第19章《几何证明(二)-勾股定理》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：易错点拨：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．942．（2分）（2021秋•宝山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC＝2，BC＝4，那么下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CM＝ C．∠B＝30° D．CD＝3．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：134．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60° D．GF平分∠DGE5．（2分）（2021秋•普陀区期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，6．（2分）（2021秋•普陀区期末）现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，57．（2分）（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（）A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD8．（2分）（2022秋•宝山区期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是（）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①9．（2分）（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（）A．点D在AB的垂直平分线上 B．点D到直线AB的距离为1 C．点A到直线BD的距离为2 D．点B到直线AC的距离为10．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1 B．2 C．2.5 D．5二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为．12．（2分）（2021秋•宝山区期末）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝，若∠D＝50°，则∠B＝．13．（2分）（2021秋•徐汇区期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．14．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是°．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝．17．（2分）（2022秋•徐汇区期末）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于．18．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD＝AE，若△ABD为等腰三角形，则∠CDE的度数为．19．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么＝．20．（2分）（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，BD＝AD＝CD，过点B作BE⊥CD，分别交AC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）如果BE＝CD，求证：AC＝2BC．22．（6分）（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求证：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长．23．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．24．（8分）（2021秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，求AN的长．25．（8分）（2021秋•徐汇区校级期末）已知，如图，在三角形ABC中，AD是边BC边上的高，CE是中线，F是CE中点，DF垂直于CE，求证：CD＝AB．26．（8分）（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，根据上面材料完成下列各题：（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．27．（8分）（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH＝AC．28．（8分）（2021秋•青浦区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA＝15°，AC＝10cm，OB＝OM时，求MN的长．

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：易错点拨：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．94解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝9+25+4+9＝47．故选：C．2．（2分）（2021秋•宝山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC＝2，BC＝4，那么下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CM＝ C．∠B＝30° D．CD＝解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；在Rt△ACB中，AB＝＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边上的中线，∴CM＝，B正确，不符合题意；在Rt△ACB中，AB＝2，AC＝2，∴∠B≠30°，C错误，符合题意；×2×4＝×2×CD，解得，CD＝，D正确，不符合题意；故选：C．3．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、因为∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；C、因为b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；D、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形．故选：A．4．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60° D．GF平分∠DGE解：∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正确，不符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF⊥DE，B正确，不符合题意；∠DGE的度数不确定，C错误，符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF平分∠DGE，D正确，不符合题意；故选：C．5．（2分）（2021秋•普陀区期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，解：A、∵82+152＝172，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；B、∵（）2+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故选项错误；C、∵（）2+22≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；D、∵12+22＝（）2，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．故选：C．6．（2分）（2021秋•普陀区期末）现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5解：∵四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，∴四块正方形纸片的边长分别是，，，，由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，4，2+3≠4，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2+3＝5，围成的三角形是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，4，5时，2+4≠5，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，3+4≠5，围成的三角形不是直角三角形；故选：B．7．（2分）（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（）A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，故B选项正确；∵∠ACB＝90°，CM是斜边的中线，∴CM＝BM，∴∠MCB＝∠B＝∠ACD，∴∠ACM＝∠BCD，故A选项正确；∵∠MCB＝∠B＝∠ACD，故C选项正确；∵AC不一定等于CM，∴∠ACD与∠MCD不一定相等，故D选项错误．故选：D．8．（2分）（2022秋•宝山区期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是（）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①解：由题意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．如图，连接AC，CE．在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝232+362．在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．