初中数学解答题好题

初中数学解答题好题精选•教师版

1.如图1,已知四边形4BC£＞是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD.EC与8。相交于

点G,与AO相交于点F,AF=AB.

(1)求证：BDLEC；

(2)若4B=1,求4E的长；

EG-

图1图2

【解答】(1)证明：...四边形ABC。是矩形,点E在BA的延长线上,

.•./EAF=ND4B=90°,

又；4E=A£>,AF=AH,

：.(SAS),

NAEF=ZADB,

：.ZGEB+ZGBE=NADB+NABD=90°,

即NEG8=90°,

故8Q_LEC,

(2)解：..•四边形ABC。是矩形，

：.AE//CD,

：.NAEF=NDCF,NEAF=NCDF,

:AAEFS^DCF,

.AEAF

••一,

DCDF

即AE-DF=AF'DC,

设AE=A£)=a(a>0),则有=1,化简得a2-a-1=0,

解得上ZG或土返(舍去)，

22

・1%

••Z1L-J，.

2

(3)如图，在线段EG上取点P,使得EP=QG,

在△AEP与△4DG中，AE=AD,ZAEP=ZADG,EP=DG,

：./\AEP^^ADG(SAS),

：.AP=AG,ZEAP=ZDAG,

：.ZPAG^ZPAD+ZDAG=ZPAD+ZEAP^ZDAE=90°,

...△BAG为等腰直角三角形，_

：.EG-DG=EG-EP=PG=y/2AG.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=0^+加+2(4/0)与y轴交于点C,与x轴交于4,

5两点(点A在点8的左侧)，且A点坐标为(-五，0),直线BC的解析式为y=-返

3

x+2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A作AZ)〃BC,交抛物线于点。，点E为直线上方抛物线上一动点，连接

CE,EB,BD,DC.求四边形BEC。面积的最大值及相应点E的坐标；

(3)将抛物线y=ax2+bx+2(a¥0)向左平移血个单位，已知点M为抛物线y=a?+以+2

(aWO)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形

8ECD的面积最大时，是否存在以A,E,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，

直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【解答】解：(1)直线的解析式为y=-返x+2,令尸0,则x=3&,令x=0,

3

则y=2,

故点8、C的坐标分别为(3加,0)、(0,2)；

则旷=。/+公+2=。(x+&)(%-3^2)=。(/-2&X-6)-6m

即-6。=2,解得：

故抛物线的表达式为：y=-*+2Z0x+2①；

33

(2)如图，过点8、E分别作)，轴的平行线分别交CD于点H,交3c于点F,

•：AD//BC,则设直线AZ）的表达式为：y=-返（x+&）②,

3

联立①②并解得：》=4m，故点D（4如,-岑），

由点C、。的坐标得，直线CC的表达式为：丫=-2返/2,

3

当x=3衣时，），BC=-返x+2=-2,即点H（3近,-2）,故BH=2,

3_

设点E（x,-《―+冬度x+2）,则点尸（x,-返x+2）,

333

则四边形BECO的面积5=5.£+5岫8=会所＞＜。8+导CXD-xc）XBH=/X（-

工2+型！x+2+返x-2）X3«+2X4&义2=-亚?+3x+4&,

33322_

VX0VO,故S有最大值，当X=3返时，S的最大值为空巨，此时点E（3返,

2242

5）

2）；

（3）存在，理由：

y=--^X2+-^^-X+2=--7-（x*V5）2+9,抛物线（a#0）向左平移收个

o3SS

单位，

则新抛物线的表达式为：y=-袅+与，

33

点A、E的坐标分别为（-血，0）、（当I擀）；设点M（a,m）,点N（小s）,s

-_----1n2H,—8；

33

①当AE是平行四边形的边时，

点A向右平移刍返个单位向上平移号个单位得到E,同样点M（N）向右平移_§返个单

222

位向上平移趣个单位得到N（M）,

即圾±且2=〃，

2

rn,l_12,8_11T5

贝IJs---n+-~——丁或二~，

3326

故点N的坐标为（逃，-今）或（-3返，3）；

2226

②当AE是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：-血+?叵=”+血，解得：〃=-返,

22

故点N的坐标（-返，孕）；

26__

综上点N的坐标为：（二返，-斗）或（-巨返，自）或（-返，孕）.

222626

3.ZiA8C为等边三角形，AB=8,AO_L8C于点。，E为线段A。上一点，AE=2j§.以AE

为边在直线4。右侧构造等边三角形AEE连接CE,N为CE的中点.

（1）如图1,E/与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长;

（2）如图2,将尸绕点A逆时针旋转，旋转角为a,例为线段E尸的中点，连接£W,

MN.当30°<a<120°时，猜想NOVM的大小是否为定值，并证明你的结论;

（3）连接8N,在aAE尸绕点A逆时针旋转过程中，当线段3N最大时，请直接写出△

ADN的面积.

【解答】解：（1）如图1中，连接BE,CF.

「△A5C是等边三角形，ADA.BC,

，AB=8C=AC=8,BD=CD=4,

:.AD=MBD=4M，

'：AE=2^

:.DE=AE=2g

22=2

•••BE=^BD2+DE2=^4+(273)^7'

•.♦△ABC,△?!£尸答等边三角形，

：.AB=AC,AE=AF,NBAC=NEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF,

.,.△BAE丝△CAF(SAS),

：.CF=BE=2yfi，

\'EN=CN,EG=FG,

，GN=/CF=A

理由：连接BE,CF.同法可证△B4E丝尸（SAS）,

・•・NABE=ZACFf

VZABC+ZACB=600+60°=120°,

AZEBC+ZBCF=ZABC-ZABE+ZACB^-ZACF=120°,

*：EN=NC,EM=MF,

：.MN//CF,

:・/ENM=/ECM,

•：BD=DC,EN=NC,

：.DN//BE,

：.ZCDN=ZEBC,

*//END=/NDC+/ACB,

：.ZDNM=ZDNE+ZENM=ZNDC+NACN+ZECM=ZEBC+ZACB+ZACF=Z

EBC+ZBCF=\20°.

(3)如图3-1中，取AC的中点，连接B/,BN.

图3・1

*：AJ=CJ9EN=NC,

JN=~^"AE=,

•:BJ=AD=AM，

:.BNWBJ+JN,

:・BNW5&,

・・・当点N在8/的延长线上时，8N的值最大，如图3-2中，过点N作于〃,

设BJ交AD于K,连接AM

:.KN=1"后一,

3

在RtZ\”KN中，'：ZNHK=90°,NNKH=60°,

，HN=NK・sin60。=Z2sSx返=工，

322

:.S&ADN=卷。AD*NH=卷义4M义三=1M.

4.如图1,在平面直角坐标系中，直线小y=x+l与直线/2：x=-2相交于点£>,点A是直

线/2上的动点，过点4作AB_L/i于点8,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC.设点A

的纵坐标为f,△ABC的面积为s.

(1)当r=2时、请直接写出点8的坐标；

(2)s关于f的函数解析式为5={44，其图象如图2所示,

a(t+1)(t~5),-l<t<5

结合图1、2的信息，求出。与。的值；

(3)在/2上是否存在点A,使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标

和△ABC的面积；若不存在，请说明理由.

图2

【解答】解：(1)如图1,连接AG,

设B(x,x+1),

在y=x+l中，当冗=0时，y=l,

：.G(0,1),

VAB1/1,

AZABG=90°,

222

：.AB+BG=AGf

即(x+2)2+(x+1-2)2+?+(A：+l-1)2=(-2)2+(2-1)2,

解得：XI=0(舍)，X2=-

(2)如图2可知：当f=7时，5=4,

图2

把(714)代入s=[t2+bt-卷中得：号"+7匕-惠=4,

解得：b=-\,

如图3,过8作，轴，交AC于，，

由(1)知：当f=2时，4(-2,2),B(-《，4),

22

VC(0,3),

设AC的解析式为：y—kx+b,

(1

则卜2k+b=2,解得伊，

1b=3b=3

r.AC的解析式为：y--^x+3>

：.H(-J,—

24

•.•riri—111~—_9

424

1inq

，s='BH“xc-xA|=yX-X2=->

把(2,—)代入s=a(z+1)(r-5)得：a(2+1)(2-5)=—,

44

解得：a=--

4

(3)存在，设B(x,x+1),

分两种情况：

①当NCLB=90°时，如图4,

VAB1/1,

・・・AC〃/i,

V/1：y=x+l,C(0,3),

AAC：y=x+3,

：.A(-2,1),

■:D(-2,-1),

在RtZvWC中，AB2+BD2=AD2,

即(x+2)2+(x+1-1)2+(x+2)2+(x+1+1)2=22,

解得：xi=-1,X2—-2(舍)，

：.B(-1,0),即B在x轴上，

=

]2+=AC=yJ2^+2^V2>

%BC=yAB.AC=/-V2，2V2=2；

②当N4CB=90°时，如图5,

VZABD=90°,ZADB=45°,

•••△A8Q是等腰直角三角形，

:・AB=BD,

VA(-2,r),D(-2,-1),

/•(x+2)2+(x+1-/)2=(x+2)2+(x+1+1)2,

(x+1-f)2=(x+2)2,

x+1-f=x+2或x+1-t=-x-2,

解得：t=-1(舍)或f=2x+3,

222

RlzMCB中，AC+BC=ABf

即(-2)2+(r-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-f)2

把/=2i+3代入得：/-3x=0,

解得：x=0或3,

当x=3时，如图5,贝！Jf=2X3+3=9,

・"(-2,9),B(3,4),

•yj22+(9-3)2=2TBC=N1+也―?)2=5/^,

5AABC=-^AC・BC•2VTo=1。；

当f=0时，如图6,

止匕时，A(-2,3),AC=2,BC=2,

.,.5AABC=yAC-BC=yX2X2=2.

