2024-2025学年山东省聊城市冠县育才双语学校九年级（上）开学数学试卷（含详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省聊城市冠县育才双语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.关于菱形的性质，以下说法不正确的是(

)A.四条边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.是轴对称图形2.如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是(

)A.△BDE和△DCF的面积相等

B.四边形AEDF是平行四边形

C.若AB=BC，则四边形AEDF是菱形

D.若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形

3.下列各数中，为无理数的是(

)A.π B.227 C.0 D.4.下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.5.如果不等式组x+5<4x−1x>m的解集为x>2，那么m的取值范围是(

)A.m≤2 B.m≥2 C.m>2 D.m<26.下列计算正确的是(

)A.12=32 B.2+7.直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是(

)A.x≤−2

B.x≤−4

C.x≥−2

D.x≥−48.如果△AOB∽△COD，∠A=∠C，下列各式正确的个数为(

)

①ABBO=CD

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.下列说法中，正确的有(

)

①三边成比例的两个三角形相似；

②两个等边三角形相似；

③两个直角三角形相似．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(

)A.ABAD=ACAE

B.∠B=∠D

C.二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。11.如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比为______．12.8113.已知1<m<5，化简：(1−m)2+|m−5|=14.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=23，那么AB=______．15.直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为

．16.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是______m.

17.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是______米．三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

计算：

(1)sin45°⋅cos45°+tan60°⋅sin60°；

(2)sin30°−tan245°+3419.(本小题8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B=13(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．20.(本小题8分)

君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．

(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；

(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？21.(本小题8分)

如图，直线y=−2x与直线y=kx+b

相交于点A(a,2)，并且直线y=kx+b经过x轴上点B(2,0)

(1)求直线y=kx+b的解析式．

(2)求两条直线与y轴围成的三角形面积．

(3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集．22.(本小题8分)

如图，DE/​/BC，且DB=AE，若AB=6，AC=10，求AE的长．23.(本小题8分)

如图，在△ABC中，D在AC上，DE/​/BC，DF/​/AB．

(1)求证：△DFC∽△AED；

(2)若CD=13AC，求24.(本小题8分)

天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离(结果保留根号)

答案和解析1.【答案】C

解：A.菱形的四条边相等，故选项A不符合题意，

B.菱形的对角线互相垂直，故选项B不符合题意，

C.菱形的对角线不一定相等，故选项C符合题意，

D.菱形是轴对称图形，故选项D不符合题意，

故选：C．2.【答案】C

解：A.连接EF，

∵D、E、F分别是△ABC各边中点，

∴EF/​/BC，BD=CD，

设EF和BC间的距离为ℎ，

∴S△BDE=12BD·ℎ，S△DCE=12CD·ℎ，

∴S△BDE=S△DCF，

故本选项不符合题意；

B.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，

∴DE/​/AC，DF/​/AB，

∴DE/​/AF，DF/​/AE，

∴四边形AEDF是平行四边形，

故本选项不符合题意；

C.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，

∴DE=12AC，DF=12AB，EF=12BC，

若AB=BC，则DF=EF，无法判断DE与DF是否相等，

∴无法判断四边形AEDF是菱形，

故本选项符合题意；

解：A.π是无理数，故本选项符合题意；

B.227是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；

C.0是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；

D.−2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；

故选A4.【答案】D

解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

5.【答案】A

解：解不等式x+5<4x−1，得：x>2，

∵不等式组的解集为x>2，

∴m≤2，

故选：A．

6.【答案】D

解：A．12=23，故本选项不符合题意；

B.2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；

C.62≠3，故本选项不符合题意；

D.解：∵直线y=kx+b与x轴交于点(2,0)，与y轴交于点(0,1)，

∴2k+b=0b=1，解得k=−12b=1

∴直线为y=−12x+1，

当y=2时，2=−12x+1，解得x=−2，

由图象可知：y随x的增大而减小，8.【答案】A

解：∵△AOB∽△COD，

∴ABBO=CDOD，①错误；

ABAO=CDOC，②错误；

OBCO=ODAO，③错误；

解：①三边对应成比例的两个三角形相似，即①错误；

②两个等边三角形，则所有内角都为60°，两个等边三角形相似，即②正确；

③两组直角三角形只能确定一组对角相等，不能判定三角形相似，即③错误；

综上，正确的只有②．

故选：B．

10.【答案】C

解：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，

∴∠DAE=∠BAC，

∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，

选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，

故选：C．

11.【答案】1：2

解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，

∴它们的相似比为1：2，

∴它们的周长比为1：2．

故答案为：1：2．

12.【答案】±3

解：81=9，

因为(±3)2=9，

所以9的平方根为±313.【答案】4

解：∵1<m<5，

∴1−m<0，m−5<0，

∴(1−m)2+|m−5|=m−1+5−m=4．

故答案为：4．解：∵sinB=ACAB，

∴AB=ACsinB=423=6．

故答案是：解：设直角三角形斜边上的高为ℎ，

当4是直角边时，斜边长=32+42=5，

则12×3×4=12×5×ℎ，

解得：ℎ=125，

当4是斜边时，另一条直角边长=42−32=7，

则解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，

在Rt△ACD中，

∵∠CAD=30°，AD=150m，

∴CD=AD⋅tan30°=150×33=503(m)，

∴AH=CD=503m.

在Rt△ABH中，

∵∠BAH=30°，AH=503m，17.【答案】8

解：由题意可得∠APB=∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP=∠CDP=90°，

∴在△ABP和△CDP中，

∠ABP=∠CDP∠APB=∠CPD,

∴△ABP∽△CDP，

∴ABBP=CDDP，

∵AB=2，BP=3，PD=12，

∴23=CD12，

即CD=8，

故答案为8．

18.解：(1)sin45°⋅cos45°+tan60°⋅sin60°

=22×22+3×32

=12+32

=2；

(2)sin30°−tan245°+34tan230°−cos60°

=119.解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，

∴DC=AD=1．

在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1，

∴AB=ADsinB=3，

∴BD=AB2−AD2=22，

∴BC=BD+DC=220.解：(1)设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元；

由题意可得：3 x+y=222x+3y=24，解得：x=6y=4，

答：每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；

(2)设A种型号的毛笔为a支，则买B型毛笔(80−a)支，

由题意可得：6a+4(80−a)≤420，

解得：a≤50，

答：最多可以购买多少50支A21.解：(1)把A(a,2)代入y=−2x中，得−2a=2，

∴a=−1，

∴A(−1,2)

把A(−1,2)，B(2,0)代入y=kx+b，

得−k+b=22k+b=0，

∴k=−23，b=43，

∴一次函数的解析式是y=−23x+43；

(2)设直线AB与y轴交于点C，则C(0,43)

∴S22.解：∵DE//BC，

∴AEAC=ADAB，

即AEAC=AB−BDAB，

∵DB=AE，AB=6，AC=10，

∴AE23.(1)证明：∵DF//AB，DE//BC，

∴∠DFC=∠ABF，∠AED=∠ABF，

∴∠DF