所以CE2＝402+202+502＝4500．因为382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．故选：B．9．（2分）（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（）A．点D在AB的垂直平分线上 B．点D到直线AB的距离为1 C．点A到直线BD的距离为2 D．点B到直线AC的距离为解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠A＝∠ABD，CD＝BD＝1，∴AD＝BD＝2，∴点D在AB的垂直平分线上．故选项A结论正确；过D作DE⊥AB于E，∴DE＝DC＝1，∴点D到AB的距离为1（故选项B结论正确），BC＝CD＝，∴点B到AC的距离为，故选项D结论正确；过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，∴AF＝AB＝BC＝，∴点A到BD的距离为，故选项C结论不正确；故选：C．10．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1 B．2 C．2.5 D．5解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∵BE＝CD＝a，AB＝EC＝b，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴△ADE的面积＝AE2，∵△ABE的面积为1，∴ab＝1，∴ab＝2，∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∴a2+b2＝5，∴△ADE的面积＝×5＝，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为24cm2．解：∵一个直角三角形两条直角边的比是3：4，∴设两条直角边分别为3x，4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，∴x＝2，∴两条直角边分别为6cm和8cm，∴这个直角三角形面积为×8×6＝24（cm2），故答案为：24cm2．12．（2分）（2021秋•宝山区期末）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝，若∠D＝50°，则∠B＝25°．解：根据斜边中线等于斜边一半可得：AE＝BE＝EC＝AD，∴∠AED＝∠D＝50°＝2∠B，∴∠B＝25°．故答案为：25．13．（2分）（2021秋•徐汇区期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝4．解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF∥OB，∠AOE＝∠BOE＝15°∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案为：4．14．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是35°．解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD，∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为70°，即∠BDC＝70°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A＝70°，解得∠A＝35°，另一个锐角∠B＝90°﹣35°＝55°，∴这个直角三角形的较小内角的度数为35°．故答案为：35．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝16.9．解：在△BDC中，BD＝5，DC＝12，BC＝13，∴BD2+CD2＝25+144＝169，BC2＝169，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，设AB＝AC＝x，则AD＝AB﹣BD＝x﹣5，在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣5）2+144＝x2，解得：x＝16.9，∴AB＝AC＝16.9，故答案为：16.9．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝20．解：如图，∵CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10，∴∠ACD＝30°，∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠BCD＝90°，又∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AC＝10，∴AB＝2AC＝20．故答案为：20．17．（2分）（2022秋•徐汇区期末）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．解：①如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB且CD＝AB，∵△ABC中，CD⊥AB且CD＝AB，AB＝AC，∴CD＝AC，∴∠A＝30°．②如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA的延长线于点D，且CD＝AB，∵∠CDA＝90°，CD＝AB，AB＝AC，∴CD＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠A＝150°．故答案为：30°或150°．18．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD＝AE，若△ABD为等腰三角形，则∠CDE的度数为22.5°或33.75°．解：当BA＝BD时，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣22.5°）＝78.75°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∠C＝45°，∴∠EDC＝78.75°﹣45°＝33.75°，当DB＝DA时，∵∠DAC＝∠DAB＝45°，∴∠ADB＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∠C＝45°，∴∠EDC＝67.5°﹣45°＝22.5°，故答案为22.5°或33.75°．19．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么＝．解：∵小正方形的面积是25，∴EB＝5，∵△HAG≌△BCA，∴AH＝CB，∵大正方形的面积为49，∴BH＝7，∴AB+AH＝7，设AB＝x，则AH＝7﹣x，在Rt△ABC中：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x1＝4，x2＝3，当x＝4时，7﹣x＝3，当x＝3时，7﹣x＝4，∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4，∴＝，故答案为：．20．（2分）（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为5．解：作EG⊥AC，垂足为G．∵AB∥CD∴△ABF∽△CDF，∴＝，∵AB＝5，DC＝11，∴＝，∴AF＝AC＝×8＝；∴FC＝8﹣2.5＝，∴BF＝＝，DF＝＝，∴EB＝×（+）＝4，∴EF＝4﹣＝．易得，△ABF∽△GEF，∴，，∴，，∴EG＝3，FG＝，∴AG＝+＝4，在Rt△AEG中，AE＝＝5．故答案为：5．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，BD＝AD＝CD，过点B作BE⊥CD，分别交AC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）如果BE＝CD，求证：AC＝2BC．证明：（1）∵BD＝AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∠ABC＝∠DCB，∵∠A+∠ACD+∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠ACD+∠BCD＝×180°＝90°，∴∠ACB＝90°；（2）取AC中的G，连接DG，∴GD是△ABC的中位线，∴GD∥BC，∴∠CGD+∠ACB＝180°，∴∠CGD＝∠ECB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∵∠GCD+∠BCF﹣90°，∴∠GCD＝∠EBC，∵BE＝CD，∴△CDG≌△BEC（AAS），∴CG＝BC，∵AC＝2CG，∴AC＝2BC．22．（6分）（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求证：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长．（1）证明：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC，∵AD＝BC，∴AD＝DC＝BD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°，∴2（∠B+∠C）＝180°，∴∠B+∠C＝90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠C＝90°，∴∠CAE＝∠B；（2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，∴AC＝2CE＝4，∵∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°，∵∠B＝∠CAE＝30°，∴AB＝AC＝4，∴AB的长为4．23．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．24．（8分）（2021秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，求AN的长．解：如图所示，过D作DE⊥AB于点E，连接DN，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC