1.2 子集、全集、补集-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

1.2子集、全集、补集【考点梳理】考点一子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B考点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．考点三：全集与补集考点三：．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.考点四：．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，则的真子集共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．7个2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（）A．4 B．7 C．8 D．153．（2021·陕西宝鸡·高一期中）集合的非空真子集的个数为（

）A．31 B．30 C．15 D．14题型二：根据集合包含关系求参数4．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数a=（

）A． B．1 C．0或 D．0或15．（2022·江苏·高一）设，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2021·全国·高一单元测试）若集合，，且，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三：根据集合相等关系求参数7．（2021·浙江省杭州第二中学高一期中）已知，若A=B，则a=（

）A．1 B．0 C．1或0 D．1或8．（2021·福建·福州黎明中学高一期中）已知，，若集合，则的值为（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·高一）已知a，b为实数，集合，集合，若，则实数的值是（

）A． B．0 C． D．1题型四：与空集有的集合问题10．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）下列六个写法：①；②；③；④Ø；⑤Ø；⑥Ø⫋{0}，其中错误写法的个数为（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个11．（2020·安徽·蚌埠二中高一阶段练习）若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（

）A．或 B． C． D．12．（2021·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．是空集B．不是空集C．集合与是同一个集合D．集合中元素的个数是有限的题型五：根据补集运算求集合13．（2022·全国·高一课时练习）已知全集，则（

）A． B．C． D．14．（2022·全国·高一专题练习）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．15．（2022·江苏·高一单元测试）已知，，则图中阴影表示的集合是（

）A． B．或 C． D．题型六：根据补集运算求参数问题16．（2022·全国·高一）设全集，集合，，则实数的值为（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或217．（2020·辽宁·阜新市第二高级中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则a的所有可能值形成的集合为（

）A． B． C． D．18．（2021·全国·高一课时练习）设集合，，若，则实数的值为A． B． C． D．题型七：子集、真子集和补集的综合性问题19．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.20．（2022·全国·高一专题练习）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求满足AB的实数的取值范围.21．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一阶段练习）已知的定义域为集合A，集合B=.（1）求集合A；（2）若AB,求实数的取值范围.【双基达标】一、单选题22．（2022·河南省叶县高级中学高一）已知，，则的非空子集的个数为（

）.A．6 B．7 C．8 D．923．（2022·全国·高一）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C． D．24．（2022·上海·高一）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±125．（2022·全国·高一）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．26．（2022·全国·高一）已知(1)若求实数a的取值范围(2)若，求实数的取值范围【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高一专题练习）已知集合则的关系为（

）A． B． C． D．28．（2022·全国·高一课时练习）设集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B的子集的个数是（

）A．3 B．4 C．8 D．1630．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（

）A． B． C． D．31．（2021·河南南阳·高一阶段练习）若集合，，则、、的关系是（

）A． B． C． D．32．（2021·全国·高一课时练习）若，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．33．（2022·江苏·高一单元测试）给出下列四个命题：①设集合，则；

②空集是任何集合的子集；③集合，表示同一集合；④集合，集合，则P=Q其中不正确的命题是（

）A．①② B．②④ C．①③ D．③④二、多选题34．（2021·福建·泉州现代中学高一期中）设集合，集合，若，则可能是（

）A． B． C． D．35．（2022·全国·高一）下列选项中的两个集合相等的是（

）A．，B．，C．，D．，36．（2021·全国·高一）已知集合，，下列命题正确的是（

）A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得C．当时， D．存在实数a使得37．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，下列说法正确的是（

