2.2 基本不等式-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第二章一元二次函数、方程和不等式课时2.2基本不等式1.掌握基本不等式ab≤a+2.掌握基本不等式及其变形的应用,能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.基础过关练题组一对基本不等式的理解1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.b2.不等式(x-2y)+1x-2A.x≥2y B.x>2yC.x≤2y D.x<2y3.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是()A.x+1≥2x B.x2+1>2xC.1x2+1≤1 4.“a,b为正数”是“a+b>2ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件题组二利用基本不等式比较大小5.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是()A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|6.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是()A.12 B.a2+bC.2ab D.a7.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是()A.b>a+b2>a>ab B.b>abC.b>a+b2>ab>a D.b>a>8.若a>b>c,则a-c2与(题组三利用基本不等式求最值9.已知函数y=x+4x-1A.42 B.42+1C.5 D.910.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为()A.9 B.8 C.6 D.311.对任意正数x,不等式ax≤x2+1恒成立,则实数a的最大值为()A.1 B.2 C.2 D.212.若a,b都是正数,则1+baA.5 B.7 C.9 D.1313.若正数x,y满足x+y=1,则4x+1+1A.447 B.275 C.143 14.设0<x<2,则函数y=3x(8-3x题组四利用基本不等式证明不等式15.设x>0,求证:x+22x+116.已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.求证:bca+acb+17.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:1x18.已知a,b,c为不全相等的正数,且abc=1.求证:a+b+c<1a+1b+题组五利用基本不等式解决实际问题19.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是()A.4.6m B.4.8m C.5m D.5.2m20.为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()A.20m B.50mC.1010m D.100m21.某公司租地建仓库,每月租地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.若在距离车站10km处建仓库,则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元.那么要使每月的两项费用之和最小,仓库应建在离车站处.

22.某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是()A.14 B.4C.18 2.设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则2a+3bA.256 B.8C.113 3.(多选)若正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab有最大值1B.a+b有最小值2C.1a+1D.a2+b2有最小值24.设正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a=,b=5.设正数a,b,c满足a+b≥c,则ba+ab+6.已知a>0,b>0,且a+b=8,则3aba+47.已知x>y>0,求x2+4y题组二利用基本不等式证明不等式8.已知a,b为正数,求证:1a+4b≥9.若a>b,且ab=2,求证:a210.已知a,b,c均为正数,求证:2b+3c-a11.(1)已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+b2(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:a2x+b2题组三基本不等式在实际问题中的应用12.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为()A.ab≤a+B.a+b2C.2aba+D.2aba+b<13.一批货物随17列火车从A市均以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,每两列火车的间距不得小于v202千米(火车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到B市,最快需要14.物联网(InternetofThings,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?深度解析15.2020年1月,在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中,武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.问:(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?(2)为使S达到最大,且实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长?

