2.3.1 平均值不等式及其应用“四基”测试题-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验【建议用时：40分钟】《第2章等式与不等式》【2.3.1平均值不等式及其应用】一、选择题（每小题6分，共12分）1、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．2、设，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．二、填充题（每小题10分，共60分）3、如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是_4、设x>0，则3－3x－eq\f(1,x)的最大值是5、有下面四个不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有个；6、某商场中秋前30天月饼销售总量与时间的关系大致满足，则该商场前t天平均售出[如前天的平均售出为]的月饼最少为7、已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是8、若实数满足，则的最大值是三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知常数，和变量，满足，，的最小值为，求：10、在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/．设矩形的长为．（1）设总造价（元）表示为长度的函数；（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．【附录】相关考点考点一算术平均值几何平均值对于两个正数a，b，数eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq\r(ab)称为a，b的几何平均值；考点二平均值不等式如果a，b都是正数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立；考点三定理对于任意实数a，b，有，当且仅当a＝b时，等号成立；【教师版】《第2章等式与不等式》【2.3.1平均值不等式及其应用】一、选择题（每小题6分，共12分）1、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．【提示】注意；数形结合地理解；由图形可知：，在直角中，由射影定理可求，结合即可得出结论．【答案】A【解析】取圆心为O点，连接OF由图形可知：，在直角中，根据射影定理可得：，所以因为，，所以，，，所以，；故选：A；【考点】平均值不等式；本题既给出了平均值不等式的几何证法，又呈现了一种新题型：无字证明题；2、设，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【提示】依据不等式性质进行恒等变形或利用基本不等式比较大小即可；【答案】B；【解析】因为，，所以，，又，所以，；故选：B；【考点】平均值不等式；本题考查利用基本不等式比较大小，注意（1）各项必须为正数；（2）各项相等时才有等号；（3）时，；即两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，大于等于它们的调和平均数；当然，结合本题是“选择题”的特点，也可以取“特殊值”比较。二、填充题（每小题10分，共60分）3、如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是_【答案】4；【解析】因为a>0，所以a＋eq\f(1,a)＋2≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时等号成立；【考点】平均值不等式；平均值不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；4、设x>0，则3－3x－eq\f(1,x)的最大值是【提示】注意：平均值不等式的前提、条件、应用；【答案】3－2eq\r(3)【解析】因为，x>0，∴3x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x))＝2eq\r(3)，当且仅当x＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立，所以，－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq\r(3)，则3－3x－eq\f(1,x)≤3－2eq\r(3)；【考点】平均值不等式；本题是平均值不等式求最值与不等式性质的交汇；5、有下面四个不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有个；【提示】注意：平均值不等式的前提、条件、应用，会根据需要变形；【答案】2【解析】①因为，所以成立，所以①正确．②因为，所以②正确；③当a，b同号时有，当a，b异号时，，所以③错误；④ab＜0时，不成立；其中恒成立的个数是2个；【考点】平均值不等式与定理；本题是平均值不等式与定理的理解、恒等变形与应用的交汇；6、某商场中秋前30天月饼销售总量与时间的关系大致满足，则该商场前t天平均售出[如前天的平均售出为]的月饼最少为【答案】；【解析】平均销售量，当且仅当，即时等号成立，即平均销售量的最小值为；【考点】平均值不等式的应用；本题是平均值不等式求最值时保证等号成立；7、已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是【提示】注意：利用平均值不等式求最值的解题步骤；【答案】；【解析】因为，，，所以．因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即．【考点】平均值不等式的应用；本题是平均值不等式与解不等式的交汇；8、若实数满足，则的最大值是【提示】注意：依据不等式性质进行“适当”变形；【答案】；【解析】，，，解得，，的最大值是．【考点】平均值不等式与定理；本题是平均值不等式与定理的综合应用，最值得注意保证等号成立；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知常数，和变量，满足，，的最小值为，求：，的值．【答案】，或，．【解析】∵，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为；又，∴，解得，或，；【考点】平均值不等式；平均值不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值；若（常数），当且仅当时，有最大值；10、在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/．设矩形的长为．（1）设总造价（元）表示为长度的函数；（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1），；（2）当时，总造价最低为元．【解析】（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，则中间区域的长为，宽为，则定义域为，则，整理得，．（2），当且仅当时取等号，即，所以当时，总造价最低为元．【考点】平均值不等式与一元二次函数；本题的求解：首先得正确建模，明确实际问题对变量的限制；其次得通过恒等变形构建与平均值不等式的联系；结合不等式性质求解后，根据实际问题的要求给与回答或给出解决问题的方案。【附