2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第六单元平面向量及其应用B卷含解析

PAGEPAGE27第六单元平面对量及其应用B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024·全国高考真题）在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．32．（2024·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距3．（2024·全国高考真题（理））2024年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满意，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．4734．（2024·四川德阳市·高三二模）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，，那么（）A．2 B． C．6 D．5．（2024·重庆一中高三模拟）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.依据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公探讨过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发觉勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满意“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A． B． C． D．16．（2024·辽宁高三模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的探讨成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．7．（2024·全国高三模拟）如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2024·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三模拟（理））某气象仪器探讨所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个视察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）A．210米 B．米 C．米 D．420米二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2024·吉林松原市·高三月考）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（）A．若为锐角三角形且，则B．若，则为等腰三角形C．若，则D．若，，，则符合条件的有两个10．（2024·河北唐山市·唐山一中高三模拟）设是已知的平面对量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.11．（2024·江苏南京市·高三一模）设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的值可以为（）A．1 B． C． D．12．（2024·珠海市其次中学高三模拟）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的很多创建性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满意，且的面积，请运用上述公式推断下列命题正确的是（）A．周长为B．三个内角A，C，B满意关系C．外接圆半径为D．中线CD的长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2024·北京高一模拟）如图，正方形的边长为2，与交于点，是的中点，为上随意一点，则______．14．（2024·四川眉山市高三模拟）锐角三角形中，，平分线交于点，则___________.15．（2024·宁夏银川市·高三模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.16．（2024·山东泰安市·高三模拟）在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满意，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2024·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（2024·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；19．（2024·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.20．（2024·福建三明市·高三模拟）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在中，内角，，的对边分别为，，，已知外接圆的半径为2，且___________.（1）求角；（2）若，是的内角平分线，求的长度.注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2024·山西太原市高三二模）如图，为便利市民巡游市民中心旁边的“网红桥”，现打算在河岸一侧建立一个观景台，已知射线，为两边夹角为的马路(长度均超过3千米)，在两条马路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建立两条观光线路，，测得千米，千米.（1）求线段的长度；（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.22．（2024·宝山区·上海交大附中高三模拟）第十届中国花博会于2024年5月21日在崇明举办，其标记建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，，其中米；圆心距米：半径米：椭圆中心与圆心的距离米，、为直线与半圆的交点，.（1）设，计算的值；（2）计算的大小（精确到1°）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024·全国高考真题）在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.2．（2024·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相像可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.3．（2024·全国高考真题（理））2024年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满意，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．4．（2024·四川德阳市·高三二模）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，，那么（）A．2 B． C．6 D．【答案】D【解析】解：由题意可知，，，又，，，，．故选：D．5．（2024·重庆一中高三模拟）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.依据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公探讨过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发觉勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满意“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】解：由题意建立如图所示直角坐标系因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，，，设，因为BE⊥AC，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.6．（2024·辽宁高三模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的探讨成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，所以其康威圆半径为，故面积为．故选:C.7．（2024·全国高三模拟）如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】过作于点H，因为，，所以，，因为是弧上（包括边界点）任一点，所以,又因为，所以，所以当点与点重合时，此时，最小，且最小为，所以，且最大为；当点与点重合时，此时点与点重合，最大，且最大为，所以最小为，所以的取值范围是.故选：B.8．（2024·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三模拟（理））某气象仪器探讨所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个视察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】设，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案为：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2024·吉林松原市·高三月考）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（）A．若为锐角三角形且，则B．若，则为等腰三角形C．若，则D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【解析】对于A，因为若为锐角三角形且，所以，所以，所以，故A正确；对于B，若，则或.若，则为等腰三角形；若，则，则为直角三角形，故B不正确；对于C，由可得，所以结合正弦定理可得，故C正确；对于D，，，，，即，解得，只有一个解，故D不正确，故选：AC.10．（2024·河北唐山市·唐山一中高三模拟）设是已知的平面对量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.【答案】AB【解析】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；对于B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面对量基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确；对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；对于D,设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误.故选：AB.11．（2024·江苏南京市·高三一模）设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的值可以为（）A．1 B． C． D．【答案】ABC【解析】设，由得，所以，由得，，，由于，所以.，所以ABC正确，D错误.故选：ABC12．（2024·珠海市其次中学高三模拟）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的很多创建性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满意，且的面积，请运用上述公式推断下列命题正确的是（）A．周长为B．三个内角A，C，B满意关系C．外接圆半径为D．中线CD的长为【答案】ABD【解析】现有△ABC满意sinA：sinB：sinc＝2：3：，所以a：b：c＝2：3：，设a＝2t，b＝3t，ct，t＞0，利用余弦定理cosC，由于C∈（0，π），所以C．所以A+B，故A+B＝2C，所以△ABC三个内角A，C，B成等差数列，故B正确；利用S△ABC，所以absinC•2t•3t•，解得t＝1．所以：a＝2，b＝3，c，所以△ABC的周长为5，故A正确；利用正弦定理2R，△ABC外接圆半径R为，故C错误；如图所示：利用正弦定理，解得sinA，所以cosA，利用余弦定理：CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cosA＝92×3，解得CD，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2024·北京高一模拟）如图，正方形的边长为2，与交于点，是的中点，为上随意一点，则______．【答案】2【解析】解：正方形的边长为2，与交于点，得：，是的中点，为上随意一点，，．故答案为：14．（2024·四川眉山市高三模拟）锐角三角形中，，平分线交于点，则___________.【答案】【解析】解：因为在锐角三角形中，，所以，所以，解得，由于平分线交于点，所以，即所以，所以由余弦定理得：，所以故答案为：15．（2024·宁夏银川市·高三模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】解析：设点，由，得，所以.因为，所以，即，化简得将代入，得，即，解得.因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.故实数的取值范围是.16．（2024·山东泰安市·高三模拟）在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满意，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________.【答案】【解析】依据费马点的性质有，则，又，故，，即所以，从而有则，则，在中，由余弦定理知，，解得，则，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2024·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）明显，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.18．（2024·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，详细见解析．【解析】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与冲突，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.19．（2024·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证.（2）由题意知：，∴，同理，∵，∴，整理