2024-2025版高中数学第三章不等式3.3.1.2二元一次不等式组表示的平面区域素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE二元一次不等式组表示的平面区域(20分钟35分)1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的区域为 ()【解析】选C.不等式(x-2y+1)(x+y-3)<0等价于QUOTE①或QUOTE②,因为(0,0)满意①;(0,4)满意②,所以不等式(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的区域为.2.如图阴影部分用二元一次不等式组表示为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题图易知平面区域在直线2x-y=0的右下方,在直线x+y=3的左下方,在直线y=1的上方.3.不等式组QUOTE表示的平面区域是 ()A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形【解析】选D.原不等式组化为:QUOTE或QUOTE,画出它们表示的平面区域,如图所示是一个等腰梯形.4.若x,y满意约束条件QUOTE则围成区域的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.画出约束条件QUOTE表示的平面区域,如图所示.则不等式组表示的平面区域面积为S=QUOTE×1×1=QUOTE.5.已知A(-2,-2),B(0,2),C(2,0),则表示△ABC内部区域(含边界)的不等式组为.

【解析】AC对应的方程为QUOTE=QUOTE,得x-2y-2=0;BC对应的方程为QUOTE+QUOTE=1,得x+y-2=0;AB对应的方程为QUOTE=QUOTE,得2x-y+2=0;画出图形,如图所示;则平面区域满意x-2y-2≤0,且2x-y+2≥0,x+y-2≤0,所以对应不等式组为QUOTE答案:QUOTE【补偿训练】若不等式组QUOTE表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,当y=a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形,即△ABC,当5<a<7时,表示的平面区域为三角形,综上,当5≤a<7时,表示的平面区域为三角形.答案:[5,7)6.画出不等式组QUOTE所表示的平面区域.【解析】不等式组QUOTE所表示的平面区域如图:(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若实数x,y满意QUOTE则点P(x,y)不行能落在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.实数x,y满意QUOTE,作出如图所示的可行域,由图象可知,则点P(x,y)不行能落在第四象限.2.不等式(x-y)(x+y-2)>0表示的平面区域(用阴影表示)为 ()【解析】选B.不等式组等价为QUOTE或QUOTE则对应区域为选项B.3.不等式组QUOTE表示的平面区域内整点的个数是 ()A.2个B.4个C.6个D.8个【解析】选C.画出可行域后,可按x=0,x=1,x=2,x=3分类代入检验,符合要求的点有(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0)共6个.4.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,请写出工人数的限制条件是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意50x+40y≤2000,即5x+4y≤200,QUOTE=QUOTE,x,y∈N*.5.已知D是由不等式组QUOTE所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】选D.不等式组表示的区域D如图所示,圆x2+y2=4在区域D内的部分为QUOTE个圆.所以对应弧长为QUOTE×2πr=QUOTE×2π×2=π.二、填空题(每小题5分,共15分)6.△ABC的三个顶点坐标为A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是.

【解析】如图.直线AB的方程为x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出).直线AC的方程为2x+y-5=0,直线BC的方程为x-y+2=0,把(0,0)代入2x+y-5=-5<0,所以AC左下方的区域为2x+y-5<0.所以同理可得△ABC区域(含边界)为QUOTE答案:QUOTE7.已知不等式组QUOTE表示的平面区域为D,则点(0,1)D,若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是.

【解析】区域D如图中的阴影部分所示,则(0,1)∈D,直线y=kx+1经过定点C(0,1),假如其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.由方程组QUOTE解得A(1,0).由方程组QUOTE解得B(2,3).所以AB的中点坐标为QUOTE,代入直线方程y=kx+1得,QUOTE=QUOTEk+1,解得k=QUOTE.答案:∈QUOTE【补偿训练】已知点M(a,2a-1)在不等式组QUOTE所确定的平面区域之外,则a的取值范围是.

【解析】不等式组所表示的平面区域如图:依据题意可得若点M(a,2a-1)在平面区域之内,则⇒QUOTE解得:QUOTE≤a≤1;所以若点M在平面区域之外,则答案相反.答案:QUOTE∪(1,+∞)8.若由不等式组QUOTE(n≥0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆的圆心在x轴上,则实数m=.

【解析】由题可知三角形为直角三角形,斜边为x轴所在的边,故直线x-my-n=0与x-QUOTEy=0相互垂直,由1×1+QUOTEm=0,得m=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知实数x,y满意QUOTE,记点(x,y)所对应的平面区域为D.(1)在平面直角坐标系xOy中画出区域D(用阴影部分标出),并求区域D的面积S;(2)试推断点QUOTE是否在区域D内,并说明理由.【解析】(1)如图:由QUOTE⇒A(2,3),所以S=QUOTE·6·(3-1)=6;(2)点QUOTE在区域D内,因为QUOTE,所以点QUOTE在区域D内.【补偿训练】不等式组QUOTE表示的平面区域记为C.(1)画出平面区域C,并求出C包含的整点个数;(2)求平面区域C的面积.【解析】(1)不等式组对应的平面区域如图:由图象可知平面区域C包含的整点个数为(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,3),共5个.(2)平面区域C的面积为梯形OABD的面积减去△OAE和△BED的面积,即S=QUOTE×2-QUOTE×1×2-QUOTE×1×3=5-1-QUOTE=4-QUOTE=QUOTE.10.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨,工厂在生产这两种棉纱的安排中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨,列出x,y满意的关系式,并画出相应的平面区域.【解析】x,y满意的关系式为QUOTE,作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),【补偿训练】某校食堂基本以面食和米食为主,面食每百克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元;米食每百克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元.学校要求给学生配制成盒饭,每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满意的范围对应平面区域.【解析】设每份盒饭中面食为x百克,米食为y百克,则由题意得:作出不等式组所表示的平面区域如图.1.若不等式组QUOTE表示一个三角形内部的区域,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.不等式组QUOTE所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由QUOTE解得QUOTE所以AQUOTE,将x+y=a变形为y=-x+a,得到斜率为-1,在y轴上的截距为a的一组平行直线,当直线x+y=a经过点A时,a=QUOTE+QUOTE=QUOTE,由图可知,若不等式组QUOTE表示一个三角形内部的区域,直线x+y=a在y轴上的截距a<QUOTE.所以实数a的取值范围是QUOTE.2.若不等式组QUOTE所表示的平面区域被直线y=kx+QUOTE分为面积相等的两部分,则k的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE