2024年广东省广州市中学大附中数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共3页2024年广东省广州市中学大附中数学九年级第一学期开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，得到，则与正方形的面积比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2、（4分）下列四个选项中，不符合直线y＝3x﹣2的性质的选项是（）A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大C．与x轴交于（﹣2，0） D．与y轴交于（0，﹣2）3、（4分）如图，OA＝，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A． B． C． D．4、（4分）如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（）.A． B． C． D．5、（4分）一条直线y=kx+b，其中k+b＜0，kb＞0，那么该直线经过()A．第二、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、三象限 D．第二、三、四象限6、（4分）如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．67、（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK＋KQ的最小值为（）A． B． C．2 D．8、（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）新学期，某校欲招聘数学教师一名，对两名候选老师进行了两项基本素质的测试，他们的测试成绩如表所示.根据教学能力的实际需要，学校将笔试、面试的得分按2：3的比例计算两人的总成绩，那么__________（填“李老师”或“王老师”）将被录用.测试项目测试成绩李老师王老师笔试9095面试858010、（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题（1）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是矩形．（2）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是菱形．（3）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是正方形．11、（4分）化简：__________.12、（4分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．13、（4分）计算的结果等于_______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点.轴于点，轴于点.一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，.（1）求点的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？15、（8分）用公式法解下列方程：

(1)2x2−4x−1=0；

(2)5x+2=3x2.16、（8分）如图，在△ABC中，．请用尺规在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明17、（10分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°．(1)求证：△AOB是等边三角形；(2)求∠BOE的度数．18、（10分）下面是某公司16名员工每人所创的年利润（单位：万元）53355108535583585（1）完成下列表格：每人所创年利润/万元10853人数14（2）这个公司平均每人所创年利润是多少？B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（﹣2，1），则k的值为_____．20、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．21、（4分）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则________.22、（4分）计算：=___________23、（4分）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，则m＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，1)．(1)在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；(2)直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．25、（10分）用适当的方法解下列方程：（1）x（2﹣x）＝x2﹣2（2）（2x+5）2﹣3（2x+5）+2＝026、（12分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．(1)若CP=CD，求证：△DBP是等腰三角形；(2)在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO=，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明由．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】

由作图可得知△BEC是等边三角形，可求出∠ABE=30°，进而可求出△ABE边AB上的高，再根据三角形和正方形的面积公式求出它们的面积比即可.【详解】根据作图知，BE=CE=BC，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC=60°,∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，设AB=BC=a，过点E作EF⊥AB于点F，如图，则EF=BE=a，∴.故选C.此题主要考查了等边三角形的判定以及正方形的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键.2、C【解析】

根据直线的图像性质即可解答.【详解】解：令x＝0，则y＝－2，故直线与y轴的交点坐标为：﹙0，－2﹚；令y＝0，则x＝，故直线与y轴的交点坐标为：(，0).

∵直线y＝3x－2中k＝3＞0，b＝－2＜0，

∴此函数的图象经过一、三、四象限．k＝3＞0，y随x的增大而增大.故A，B，D正确，答案选C.本题考查的是x、y轴上点的坐标特点及一次函数图象的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限．3、B【解析】

由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1，然后根据30°角的三角函数值求出A1A2即可.【详解】解：∵∠OAA1＝90°，OA＝，∠AOA1＝30°，∴AA1＝OA1，由勾股定理得：OA2+AA12＝OA12，即（）2+（OA1）2＝OA12，解得：OA1＝2，∵∠A1OA2＝30°，∴A1A2的长＝=故选：B．本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．4、D【解析】

首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA＋PB的最小值．【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2＋2＝4，∴BE＝，即PA＋PB的最小值为．故选D．本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．5、D【解析】

根据k+b＜0，kb＞0，可得k＜0，b＜0，从而可知一条直线y=kx+b的图象经过哪几个象限．【详解】解：∵k+b＜0，kb＞0，∴k＜0，b＜0，∴y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，故选：D．本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确k、b的正负不同，函数图象相应的在哪几个象限．6、B【解析】

想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.【详解】连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝×12＝1，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝1，∴S阴＝1．故选B．本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7、A【解析】

先根据四边形ABCD是菱形可知，AD//BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P''，连接P'Q，PC，则P'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP'⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP'中利用锐角三角函数的定义求出P'C的长即可。【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P'，连接P'Q，P'C，则P'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP'⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP'中,∵BC=AB=2，∠B=60°，∴故选：A.本题考查的是轴对称一最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.8、C【解析】

把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．【详解】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．故选：C．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、李老师.【解析】

