）(2)证明BE=GQ．将下面的过程补充完整．证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEN=90°∴∠GEQ+∠AEB=90°∴①______∵GQ⊥BM于点Q∴∠GQE=90°∴②______又∵③______∴△ABE≌△EQG（④______）∴BE=GQ【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了基本作图、矩形的性质以及全等三角形的判定及性质．（1）先在边EN上截取AE=EG，利用基本作图作GQ⊥BM得到GQ，然后连接GQ即可；（2）根据矩形的性质得出∠B=90°，再根据同角的余角相等得出∠BAE=∠QEG，然后根据垂直的性质得出∠ABE=∠EQG，利用AAS可证明△ABE≌△EQG，最后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）如图：

即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEN=90°∴∠GEQ+∠AEB=90°∴∠BAE=∠QEG∵GQ⊥BM于点Q∴∠GQE=90°∴∠ABE=∠EQG又∵AE=EG∴△ABE≌△EQGAAS∴BE=GQ．故答案为：∠BAE=∠QEG，∠ABE=∠EQG，AE=EG，AAS．15．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在三角形ABC中，∠C=90°，AD为边BC上的中线，小明想以BC为对角线，构造一个平行四边形ABEC，做了如下思考：过点B作BC的垂线，交AD的延长线于点E，连接CE，则四边形ABEC即为平行四边形．请你按小明的思路进行作图并证明：四边形ABEC即为平行四边形（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）．证明：∵AD为边BC上的中线∴①又∵BE⊥BC∴②∵∠ACB=90°∴③在△ACD与△EBD中∠ACB=∠EBC∴△ACD≌△EBD(ASA)∴④∴四边形ABEC为平行四边形【答案】图见解析，BD=CD；∠EBC=90°；∠EBC=∠ACB；AD=ED【分析】本题考查作垂线，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质．根据作法描述作出图形．先证明△ACD≌△EBD(ASA)，得到【详解】解：如图，四边形ABEC即为所作，证明：∵AD为边BC上的中线∴BD=CD又∵BE⊥BC∴∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠EBC=∠ACB在△ACD与△EBD中∠ACB=∠EBC∴△ACD≌△EBD(∴AD=ED∴四边形ABEC为平行四边形16．（2023上·重庆渝北·九年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)用尺规完成下列基本作图：在DC上取点E，使DE=AD，连接AE，作∠BCD的平分线交AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)根据（1）中作图，求证：AE=CF，补充完成下列证明过程（答案填写在答题对应标号位置）．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=______，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD，∴∠DCF=______，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=______，∵DE=AD，∴DE=BF，∵DC=AB，∴CE=______，∵CE∥AF，∴四边形AECF为______，∴【答案】(1)见详解(2)∠BCF，∠BFC，BF，AF，平行四边形【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及尺规作图，（1）以点D为圆心，AD长为半径画圆交DC交点为E，再以点C为圆心任意长为半径画弧交DC和BC，以交点为圆心大于交点为半径画弧，连接点C和交点交AB即为点F；（2）根据角平分线性质得∠DCF=∠BCF，由平行四边形性质得AB∥DC和BC=AD，得到∠BCF=∠BFC，有BC=BF，进一步得到CE=AF，即可判断四边形AECF为平行四边形，有结论成立．【详解】（1）解：如图，（2）∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠BCF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD，∴∠DCF=∠BFC，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，∵DE=AD，∴DE=BF，∵DC=AB，∴CE=AF，∵CE∥∴四边形AECF为平行四边形，∴AE=CF．17．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）如图，已知△ABC，BD平分∠ABC．(1)用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点G，连接DE，DF．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：四边形BFDE是菱形．证明：∵BD平分∠ABC∴①∵EF垂直平分BD∴BE=DE，GB=GD∴∠1=∠EDB∴∠2=∠EDB∴②在△BGF和△DGE中，∠2=∠EDB∴△BGF≌△DGE（ASA）∴③∵BF∴四边形BFDE是平行四边形∵④∴平行四边形BFDE是菱形【答案】(1)见解析(2)①∠1=∠2，②BF∥ED，③BF=DE【分析】（1）根据要求作出图形即可，作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点G，连接DE，DF；（2）证明△BGF≌△DGE（ASA），然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2∵EF垂直平分BD∴BE=DE，GB=GD∴∠1=∠EDB∴∠2=∠EDB∴②BF在△BGF和△DGE中，∠2=∠EDB∴△BGF≌△DGE（ASA）∴③BF=DE∵BF∴四边形BFDE是平行四边形∵BE=DE∴平行四边形BFDE是菱形．故答案为：①∠1=∠2，②BF∥ED，③BF=DE，④【点睛】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，综合运用以上知识是解题的关键．18．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(1)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF,EF分别交BD,AD,BC于点O,E，F．连接BE,DF．（只保留作图痕迹）(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形．（请完成下面的填空）证明：∵EF垂直平分BD∴①，EF⊥BD∵AD∴②∠EDO=∠FBO∴△EDO≌△FBO∴④∴四边形BFDE为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤．【答案】(1)见解析(2)①BO=DO；②∠EDO=∠FBO；③∠EOD=∠FOB；④EO=FO；⑤得到的四边形是菱形【分析】（1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可；（2）根据垂直平分线的定义得出BO=DO，EF⊥BD，根据平行线的性质得出∠EDO=∠FBO，证明△EDO≌△FBOASA，得出EO=FO【详解】（1）解：如图，EF为所求作的线段BD的垂直平分线；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴①BO=DO，EF⊥BD，∵AD∴②∠EDO=∠FBO，∵∠EDO=∠FBODO=BO∴△EDO≌△FBOASA∴④EO=FO，∴四边形BFDE为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形．故答案为：①BO=DO；②∠EDO=∠FBO；③∠EOD=∠FOB；④EO=FO；⑤得到的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．19．（2023上·重庆南岸·九年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．

