新人教A版必修一 集合的运算 学案

2019-2020学年新人教A版必修一集合的运算学案

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号G或4表示.

(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN+（或N*）ZQR

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

集合4中所有元素都是集合8中的元

子集4a8（或82A）

素(即若xGA,则xG8)

或

集合4是集合B的子集，且集合B中

真子集AB（或8A）

至少有一个元素不在集合A中

集合A,B中的元素相同或集合A,8

集合相等A=3

互为子集

3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

由属于集合A且属于集合8

交集AQB={x1xCA且xCB）

的所有元素组成的集合

AC\B

由所有属于集合A或属于集

并集AUB={xIxJ或xG8}

合B的元素组成的集合

•A\JB

由全集。中不属于集合4的

补集[uA={x|xeU且x&l}

所有元素组成的集合D

【知识拓展】

1.若有限集合A中有〃个元素，则集合A的子集个数为2：,真子集的个数为2"-1.

2.

3.AA\,pA=0；AU[(；A=D；[(/([i/A)=A.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.(义)

(2){布=¥+1}={yIy=/+1}={(尤，y)ly=f+l}.(X)

⑶若{Pl}={0,1},则x=0,l。(X)

(4){小Wl}={eWl}.(()

(5)对于任意两个集合A,B,关系(4CB)=(AUB)恒成立.(J)

(6)若AnB=AClC,贝ijB=C。(X)

题组二教材改编

2.已知t/={a|0°<a<180°}M={xIx是锐角},B={xIx是钝角}，则[认力UB)=«

答案{xIx是直角}

3.已知集合A={(x,y)Id+y2=i},B={(X,y)Iy=x),则ACB中元素的个数为.

答案2

解析集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆，集合8表示直线〉=心圆f+y2=l

与直线y=x相交于两点错误！，错误！，则AAB中有两个元素.

题组三易错自纠

4.已知集合4={1,3,洞,B={1,-}AUB=A，则m等于()

A.0或错误!B.0或3

C.1或错误!D.1或3或0

答案B

解析A={1,3,错误！},B={1,m],AUB=A,故8UA,所以机=3或胆=错误！，即〃?=

3或机=0或〃7=1,其中机=1不符合题意，所以根=0或机=3,故选B。

5.已知集合A={x\^-2x~3^0},B={x\x〈4},若AQB,则实数a的取值范围是

答案(3,+8)

解析A={xIx2-2x—3W0}={xITWxW3},

"：AQB,B={x|x〈a},Aa)3。

6.若集合4=*611Ia?—3x+2=0}中只有一个元素，则a=.

答案。或

解析若a=0,则4=错误！，符合题意；

若则由题意得/=9—8q=0,解得。=错误!.

综上，a的值为0或*。

题型分类深度剖析

真题典题深度剖析重点难点多维探究

题型一集合的含义一———*自主演练

1.设集合4={T,1,3},B={a+2,/+4},ACB={3},则实数a=。

答案1

解析3G8,又6?+4>4,二a+2=3,二a=1。

经检验，a=l符合题意.

2.若4={2,3,4},B=[x\x^nm,m,加#?:},则集合8中的元素个数是()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析B={x\x=n-m,m,n^A,m^n}={6,8,12).

思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制

条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.

(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常

用于解决集合问题.

题型二集合的基本关系------师生共研

典例(1)设A，B是全集/={1,2,3,4}的子集,A=(1,2],则满足AGB的集合8的个数

是()

A.5B.4C.3D.2

答案B

解析/={1,2,3,4},

.•.满足条件的集合B有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.

(2)已知集合4={X|X2-2019X+2018<0},B={xIx⑷，若则实数a的取值

范围是.

答案[2018,+°0)

解析由小一2019年+2018〈0,解得l<x〈2018,

故A={xI1(x<2018}.

又B={x|x〈a},AUB,如图所示，

—gjA

I2()18aX

可得a22018.

引申探究

本例(2)中，若将集合8改为其他条件不变，则实数a的取值范围是.

答案(—8,1]

解析A={x\\<x<2018},B={xIx^a],AQB,如图所示，可得aWl.