答案全解全析基础过关练1.D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴ba>0,ab>0,∴ba+a2.B因为不等式成立的前提条件是x-2y和1x3.C对于A,当x≤0时,无意义,故A不成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于C,x2+1≥1,所以1x4.D若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2ab,则“a,b为正数”不是“a+b>2ab”的充分条件;若a+b>2ab,取a=1,b=0,则b不是正数,则“a,b为正数”不是“a+b>2ab”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2ab”的既不充分也不必要条件,故选D.5.A∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).6.B解法一:因为0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<12.又因为a2+b2≥2ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2ab,所以ab<14,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-12=即a2+b2>12解法二:特值检验法:取a=13,b=23,则2ab=49,a2+b2=59.因为59>12>497.C∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>a+b2∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.故b>a+b28.答案a-c解析因为a>b>c,所以a-c2=(9.C因为x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x当且仅当x-1=4x10.C∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx11.C∵x>0,ax≤x2+1,∴a≤x2+1x又∵x+1x≥2x·1x=2当且仅当x=112.C因为a,b都是正数,所以1+ba1+4ab=5+13.D∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,∴4x+1+1y=x+1+y2·4x+1+1y=12·1+4+4y14.答案4解析∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,∴y=3x(8-3x)≤当且仅当3x=8-3x,即x=43∴当x=43时,y=315.证明因为x>0,所以x+12所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x当且仅当x+12=1x+12,即x=116.证明∵a>0,b>0,c>0,∴bca+acb≥2acb+abc≥2bca+abc≥2当且仅当a=b=c时上式等号均成立,又a,b,c不全相等,故上述等号至少有一个不成立.∴bca+acb+17.证明因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,所以1x-1=1−xx=y1y-1=1−yy=x1z-1=1−zz=x由①×②×③,得1x18.证明因为a,b,c都是正数,且abc=1,所以1a+1b≥21ab1b+1c≥21bc1a+1c≥21ac三个不等式左、右两边分别相加,得21a+1b+1c当且仅当a=b=c时,等号成立.又因为a,b,c不全相等,所以a+b+c<1a+1b+19.C设直角三角形两直角边长分别为xm,ym,则12周长l=x+y+x2+y2≥2xy+当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.20.B设BC=xm,则CD=1000x所以S矩形A=1040+4x+10000≥1040+24x当且仅当4x=10000x所以当x=50时,整个项目占地面积最小.故选B.21.答案5km解析设仓库建在离车站xkm处,每月租地费用y1=k1x(k1≠0),每月运输费用y2=k2x(k2≠0).把x=10,y1=2代入y1=k1x,得k1=20;把x=10,y2=8代入y2=k2x,得k故每月两项费用之和y=20x+45x≥220x·422.解析设楼房每平方米的平均综合费用为y元.依题意得y=s+8000×100004000x=50x+20000x因为50x+20000x≥2×50x当且仅当50x=20000x所以当x=20时,y取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.能力提升练1.C由题意得,xy=12×2xy≤12×2x+y22当且仅当x=14,y=12时等号成立,所以xy的最大值是2.A∵2a+3b=6,∴a3+b∴2a+3b=2a+3ba3+b2=136+当且仅当ba=ab,即a=b=65时,等号成立,所以2a+3.AC∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14当且仅当a=b=12时,等号成立,∴ab有最大值14∵(a+b)2=a+b+2ab≤a+b+2·a+b2=2当且仅当a=b=12∴a+b≤2,即a+b有最大值2,∴B错误;∵1a+1b=a+bab=1ab≥1a+b22∵a2+b2≥2ab当且仅当a=b=12时,等号成立,2ab≤12,∴a2+b2的最小值不是224.答案1;1解析a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)所以a=1,b=125.答案2-1解析∵a,b,c是正数,且满足a+b≥c,∴a+2b≥b+c,∴ba+ab+c≥ba+=122ba+1+11+2当且仅当a+b=c且b=2-1故答案为2-126.答案8解析∵a>0,b>0,且a+b=8,(a+b)·4a+1b=5+4b当且仅当4ba=ab,即a=2b时,等号成立,所以4a+1b的最小值为98,所以3aba+4b=3a7.解析因为x>y>0,所以x-y>0,所以0<y(x-y)≤y+(x-所以x2+4y(x-y)≥x当且仅当y=x-故x2+4y8.证明因为a>0,b>0,所以(2a+b)1a+4b=6+ba+8ab≥6+2ba·因为2a+b>0,所以1a+4b≥9.证明a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-所以a210.证明∵a,b,c均为正数,∴2ba+3ca+3c2b以上三式相加,得2ba+a2b+3c∴2ba+a2b-1+3c即2b+3c-a11.证明(1)∵a+b2≤a2+b2同理,b2+c2≥22三式相加得a2+b2+b2+c2+=2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).(2)∵0<x<1,∴1-x>0.又∵a>0,b>0,∴左边=(x+1-x)a2x+b21−x=a2+b2+x1−x·b2+1−xx·a2≥a2+b2+2x1−x·b2·1−xx·故a2x+b212.D由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=a+易得DC=A