(1)尺规作图：过点C在线段CD上方作∠DCG=DBE交线段DF于点G（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、不下结论）(2)在（1）中所作的图中，证明：AE=AF（请补全下面的证明过程）．证明：∵D为BC边中点，∴CD=BD∵∠DCG=∠DBE∴①．∴∠CGF=∠AEF在△CDG和△BDE∠DCG=∠DBECD=BD∴△CDG≌∴③．∵BE=CF∴CF=CG，∴④．又∵∠CGF=∠AEF，∴⑤．∴AE=AF【答案】(1)见解析(2)CG∥BE；∠CDG=∠BDE；CG=BE；∠AFE=∠CGF；∠AFE=∠AEF【分析】（1）以B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BD、BE于点M、N，再以C为圆心，相同长度为半径画弧，交CD于点P；以N为圆心，MN长度为半径画弧，再以P为圆心，相同长度为半径画弧，交于点Q，连接CQ，交DF于点G，作图即可；（2）根据条件证明△CDG≌△BDEASA【详解】（1）解：以B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BD、BE于点M、N，再以C为圆心，相同长度为半径画弧，交CD于点P；以N为圆心，MN长度为半径画弧，再以P为圆心，相同长度为半径画弧，交于点Q，连接CQ，交DF于点G，如图所示，

（2）证明∵D为BC边中点，∴CD=BD∵∠DCG=∠DBE∴BE∥CG．∴∠CGF=∠AEF在△CDG和△BDE∠DCG=∠DBECD=BD∴△CDG≌∴BE=CG．∵BE=CF∴CF=CG，∴∠CGF=∠CFG．又∵∠CGF=∠AEF，∴∠AEF=∠CFG．∴AE=AF；【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基本尺规作图的方法，灵活运用相关性质定理是解题的关键．20．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE交AB于点G.

(1)尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：DF=FG（请补全证明过程）.证明：∵AD∥BE，∴∠DAC=①.在△ACD和△BEC中，AC=BE∴△ACD≌△BEC∴∠ADC=∠BCE，CD=②，∴∠CDE=∠CED，∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED，∴∠ADG=∠AGD，∴③．∵AF⊥④，∴DF=FG．【答案】(1)见解析(2)∠B；EC；AD=AG；DG【分析】（1）根据尺规作图的方法作图即可；（2）先证明△ACD≌△BECSAS，得出∠ADC=∠BCE，CD=CE，再根据等边对等角得出∠CDE=∠CED，然后求出∠ADG=∠AGD，进而得出AD=AG【详解】（1）解：如图，AF为所作；