LAQ.

aI2()18x

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则

会造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而

转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练(1)已知集合人={*61?If+x-6=0},B={xGR|ar-l=0},若BUA,则实

数a的值为()

A.错误!或一错误!B.一错误!或错误！

C»错误!或一错误!或0D.一错误!或错误!或0

答案D

解析由题意知，A={2,-3}.

当a=0时，B=0,满足BUA；

当a#0时，ax—1=0的解为犬=错误！，

由BCA,可得错误！=-3或错误！=2,

.'."=一错误!或。=错误！o

综上可知，。的值为一错误!或错误!或0.

(2)已知集合4={x|-2WxW7},B={x\m+\<x<2m-\},若则实数机的取值范围

是.

答案(一8,4]

解析当8=0时，有〃?+122加一1,则机《2；

当BW0时，若BQA,如图，

1j.-.I_►

-27W+12而-17

则错误！解得2VmW4.

综上，，”的取值范围是(-8,4].

多维

题型三集合的基本运算

探究

命题点I集合的运算

典例(1)(2017.全国I)已知集合4={#《1},8={x|3*〈1},则()

A.AC8={4x<0}B.AUB=R

C.AUB={x|x>l}D.AClB=0

答案A

解析,：B={x|3v{1},：.B={XIx<0}.

又4={x\x〈1},：.ADB={xIx<0}4UB={x|x〈1}.

故选Ao

(2)(2018届珠海二中月考)已知集合4={邦？-2o>0},B={XI一错误！<x<5},则()

A.ACB=0B.AUB

C.BRAD.AUB=R

答案D

解析VA={x|x>2或xvO},.\AUB=RO

命题点2利用集合的运算求参数

典例(1)设集合A={x[-1<<2},B={x\x<a},若AC8W0,则”的取值范围是()

A.-l<aW2B.。〉2

C.a2-1D.a>—1

答案D

解析因为ACBW0,所以集合A,B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知〃>一1。

-10al2x

⑵集合A={0,2,a},B={l,a2},若AUB={0,I,2,4,16},则a的值为()

A.0B.1C.2D.4

答案D

解析由题意可得{a,a2}={4,16},；.a=4。

(3)设集合A={0,-4},B={x*+2(a+i)x+a2_i=o,%eR|.若ACB=B,则实数a

的取值范围是.

答案(一8,-1]U{1}

解析因为A={0,-4},所以BUA分以下三种情况：

①当B=A时，B={0,-4},由此可知，0和一4是方程X2+2(a+1)x+a2—1—0的两个

根，由根与系数的关系，得错误!解得a=l;

②当BW0且BA时,8={0}或B={-4},

并且/=4(a+1)2—4(a2—1)=0,

解得。=-1,此时B={0}满足题意；

③当8=0时/=4(a+l)2-4(<72-1)<0,

解得a<-1.

综上所述，所求实数〃的取值范围是(-8,-1]U{1}.

思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是

连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.

(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.

跟踪训练(1)(2017•天津)设集合4={l,2,6},B={2,4},C={xGR|-lWxW5}/iJ(AU8)nC

等于()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,61D.{xWR|-lWxW5}

答案B

解析AUB={1,2,4,6).

又。={xeR|TWxW5},则(AUB)nC={l,2,4},

故选Bo

(2)已知集合A={xIX2-X—12W0},8=32,〃-14<,〃+1},且4口8=8,则实数机的取

值范围为()

A.[-1,2)B.E-1,3]

C.[2,+8)D.[-1,+«>)

答案D

解析由f—x—12W0,得(x+3)(x—4)W0,即一3WxW4,所以A={x|-3WxW4}.又

AAB=B,所以BUA.

①当8=0时，有m+lW2〃?一l,解得机22；

②当8#0时，有错误！

解得一IWm〈2。

综上网的取值范围为[-1,+°°).