）A．不存在实数使得 B．当时，C．当时， D．存在实数使得38．（2021·全国·高一专题练习）下列说法中不正确的是（

）A．集合为无限集B．方程的解构成的集合的所有子集共四个C．D．39．（2021·新疆·吐鲁番市高昌区第二中学高一期中）若集合，，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．三、填空题40．（2022·全国·高一）已知全集，集合，则________41．（2022·浙江·台州市书生中学高一）设集合，则集合的子集个数为___________.42．（2022·湖南·株洲二中高一）已知集合，若，则实数___________.43．（2022·全国·高一）已知集合，，若，则实数m的取值范围为______．44．（2022·全国·高一）已知集合，，且，则实数a的值为___________.四、解答题45．（2022·全国·高一课时练习）设集合，．(1)若，求实数m的取值范围；(2)当集合A中的时，求集合A的非空真子集的个数；(3)若，且不存在元素x，使得与同时成立，求实数m的取值范围．46．（2022·全国·高一）已知集合．(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；(2)若，且，求实数的取值集合．47．（2022·江苏·高一）已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围．48．（2021·湖南·长沙市明德中学高一期中）已知集合，，若，求实数的取值范围.49．（2021·河南·范县第一中学高一阶段练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.设，则满足条件的所有组成的集合为，集合.(1)求集合；(2)若、两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数的值.【答案详解】1．C【分析】求出集合可得集合的真子集.【详解】集合，所以集合的真子集有.故选：C.2．B【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】解：由题知，,所以满足的集合有，故集合C的个数为7个.故选：B3．D【分析】根据集合的定义，结合自然数集与真子集的定义求解即可.【详解】由题意得集合，则该集合的非空真子集个数为个.故选：D4．C【分析】分与两种情况讨论，根据，即可得到方程，解得即可；【详解】解：当时，，满足；当时，，所以，解得，综上实数的所有可能取值的集合为．故选：C．5．B【分析】根据集合的包含关系，列不等关系，解不等式即可.【详解】由题：，，则.故选：B6．D【分析】根据题意分和两种情况求解.【详解】若，即时，，满足，若，则，因为，所以，解得，所以，综上，a的取值范围是.故选：D.7．B【分析】根据集合相等及集合元素的互异性进行求解.【详解】因为，所以，解得.故选：B.8．B【分析】先利用集合相等列式，解得a，b，再验证集合元素的互异性，代入计算即得结果.【详解】因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，即.故选：B.9．C【分析】根据集合相等得到方程组，求出的值，即可得解；【详解】解：因为集合，集合，且，所以，所以，，所以.故选：C.10．B【分析】根据集合与集合、集合与元素及空集的性质判断各项的正误，即可确定错误写法的个数.【详解】①两个集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②0.3是有理数，即，故错误；③所含元素相同，正确；④空集没有任何元素，故错误；⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误；⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确.故错误的有①②④⑤.故选：B.11．C【解析】集合是空集的时候满足题意，求无解时的取值范围即可.【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集，当时，，满足条件；当时，有，即，集合是空集，满足条件，综上所述，集合的子集只有一个时，，故选：C.【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质.12．C【分析】对A：由是以0为元素的集合即可判断；对B：由方程无解即可判断；对C：由集合A与集合B都是大于或等于0的所有实数构成的集合即可判断；对D：由，0.1，0.01，…时，即可判断.【详解】解：对A：∵是以0为元素的集合，∴不是空集，故选项A错误；对B：∵，∴方程无解，集合是空集，故选项B错误；对C：∵集合A与集合B都是大于或等于0的所有实数构成的集合，∴，故选项C正确；对D：∵当，0.1，0.01，…时，，∴集合中的元素有无限个，故选项D错误.故选：C.13．C【分析】根据补集运算的概念，即可得答案.【详解】由题意得.故选：C14．D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：或，即，故选：D．15．D【分析】结合图像以及补集的知识求得正确答案.【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是，所以.故选：D16．A【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.【详解】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0.故选：A17．A【解析】由，可得，即，当时，不符合元素的互异性，时，符合题意.【详解】由，即，则，解得，若，则，而，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，则，，，符合题意.所以a的所有可能值形成的集合为.故选：A.【点睛】本题考查补集的性质，注意，属于基础题.18．B【详解】试题分析：因为集合，，且，所以1,4是方程的根，所以p=1×4=4，故选B．考点：本题主要考查集合的运算．点评：简单题，直接按补集的定义及韦达定理建立p的方程．19．(1)(2)【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．（1）若，则关于x的方程没有实数解，则，且，所以，实数m的取值范围是；（2）若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：当时，，满足题意；当时，，所以．综上所述，m的取值范围为．20．【分析】根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】由题意，集合，因为，若，则，解得，符合题意；若，则，解得，所求实数的取值范围为.21．（1）;（2）.【分析】（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于，分式的分母不为；（2）由，分别考虑与区间左端点的大小关系、与区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小.【详解】（1）由已知得