（2）证明：∵AD∥BE，∴∠DAC=∠B，在△ACD和△BEC中，AC=BE∠DAC=∠CBE∴△ACD≌△BECSAS∴∠ADC=∠BCE，CD=EC，∴∠CDE=∠CED，∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED，∴∠ADG=∠AGD，∴AD=AG，∵AF⊥DG，∴DF=FG.故答案为：∠B；EC；AD=AG；DG．【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基本尺规作图的方法，灵活运用相关性质定理是解题的关键．21．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，已知矩形ABCD，AB>AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．(1)尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接BF，若AF=AB，求证：BF平分∠GBE，为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①______，∴∠ABF=∠BFC，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∴∠BFG=∠BFC，∵②_______，∴∠BGF=90°，∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴③_______，又∵BF＝∴△GBF≌∴∠GBF=∠CBF，∴BF平分∠GBE．【答案】(1)见解析(2)①AB∥CD；②BG⊥AE；③【分析】本题考查了尺规作图——垂线，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握尺规作图的基本方法以及全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）以点B为圆心画弧，交AE于M、N，再分别以这两点为圆心，大于12MN的长为半径画弧，弧交点为H，连接BH，BH与AE的交点即为点（2）根据矩形的性质和等边对等角的性质，得出∠BFG=∠BFC，∠BGF=∠BCD，从而证明△GBF≌△CBFAAS【详解】（1）解：如图，BG即为所求作；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠ABF=∠BFC，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∴∠BFG=∠BFC，∵BG⊥AE，∴∠BGF=90°，∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BGF=∠BCD，又∵BF＝∴△GBF≌∴∠GBF=∠CBF，∴BF平分∠GBE，故答案为：①AB∥CD；②BG⊥AE；③22．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，直线l1∥l2，线段AD分别与直线l1、l2交于点(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC的垂直平分线交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、(2)求证：四边形AEDF为菱形(请补全下面的证明过程)，证明：∵l1∥l∵EF垂直平分BC，∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，∴＿＿＿＿＿＿②≌△FOB，∴OE=＿＿＿＿＿＿③，∵AB=CD，∴OB+AB=OC+DC，∴OA=OD，∴四边形AEDF是＿＿＿＿＿＿④，∵EF⊥AD，∴四边形AEDF是菱形．【答案】(1)见解析(2)∠2；△EOC；OF；平行四边形【分析】本题考查作图-基本作图，菱形的判定等知识；（1）利用基本作图作EF，以B，C分别为圆心，适当长为半径画弧，相交于两点，连接两点所在直线，交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、（2）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【详解】（1）解：以B，C分别为圆心，适当长为半径画弧，相交于两点，连接两点所在直线，交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、如图所示，即为所求：（2）证明：∵l1∴∠1=∠2，∵EF垂直平分BC，∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，∴△EOC≌∴OE=OF，∵AB=CD，∴OB+AB=OC+DC，∴OA=OD，∴四边形AEDF是平行四边形，∵EF⊥AD∴四边形AEDF是菱形．故答案为：∠2；△EOC；OF；平行四边形．23．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形ABCD中，在DC边上截DF=DA，连接AF，作∠BCD的角平分线交AB于点E，则AF=CE．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，在DC边上截DF=DA，连接AF，作∠BCD的角平分线CE，交AB于点E（只保留作图痕迹）．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DA=DF，CE平分∠BCD，交AB于点E．求证：AF=CE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ECF=______，①∵CE平分∠BCD，∴∠ECF=______，②∴∠CEB=∠ECB，∴BE=BC∵AD=DF，∴BE=______，③∴AB−BE=______，④∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴AF=CE．【答案】作图见解析；∠CEB,∠ECB,DF,CD−DF【分析】作图见解析；根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,AD=BG，根据平行线的性质得到∠ECF=∠CEB，根据角平分线的得到∠ECF=∠BCE，求得∠CEB=∠ECB，得到BE=BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形【详解】解：如图所示；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∴∠ECF=∠CEB,∵CE平分∠BCD,∴∠ECF=∠BCE,∴∠CEB=∠ECB,∴BE=BC,∵AD=DF,∴BE=DF，∴AB−BE=CD−DF，∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，∴AF=CE．故答案为：∠CEB,∠ECB,DF,CD−DF．24．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=72°．(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BF，交AC于点E，交CD于点F(只保留作图痕迹)；(2)在（1）所作的图形中，求证：AB=FB．(思路是通过证明两个三角形全等得出对应线段相等，请补全下面的证明过程．)证明：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ACB=∠ABC=72°．.∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=36°．∵．∴∠ABE=∠FBC−∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=72°．又∠ACB=72°，∴．∴BE=BC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠BFC=∠ABE=36°∴∠BAE=∠BFC．在△ABE和△FBC中，∠ABE=∠FBC∠BAE=∠BFC∴△ABE≌△FBC(AAS∴AB=FB．【答案】(1)见解析(2)BE平分∠ABC，∠BEC=∠BCE，AB∥CD，BE=BC【分析】本题考查作图之复杂作图（1）根据要求作出图形；（2）证明△ABE≌△FBC(AAS)，可得【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ACB=∠ABC=72°．.∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=36°．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBC−∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=72°．又∠ACB=72°，∴∠BEC=∠BCE．∴BE=BC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BFC=∠ABE=36°∴∠BAE=∠BFC．在△ABE和△FBC中，∠ABE=∠FBC∠BAE=∠BFC∴△ABE≌△FBC(AAS∴AB=FB．故答案为：BE平分∠ABC，∠BEC=∠BCE，AB∥CD，BE=BC．25．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线．

