4.1 数列（八大题型）（原卷版）

4．1数列课程标准学习目标能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识．1、理解数列的有关概念与数列的表示方法．2、掌握数列的分类，了解数列的单调性．3、理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项，并结合数列的函数特征画出数列的图象．知识点01数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．知识点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项．知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的．数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项．知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项．【即学即练1】（2023·福建漳州·高二校考阶段练习）已知，则数列是（

）A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不确定知识点02数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．【即学即练2】（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④知识点03数列的通项公式与前n项和数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．知识点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是．（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．数列的前n项和数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；与的关系当时；当时，故．【即学即练3】（2023·甘肃临夏·高二校考期末）已知数列的前n项和公式为，求的通项公式．知识点04数列的表示方法通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．12…………图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：，1，5，9，13，…，可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用递推公式：，，表示．【即学即练4】（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式是，.(1)写出数列的前项；(2)判断是否为数列中的项，是否为数列中的项．知识点05数列与函数（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上．数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式．数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式．【即学即练5】（2023·高二课时练习）在数列中，，则数列的最大项是.【方法技巧与总结】1、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ．当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．2、求数列最大（小）项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定．题型一：数列的有关概念和分类例1．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．数列是递增数列B．数列的一个通项公式为C．数列是常数列D．数列与数列是相同的数列例2．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式例3．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．数列与是相同的B．数列可以表示为C．数列与是相同的数列D．数列的第项为．（2023·高二课时练习）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式1．（2023·高二课时练习）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（

）A．此数列不能用图像表示B．此数列的图像仅在第一象限C．此数列的图像为直线D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点【方法技巧与总结】（1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．（2）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外．题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式例4．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．例5．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．例6．（2023·福建漳州·高二校考期中）下列不能作为数列，，，，的通项公式的是（

）A． B．C． D．变式2．（2023·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）数列的一个通项公式可以是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·江西·高二统考期末）已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（

）A． B． C． D．变式4．（2023·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知数列，则该数列的第2024项为（

）A． B．C． D．变式5．（多选题）（2023·高二单元测试）数列的通项公式可以是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】根据数列的前几项求通项公式的解题思路（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等．（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．题型三：数列通项公式的简单应用例7．（2023·全国·高二随堂练习）观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：(1)2，4，______，8，10，12；(2)2，4，______，16，32，______，128，______；(3)______，4，3，2，1，______，，______；(4)______，4，9，16，25，______，49.例8．（2023·全国·高二随堂练习）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．(1)求的通项公式；(2)88是否是数列中的项？例9．（2023·全国·高二随堂练习）一列火车从A城驶往B城，铁路上设有10个车站（包括起点站A和终点站B）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第n站出发时，邮政车厢内的邮袋数为，，写出的前4项．变式6．（2023·全国·高二随堂练习）已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．变式7．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知数列.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；(3)该数列从第几项开始各项都是正数？【方法技巧与总结】（1）利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．（2）判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．题型四：递推公式的应用例10．（2023·全国·高二随堂练习）在数列中，试写出这个数列的前项．例11．（2023·高二校考课时练习）已知数列的通项公式为．(1)求；(2)判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由．例12．（2023·全国·高二随堂练习）写出下列数列的前5项：(1)，；(2)，；(3)，．变式8．（2023·全国·高二课堂例题）试分别根据下列条件，写出数列的前5项：(1)，，，其中；(2)，，其中．变式9．（2023·高二课时练习）已知数列满足，其中为正整数．(1)写出数列的前五项；(2)求通项公式．变式10．（2023·全国·高二课堂例题）2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．

变式11．（2023·高二单元测试）已知数列满足，则.变式12．（2023·全国·高二专题练习）数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式.变式13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为．【方法技巧与总结】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项．题型五：前项和公式与通项的关系例13．（2023·甘肃临夏·高二临夏中学校考期中）已知数列的前n项和为.(1)求，；(2)求这个数列的通项公式.例14．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和.求数列的通项公式；例15．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为．求的通项公式.变式14．（2023·上海金山·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和.(1)求的值；(2)求的通项公式.变式15．（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，，.(1)写出，，的值；(2)求数列的通项公式．【方法技巧与总结】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式．题型六：数列单调性的判断例16．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例17．（2023·高二课时练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例18．（2023·北京怀柔·高二统考期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式16．（2023·河北邢台·高二统考期末）数列单调递减，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式17．（2023·高二课时练习）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式18．（2023·福建福州·高二福州三中校考期中）已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．变式19．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，若对于，数列为递增数列，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．变式20．（2023·江西抚州·高二黎川县第二中学校考期中）已知数列为单调递增数列，且，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．变式21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（

）A．是无穷数列 B．是递增数列C．不是常数列 D．中有最大项变式22．（2023·高二校考课时练习）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】1、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ．当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．题型七：求数列的最大项与最小项例19．（2023·福建宁德·高二统考期中）在数列中，，则数列的最大项是第项．例20．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，则数列中的最大项是第项．例21．（2023·辽宁大连·高二统考期末）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，数列满足，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是．变式23．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为．变式24．（2023·广东佛山·高二佛山市第四中学校考阶段练习）已知，则数列的最大值为.变式25．（2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列通项公式为，则该数列前n项和取最小值时的n为．变式26．（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校联考期末）已知数列的前项和为，则当最小时，的值为.变式27．（2023·高二校考课时练习）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是．变式28．（2023·河北唐山·高二唐山一中校考期末）已知数列的通项公式为，数列的前项积为，取最大值时的值为．【方法技巧与总结】可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项．题型八：周期数列例22．（2023·上海静安·高二校考阶段练习）已知数列满足若，则.例23．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）在数列中，，，，则．例24．（2023·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）已知数列满足，，则.变式29．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知数列满足，若，则．变式30．（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知数列满足，且，则.变式31．（2023·浙江台州·高二校联考期末）数列满足，，若，则．变式32．（2023·湖北荆门·高二统考期末）已知数列满足，且，为数列的前项和，则．变式33．（2023·山东潍坊·高二统考期末）已知数列满足，，则.【方法技巧与总结】列举法一、单选题1．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列C．数列的第k项为D．数列0，2，4，6，可记为2．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）在数列中，，，，则的值为（

）A．30 B．31 C．32 D．333．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）数列{an}：1，，，，…，的一个通项公式是（

）A． B．C． D．4．（2023·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）数列，3，，15，的一个通项公式可以是（

）A． B．C． D．5．（2023·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设数列中，，（且），则（

）A．-1 B． C．2 D．7．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知在数列中，，，则数列的周期为

（

）A．3 B．6 C．9 D．158．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）已知为数列的前n项和，若，且，则（

）A． B．是周期数列且周期为4C． D．10．（2023·甘肃临夏·高二校考期末）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（

）A．2