利用加权平均数的计算方法求出李老师、王老师的最后总成绩，比较得出答案．【详解】解：李老师总成绩为：90×+85×=87，

王老师的成绩为：95×+80×=86，

∵87＞86，

∴李老师成绩较好，

故答案为：李老师．考查加权平均数的计算方法，以及利用加权平均数对事件作出判断，理解权对平均数的影响．10、AC⊥BDAC＝BDAC⊥BD且AC＝BD【解析】

先证明四边形EFGH是平行四边形，（1）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是矩形，则需要一个角是直角，故对角线应满足互相垂直（2）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是菱形，则需要一组邻边相等，故对角线应满足相等（3）联立（1）（2），要使所得四边形是正方形，则需要对角线垂直且相等【详解】解：连接AC、BD．∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，FG∥BD，FG＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．∴EF∥HG，EF＝GH，FG∥EH，FG＝EH．∴四边形EFGH是平行四边形；（1）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；（2）要使四边形EFGH是菱形，则需EF＝FG，由（1）得，只需AC＝BD；（3）要使四边形EFGH是正方形，综合（1）和（2），则需AC⊥BD且AC＝BD．故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD此题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定条件11、【解析】

利用向量加法法则进行运算即可.【详解】解：原式===，故答案是：.本题考查了向量加法运算，熟练的掌握运算法则是解题的关键.12、3【解析】

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.【详解】∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，∴,,∴DO=AO=3.故答案为3.本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.13、2【解析】

先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，考点：二次根式的混合运算三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）的坐标为；（2），；（3）当时，一次函数的值小于反比例函数的值.【解析】

（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．【详解】解：（1）∵一次函数与轴相交，∴令，解得，∴的坐标为；（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，即，∴，故，把坐标代入，得到，则一次函数的解析式为：；把坐标代入反比例函数解析式得，则反比例解析式为：；（3）如图：根据图象可得：，解得：或故直线与双曲线的两个交点为，，∵，∴当时，一次函数的值小于反比例函数的值.本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．15、(1)x1=,x2=；(2)x1=2,x2=−.【解析】

把原方程化为一元二次方程的一般形式，根据求根公式x=求解即可．【详解】(1)∵△=16+8=24>0，

∴x==，

x1=,x2=；

(2)先整理得到3x2−5x−2=0，∵△=25+24=49>0，∴x=，x1=2,x2=−.本题考查解一元二次方程-公式法，解题的关键是掌握解一元二次方程-公式法.16、见详解【解析】

根据线段垂直平分线性质作图求解即可．【详解】解：如图，作AB的垂直平分线，交AC于P．则PA=PB，点P为所求做的点．本题考查尺规作图．线段垂直平分线的性质：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.作线段的垂直平分线是解决本题关键．17、(1)证明见解析；(2)∠BOE＝75°.【解析】

(1)由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，∠CAE＝15°，即可证明△AOB是等边三角形;(2)由等边三角形的性质，推出AB＝OB，求出∠OBC的度数，根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得到OB＝BE，然后可求出∠BOE．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形．(2)∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAE＝∠BEA＝45°∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝(180°﹣30°)＝75°．本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点．18、（1）答案见解析；（2）5.375万元．【解析】

（1）直接由数据求解即可求得答案；（2）根据加权平均数的计算公式列式计算即可得．【详解】解：1）完成表格如下：每人所创年利润/万元10853人数1384（2）这个公司平均每人所创年利润是=5.375（万元）．本题考查了统计表、加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、-1【解析】

一次函数y=kx-1的图象经过点（-2，1），将其代入即可得到k的值．【详解】解：一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（﹣2，1），即当x＝﹣2时，y＝1，可得：1＝-2k﹣1，解得：k＝﹣1．则k的值为﹣1．本题考查一次函数图像上点的坐标特征，要注意利用一次函数的特点以及已知条件列出方程，求出未知数．20、6.5【解析】试题分析：依题意作图可知EF为Rt△ABC中位线，则EF=AB．在Rt△ABC中AB=所以EF=6.5考点：中位线定理点评：本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线定理知识点的掌握．21、【解析】

先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA，即CM=2BM，进而可求出BC的长．【详解】如图所示，连接AM，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵MN⊥AB，∴BM=2MN=2，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM=AM=2，∴∠BAM=∠B=30°，∴∠MAC=90°，∴CM=2AM=4，∴BC=2+4=1．故答案为1.此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．22、6【解析】

先取绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减可得；【详解】解：原式=1+1+4=6故答案为：6此题主要考查了实数运算，绝对值，负整数指数幂和零指数幂，正确化简各数是解题关键．23、﹣1【解析】

因为y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，所以|m|＝1，m﹣1≠0，解答即可．【详解】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．则得到|m|＝1，m＝±1，∵m﹣1≠0，∴m≠1，m＝﹣1．故答案是：m＝﹣1.考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)见解析;(2)A″(3,4)，B″(4,1)．【解析】

（1）正确找出对应点A′，B′，C′即可得出△ABC关于x轴