(1)用尺规完成以下基本作图：在边AD的下方作射线AE，使∠DAE=∠1，射线AE分别交BD于点O，交BC的延长线于点E，连接DE．（只保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图形中，证明：AB=DE，（请完成下面的填空）∵四边形ABCD是平行四边形，∴①，∴∠DAE=∠AEB，∠ADB=②．∵∠1=∠DAE，∴③，∠ADB=∠DAE，∴OB=OE，④∵⑤∴△ABO≌△DEOSAS∴AB=DE．【答案】(1)见解析(2)①AD∥BC；②∠1；③∠1=∠AEB；④OA=OD【分析】本题考查了作图——作一个角等于已知角，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定与性质是解题关键（1）根据作一个角等于已知角∠DAE=∠1的方法作图即可；（2）根据平行四边形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定可得答案．【详解】（1）解：如图，射线AE即为所求，

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠1．∵∠1=∠DAE，∴∠1=∠AEB，∠ADB=∠DAE，∴OB=OE，OA=OD，∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEOSAS∴AB=DE．故答案为：①AD∥BC；②∠1；③∠1=∠AEB；④OA=OD；⑤26．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12CD，DC∥AB(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线交CD于点E，交BC于点F，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作图中，证明四边形ABED为菱形，完成下列填空．证明：∵EF垂直平分BC，∴______．∴∠EBC=∠C，∵∠DBC=90°，∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB（______），∴DE=BE，∴DE=______，即DE=1∵AB=1∴DE=AB，∵AB∥∴四边形ABED是______．∵DE=______．∴四边形ABED为菱形．【答案】(1)图见详解(2)BE=EC，等角的余角相等，CE，平行四边形，BE【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理是解题的关键；（1）分别以点B、C为圆心，大于12BC长为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，分别交CD于点E，交BC于点（2）由（1）易得BE=EC，然后可得DE=BE，进而根据菱形的判定定理可进行求解【详解】（1）解：所作图形如图所示：（2）证明：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC．∴∠EBC=∠C，∵∠DBC=90°，∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB（等角的余角相等），∴DE=BE，∴DE=CE，即DE=1∵AB=1∴DE=AB，∵AB∥∴四边形ABED是平行四边形．∵DE=BE．∴四边形ABED为菱形；故答案为BE=EC，等角的余角相等，CE，平行四边形，BE．27．（2023下·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．∵∠DAM=∠D，∴①_____________∵∠D−∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③__________°，∴④_____________∴BC∥DE．所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．【答案】①DE∥AM，②20，③180【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．【详解】解：如图，通过尺规作图得：∠DAM=∠D，∵∠DAM=∠D，∴①DE∥∵∠D−∠DAB=20°，∴∠BAM=②20°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③180°，∴④BC∥∴BC∥DE．所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．故答案为：①DE∥AM，②20，③180，④【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．28．（2023下·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．(1)用尺规完成以下基本作图：过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接AF，若BF=DE，证明：四边形AECF为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴①∵BF=DE∴BC−BF=AD−DE即②∵BC即AE∥CF∴四边形AECF为③又∵④∴四边形AFCE为菱形．【答案】(1)见解析(2)①BC=AD；②CF=AE；③；平行四边形；④EF⊥AC【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可；（2）先证明四边形AECF为平行四边形，根据（1）可得对角线互相垂直，进而即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD∵BF=DE∴BC−BF=AD−DE即CF=AE∵BC即AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形又∵EF⊥AC∴四边形AECF为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，作线段垂直平分线，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．29．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE=DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°．∵DF⊥AE，∴∠AGD=①∴②+∠DAE=90°．又∵∠BAE+∠DAE=90°，∴③在△ABE和△DAF中，___∴△ABE≌△DAFASA∴AE=DF．【答案】①90°②∠ADF③∠BAE=∠ADF④∠ABE=∠DAF【分析】根据尺规作图的基本步骤画图，利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质证明△ABE≌△DAFASA【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°．