即∴（2）∵∴

解得∴的取值范围.【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；（2）两个集合满足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）.22．B【分析】先求出补集，再根据元素个数求子集数.【详解】根据题意可得，则非空子集有个．故选：B．23．C【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案.【详解】因为，所以或，解得或或，又集合中的元素需满足互异性，所以，则．故选：C.24．D【分析】对进行分类讨论，结合求得的值.【详解】解：A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B⊆A；当a≠0时，B=，因为B⊆A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D25．【分析】根据集合相等的定义和集合的定义求解．【详解】由，可得，（否则不满足集合中元素的互异性）．所以，或解得或．经检验，满足题意．所以．26．(1)；(2).【分析】（1）由题可得，即得；（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．（1）∵，∴，即，∴实数a的取值范围为；（2）∵，，∴，解得，故实数的取值范围为.27．C【分析】由，即可判断集合的关系.【详解】解：因为，，所以.故选：C．28．D【分析】直接由求解即可.【详解】由可得.故选：D.29．C【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意，所以集合B的子集的个数为，故选：C.30．D【分析】集合，根据，分和两种情况讨论即可得答案.【详解】解：集合，，当，即时，显然满足条件；当时，，因为，所以或，即或，解得或；综上，实数的取值组成的集合是.故选：D.31．A【分析】分析出集合、为奇数集，可得出，再讨论集合、的包含关系，即可得解.【详解】由已知可知，集合、为奇数集，则，，故.故选：A.32．C【分析】根据题意得出或，求解即可.【详解】因为，所以或，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，综上，，则.故选：C.33．C【分析】根据集合间的关系、空集的性质及相等集合的概念判断各项的正误.【详解】①应为，错误；②根据空集的性质，空集是任何集合的子集，正确；③或，，显然不是同一集合，错误；④由题设，、中所含元素一样，即P=Q，正确；故选：C34．ACD【分析】根据子集的概念以及一元二次方程的解法即可解出．【详解】当时，，符合；当时，，不符合；当时，，符合；当时，，符合．故选：ACD．35．AC【分析】对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断；对于B：取特殊值1，由，而，即可判断；对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断.【详解】对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；对于B，，而，所以；故B错误；对于C，，，所以；故C正确；对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．故选：AC．36．AD【分析】A.由相等集合判断；B.由求解判断；C.由，得到判断；D.由求解判断.，【详解】A.由相等集合的概念可得，即，得此方程组无解，故不存在实数使得集合A=B，因此A正确；B.若，则，即，此不等式组无解，因此B错误；C.当时，得为空集，不满足，因此C错误；D.若，则，解得，若，则，无解，综上：，故D正确.故选：AD.37．AD【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定.【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.选项B：当时，，不满足，故选项B错误.若，则①当时，有，；②当时，有此方程组无实数解；所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.故选：AD.38．ACD【分析】根据题设条件利用集合元素的特点、子集的意义逐一判断即可得解.【详解】集合，不是无限集，A不正确；方程的解构成的集合为，所有子集为，，，，共四个，B正确；因是点集，是数集，则它们不相等，C不正确；因，，于是得，D不正确.故选：ACD39．ABC【分析】根据子集的定义求解，注意空集是任何集合的子集．【详解】，，当时，，，可取，当时，，令，，可取，令，，可取，综上、或，故选：ABC.40．【分析】根据补集的含义即可求解.【详解】因为全集，集合，所以.故答案为：.41．【分析】首先求出集合，即可判断其元素个数，从而求出其子集个数.【详解】解：因为，所以或或或，解得或或或，即，集合中含有个元素，故其子集有个；故答案为：42．或3##3或-2【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.【详解】，∴或，解得或或，将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，故或3.故答案为：或3.43．【分析】根据题意分和两种情况求解即可.【详解】由题意，得，．①当，即，即时，