题型四集合的新定义问题-------师生共研

典例若集合E={(p,q,r,s)|0Wp(sW4,0Wg(sW4,0Wr<sW4且p,q,r,.v£N},F={(6

u,v,w)|0Wf<“W4,OWo〈ivW4且f,小v,sGN},用card(X)表示集合X中的元素个

数，则card(E)+cardS)等于()

A.200B.150C.100D.50

答案A

解析在集合E中，当s=l时，p=q=r=O,此时只有1个元素；当s=2时，p,q,rG{0,1},

此时有2X2X2=8(个)元素；当s=3时，p,q,{0,1,2),此时有3X3X3=27(个)元

素；当s=4时，p,{0,1,2,3},此时有4X4X4=64(个)元素，故card(E)=1

+8+27+64=100。

在集合产中,Q,«)的取值可能是(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,3),(2,4),(3,4),共10种可能.同理，(。，助也有10种可能，故card(F)=10X10

=100,/.card(E)+card(F)=200。

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义

的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合

的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.

跟踪训练定义一种新的集合运算△4△B={xIxdA,且依2}.若集合4={x|f—4x+3〈0},3

={x|2WxW4},则按运算4,B4A等于()

A.{x|3〈x<4}B.{xI3WxW4}

C.{x\3<x<4}D.{xI2WxW4}

答案B

解析A={xI1〈x<3},B={xI2WxW4},由题意知，B△A={x\xB,且大布4}={xI

3WxW4}.

课时作业

%基础保分练

1.己知集合4={1,2,3},8={2,3},则()

A.A=BB.AC5=0

C.ABD.BA

答案D

2.(2017•浙江)已知集合尸={xI-1cxVI},Q={xlO〈xV2},则PUQ等于()

A.(-1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(1,2)

答案A

解析：P={xI—Q={xI0Vx<2},

：.PUQ={x|-l<x<2}.

故选A.

3.(2016•四川)设集合A={x|-2WxW2},Z为整数集，则集合4rlz中元素的个数是()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析由题意可知,ACZ={-2,-1,0,1,2},则ACZ中的元素的个数为5。故选C。

4.(2017•吉林大学附中模拟)若集合A={%eNI5+4^-X2>0},8={XIX〈3},则AHB

等于()

A.0B.{1,2}

C.[0,3)D.(0,1,2}

答案D

解析由A中不等式变形，得(x—5)(x+1)<0,xGN,解得一1〈x<5,xGN,即4={0,1,

2,3,4},

：8={x|x<3},...AriBTO,1,2).

5.(2017・潍坊调研)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x£RIx^2],则图中

阴影部分所表示的集合为。

A.{0,1}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1,2)

答案B

解析因为APB={2,3,4,5},而图中阴影部分为集合A去掉AAB部分，所以阴影部分所

表示的集合为{1}.

6.己知集合扬={1,2,3,4},则集合P={xI且2式M}的子集的个数为()

A.8B.4

C.3D.2

答案B

解析由题意得尸={3,4},.•.集合尸有4个子集.

7.(2017•全国H)设集合A={1,2,4},B={xIx2-4x+m=0}.若ACB={1}，则8等于

0

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{115}

答案C

解析：AnB={l},二1@8。

I—4+机=0,即772=3.

：.B={xIW—4X+3=0}={1,3}.故选C.

8.已知集合4={x|-la<0},B={x|xWa},若4=8,则。的取值范围为()

A.(—8,o]B.[0,+°°)

C.(一8,0)D.(0,+8)

答案B

解析用数轴表示集合A,8(如图)，

由AQ8,得“20。

9.已知集合P={xIf—2x20},Q={xIl<x<2},则([RP)AQ=.

答案(1,2)

解析I•尸={小22或xWO},}P={xI0VxV2},

•'•(CRP)CQ={X|1<X<2}.

10.若{3,4,m2—3m—1}Cl{2m,-3}={-3},则机=.

答案1

解析由集合中元素的互异性，

可得错误！

所以m=\.

11.(2017•衡水模拟)若集合A={yIy=lgx},B={x|y=错误！}，则集合APB=.

答案[0,+8)

解析集合A={yIy=lgx}={y|yCR}=R,

B={x\y=y[x}={xIx20},

则集合4nB={x|x20}=[0,+«>).

12.已知集合4={xIy=lg(x—x2)},B={xIf—ex<0,c)0},若A=B,则实数c的

取值范围是.

答案[1,+8)

解析由题意知，A—(xIy=lg(x—x2)}=(xIx—x2)0}=(0,1),B—{xIx2—cx<O,c)

0}=(0,c).由AUB,画出数轴，如图所示，得c》l。

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土技