∵DF⊥AE，∴∠AGD=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°．又∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAFASA∴AE=DF．故答案为：①90°②∠ADF③∠BAE=∠ADF④∠ABE=∠DAF．【点睛】本题考查了尺规作图的基本步骤画图，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．30．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，AD=AC，点E在线段AC上，连接BE，BE的延长线交AD于点F．(1)用尺规完成以下基本作图：在∠BAC内部作∠CAG，使得∠CAG=∠ABE，AG交BE边于点M，交BC于点N，交DC的延长线于点G．(保留作图痕迹)(2)在(1)所作的图中，求证：AF=CG．完成下列填空．证明：∵四边形ABCD是菱形；∴AB=AD=CB=CD，AB∥DC，∵AD=AC；∴△ABC与均为等边三角形；∴AB=，∠D=∠ACD=60°；∴∠BAF==120°；在△AFB与△CGA中，∠BAF=∠ACG∴△AFB≌△CGA(ASA∴．【答案】(1)见解析(2)△ADC；AC；∠ACG；AF=CG【分析】（1）根据题意作∠CAG=∠ABE，AG交BE边于点M，交BC于点N，交DC的延长线于点G；（2）根据菱形的性质，结合条件AD=AC得出△ABC与△ADC均为等边三角形；进而证明△AFB≌△CGA(ASA【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：∵四边形ABCD是菱形；∴AB=AD=CB=CD，AB∥DC，∵AD=AC；∴△ABC与△ADC均为等边三角形；∴AB=AC，∠D=∠ACD=60°；∴∠BAF=∠ACG=120°；在△AFB与△CGA中，∠BAF=∠ACG∴△AFB≌△CGA(ASA∴AF=CG．故答案为：△ADC；AC；∠ACG；AF=CG．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．31．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）在学习矩形的过程中，小靓遇到一个问题：在矩形ABCD中，F是CD边上一点，E是BC边的一点，AE平分∠BAF，AF=AB+CF．求证：BE=CE．她的思路是：连接EF，过点E作AF的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小舰的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作AF的垂线EG，垂足为点G，连接EF（只保留作图痕迹）．∵在矩形ABCD中，∴∠B=∠C=90°．∵EG⊥AF，∴∠AGE=∠FGE=90°，∵AE平分∠BAF．∴BE=GE．∵______，∴Rt△ABE≌∴______∵AF=AB+CF=AG+GF，∴GF=CF．∵EF=EF，∴______（HL）∴______．∵BE=GE，∴BE=CE．【答案】见详解【分析】连接EF，以点E为圆心，EF长为半径画弧，交AF于点M，再以M、F为圆心，大于12【详解】证明：用直尺和圆规，过点E作AF的垂线EG，垂足为点G，连接EF，如图．

∵在矩形ABCD中，∴∠B=∠C=90°．∵EG⊥AF，∴∠AGE=∠FGE=90°，∵AE平分∠BAF．∴BE=GE．∵AE=AE，∴Rt△ABE≌∴AB=AG，∵AF=AB+CF=AG+GF，∴GF=CF．∵EF=EF，∴Rt△EGF≌∴EG=EC．∵BE=GE，∴BE=CE．【点睛】本题主要考查垂线的尺规作图、矩形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂线的尺规作图、矩形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．32．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈跏的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）

