山东省泰安长城中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/22022级上学期数学线上学情自主检测一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，则命题的否定为“，”，故选：B．2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】，故选：C3.若，，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的性质判断，根据指数的性质判断，由此得出三者的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.4.二十四节气是中华民族上古农耕文明产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，得到从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度，即可求解.【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气，故从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了.故选：D5.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据终边经过点，且，利用三角函数的定义求解.【详解】因为终边经过点，且，所以，解得，故选：C6.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平方关系将函数写成关于的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域即可.【详解】由可得令，则，易知，二次函数关于对称，且开口向上，所以函数在为单调递增，所以，所以，其值域为.故选：D.7.已知函数是偶函数，则的值为（）A. B.1 C.1或-1 D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数奇偶性可确定，再利用诱导公式即可求得的值.【详解】由函数是偶函数可知，，即；所以，；故选：A.8.已知函数关于直线对称,且当时,恒成立,则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据关于直线对称,可得为偶函数,根据,恒成立,可得在时单调递增,将根据奇偶性化为区间内,再根据单调性解得范围即可.【详解】解:由题知关于直线对称,故为偶函数,,当时,恒成立,则在上单调递增,,,,即,解得:.故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9.下列结论正确的是（）A.若a，b为正实数，，则B.若a，b，m为正实数，，则C.若a，，则“”是“”的充分不必要条件D.当时，的最小值是【答案】AC【解析】【分析】利用作差法判断AB选项，由作差法及充分条件、必要条件判断C，根据换元法及对号函数的单调性判断D.【详解】对A，，又a，b为正实数，，所以，故，故A正确；对B，，因为a，b，m为正实数，，所以，即，故B错误；对C，因为，所以当时，，，能推出，而不能推出，例如，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对D，令，则在上单调递减，故函数无最小值，故D错误.故选：AC10.已知，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】将式子两边同时平方，可得，即可判断的取值范围，进而确定余弦值和正切值的符号，可判断选项ABC错误，再利用同角三角函数的基本关系可求得选项D中表达式的值，即可做出判断.【详解】将两边同时平方，可得；所以，即符号相同，又因为，所以应在第一象限，所以，故A错误；当时，，故BC均错误；由可知，；即D正确；故选：ABC.11.已知函数,下列结论中正确的是（）A.函数的周期是B.函数的图象关于直线对称C.函数的最小值是D.函数的图象关于点对称【答案】AC【解析】【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误.【详解】解:由题知,,故选项A正确;令,解得:,令,令,故选项B错误;因为,所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC12.已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（）A.实数的取值范围为B.C.D.的最大值为1【答案】AD【解析】【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.【详解】由函数可知其图象如下图所示，又因为存在，使得，所以函数与有三个不同的交点，根据图象可知，故A错误；根据函数图像可知，所以得，即，故B正确；显然，且关于对称，所以，故C正确；因为，且，所以，，当且仅当时，等号成立；又因为，所以，故D错误；故选：AD.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算__________.【答案】【解析】【分析】根据指数幂运算和对数运算法则即可求得结果.【详解】原式故答案为：14.已知函数，若，则实数的值为_________．【答案】【解析】【分析】先求，再代入求，求实数的值.【详解】，，即，又，且，所以.故答案为：15.已知x>0，y>0，且，则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案．【详解】由题意，得：，则（当且仅当时，取等号）．故选：．【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，是基础题．16.若函数且在上的最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是______．【答案】1【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解即可.【详解】当时，函数是正实数集上增函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是减函数，不符合题意.故答案为：1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）若，求实数的取值范围;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】首先分别求解两个函数的定义域，（1）根据集合包含关系，列不等式求解的取值范围；（2）根据，得，求的取值范围.【详解】由题知，，解得：，（1）若，则，即，实数的取值范围是.（2）若，则，即，实数的取值范围是.18.关于x的不等式的解集为，（1）求a，b的值；（2）当，且满足时，有恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意转化为和2是方程的两个实数根，根据韦达定理列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到，化简，利用基本不等式求得其最小值，根据题意中转化为，即可求解．【小问1详解】解：因为关于x的不等式的解集为，所以和2是方程的两个实数根，可得，解得，经检验满足条件，所以.【小问2详解】解：由（1）知，可得，则，当且仅当时，等号成立，因为恒成立，所以，即，可得，解得，所以的取值范围为．19.求下列值.（1）已知,若,求的值;（2）已知,其中是第三象限角,若,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先用诱导公式将进行化简,将代入,求得的值,再将分母看作,分式上下同时除以,代入的值即可求出结果;(2)先根据是第三象限角,判断的正负,再对进行化简,将代入,再根据平方关系即可求得的值.【小问1详解】解:由题知,;【小问2详解】由题知是第三象限角,,,,,∴,则.20.已知函数为奇函数，且方程有且仅有一个实根.（1）求函数的解析式；（2）设函数.求证：函数为偶函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)由函数为奇函数可得b值，再由方程有唯一实根即可得解；(2)利用(1)的结论求出的解析式并求出其定义域，再由奇偶函数定义讨论即得.【详解】(1)因函数为奇函数，则，即，化简得，得，，且方程有且仅有一个实根，得，即，所以，得，而，解得，即有，所以函数的解析式为；(2)由(1)知，的定义域为，则，所以函数为偶函数.21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）解不等式可得出函数的单调递增区间，解不等式可得出函数的单调递减区间；（2）由可求得的取值范围，利用余弦型函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值和最大值.【小问1详解】解：因为，令，，得，，令，，得，，故函数的递调递增区间为；单调递减区间为.【小问2详解】解：当时，，当时，函数取最小值，即，当时，函数取最大值，即.因此，函数在区间上的最小值为，最大值为.22.已知函数，，且.（1）证明:定义域上是减函数;（2）若，求的取值集合.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据，求得，得到，由，求得的定义域，令，用函数单调性的定义证明其单调性，再利用复合函数的单调性得到结论.（3）易得函数是奇函数，将原不等式转化为，再利用在定义域上的单调性求解.【详解】（1），，，又，，.由，解得，的定义域为.令.任取，且，则.，，，，即，又在上是增函数，由复合函数的单调性知：在上是减函数.（