∵四边形ABCD是平行四边形，∴①______∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴②______∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴∠AGB=∠FGB=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBGASA∴③______，∵AB=AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④______，BF=BA=EF=AE，∴四边形ABFE是菱形．【答案】作图见解析；①AD∥BC；②∠AEB=∠ABE；③BF=BA【分析】根据题目要求作图即可；证明∠AEB=∠ABE，得出AB=AE，证明△ABG≌△FBGASA，得出BF=BA，证明AF垂直平分BE，得出BF=EF，即可得出BF=BA=EF=AE，说明四边形ABFE【详解】证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴①AD∥∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴②∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴∠AGB=∠FGB=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBGASA∴③BF=BA，∵AB=AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④BF=EF，BF=BA=EF=AE，∴四边形ABFE是菱形．故答案为：①AD∥BC；②∠AEB=∠ABE；③BF=BA；④【点睛】本题主要考查了尺规做垂线，菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定．33．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）如图，BD是矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABD，交AD于点E，AB>BC

(1)尺规作图：作∠BDC的角平分线，交BC于点F(2)根据图形证明四边形BEDF为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB∴∠ABD=①又∵BE平分∠ABD，DF平分∴∠EBD=12∠ABD，∴③∴BE∥DF又∵四边形ABCD是矩形∴BC④AD∴四边形BEDF为平行四边形【答案】(1)见解析(2)①∠BDC，②12∠BDC，③∠EBD=∠FDB【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交BD,CD于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧相交于点P，连接DP并延长，交BC于点F，（2）根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，根据角平平分线的定义得出∠EBD=∠FDB，则BE∥DF，再根据BC∥【详解】（1）解：如图所示：DF即为所求；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠ABD=∠BDC，又∵BE平分∠ABD，DF平分∠∴∠EBD=12∠ABD∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF又∵四边形ABCD是矩形∴BC∥∴四边形BEDF为平行四边形．故答案为：∠BDC，12∠BDC，∠EBD=∠FDB，【点睛】本题主要考查了尺规作图——角平分线，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握矩形对边互相平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．34．（2023·重庆江津·重庆市江津中学校校考二模）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD=CD．

(1)用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并把证明过程补充完整．判断：DE①AC，理由如下：∵AD=CD（已知）∴∠A=②（

③

）又∵DE平分∠BDC（已知）∴∠BDC=2∠CDE（

④

）又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD∴∠CDE=∠ACD（等量代换）∴DE⑤AC（

⑥

）【答案】(1)见解析(2)∥；∠ACD；等边对等角；角平分线的定义；∥；内错角相等，两直线平行【分析】（1）先以点D为圆心，任意长为半径画弧，与DB、DC交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点，交BC与点E，即可得出∠BDC的平分线DE；（2）根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，根据角平分线的定义得出∠BDC=2∠CDE，证明∠CDE=∠ACD，根据平行线的判定得出DE∥【详解】（1）解：DE即为所求作的∠BDC的平分线，如图所示：

（2）解：DE∥∵AD=CD（已知），∴∠A=∠ACD（等边对等角），又∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠CDE（角平分线的定义），又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，∴∠CDE=∠ACD（等量代换），∴DE∥故答案为：∥；∠ACD；等边对等角；角平分线的定义；∥；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了作一个角的平分线，平行线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行．35．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD上的一点，连接BE．

(1)用直尺和圆规，在BC上作一点F，使得∠FDC=∠ABE（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图中，求证：四边形BFDE为平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=①，AB=CD，AD=BC．在△ABE和△CDF，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE=③，BE=DF，∴AD−AE=CB−CF，∴ED=④∴四边形BFDE为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)①∠C②AB=CD③CF④BF【分析】根据基本作图作出两角相等即可．结合平行四边形的性质，证出△ABE≌△CDF，利用三角形全等的性质得出边相等，从而得出结论．【详解】（1）作图如图所示

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC．在△ABE和△CDF，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF(ASA)∴AE=CF，BE=DF，∴AD−AE=CB−CF，∴ED=BF∴四边形BFDE为平行四边形．【点睛】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识并灵活解决综合问题是解题的关键．36．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，已知E是平行四