5.已知：在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A,与y

轴的负半轴交于点B,OA=OB,过点A作x轴的垂线与过点。的直线相交于点C,直线

0C的解析式为y=gx,过点C作轴，垂足为M,0M=9.

4

(1)如图1,求直线A8的解析式；

(2)如图2,点N在线段MC上，连接ON,点尸在线段ON上，过点P作轴，

垂足为£＞，交。C于点E,若NC=OM,求怨的值；

0D

(3)如图3,在(2)的条件下，点尸为线段AB上一点，连接。凡过点尸作O尸的垂

线交线段AC于点。，连接B。，过点尸作x轴的平行线交8。于点G,连接P尸交x轴

于点”，连接E4,若NDHE=NDPH,GQ-FG=MAF,求点尸的坐标.

【解答】解：(1)轴，0M=9,

Q

...y=9时，9=当，解得x=12,

4

：.C(12,9),

轴,

AA(12,0),

'：OA=OB,

：.B(0,-12),

b=-12

设直线AH的解析式为y=kx+b,则有

12k+b=0

fk=l

解得

lb=-12

直线48的解析式为y=x-12.

(2)如图2中,

VZCMO=ZMOA=ZOAC=90°,

・・・四边形QACM是矩形，

：.AO=CM=nf

■:NC=0M=9,

:.MN=CM-NC=V2-9=3,

：.N(3,9),

，直线ON的解析式为y=3x,设点E的横坐标为4m则O(4m0),

・・・OD=4a,

把x=4m代入丫=乌元中，得到y=3m

4

:.E(4〃，3〃)，

:・DE=3a,

把冗=4。代入，y=3x中，得到y=12m

：.P(4〃,12a),

：・PD=12a,

；.PE=PD-DE=12〃-3。=90

.PE=9_

"OD-T

(3)如图3中，设直线FG交C4的延长线于R,交y轴于S,过点尸作尸TJ_OA于T.

*：GF//x^f

：.ZOSR=ZMOA=90°,NC4O=NR=90°fZBOA=ZBSG=90°,ZOAB=ZAFRf

：./OFR=/R=/AOS=ZBSG=90°,

・・・四边形OSRA是矩形，

・・・OS=AR,

AR=OA=l2f

t

：OA=OB1

：.ZOBA=ZOAB=45°,

：.ZFAR=90°-45°=45°,

・・./FAR=/AFR,

；・FR=AR=OS,

•.*OF1.FQ,

；・NOSR=NR=NOFQ=90°,

：.ZOFS+ZQFR=90°,

9：ZQFR+ZFQR=90°,

：.ZOFS=ZFQR,

:.XOFS@AFQR(AAS),

:・SF=QR,

•:/SFB=/AFR=45°,

:"SBF=/SFB=45°,

:.SF=SB=QR,

•：/SGB=/QGR,/BSG=/R,

:•丛BSG冬丛QRG(A4S),

:.SG=GR=6,

设FR=m,则AR=m,AF=ypim,QR=SF=12-m,

,:GQ-FG=MAF,

GQ=y/2X-〃?=〃?+6,

•:Gd=Gd+Q壮,

:.(772+6)2=62+(12-m)2,

解得"2=4,

AFS=8,4R=4,

*：ZOAB=ZFAR,FT1,OA,FRIAR,

・・・FT=FR=AR=4,/OTF=90°,

・・・四边形OSFT是矩形，

・・・OT=S/=8,

*：ZDHE=4DPH,

：.tanZDHE=tan/DPH,

.DE=DH

*'DH-PD,

由(2)可知OE=3mPD=12a9

.3a_PH

••瓦一石’

：.DH=6a,

■:/PHD=/FHT,

・・・tanNF”T=T/F=2,

HT

:・HT=2,

*：OT=OD+DH+HT,

4。+6。+2=8,

._3

••a--,

.•.0。=¥，尸。=12义孩=誓，

555

:.p(―,—

55

6.综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下

册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步

发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片A8CQ,使AO与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；再一次折叠纸片，

使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点8,得到折痕把纸片展平，连接AM

如图①.

(1)折痕是(填“是”或“不是")线段AN的垂直平分线；请判断图中AABN

是什么特殊三角形？答：等边三角形；进一步计算出60°：

(2)继续折叠纸片，使点A落在8c边上的点”处，并使折痕经过点B,得到折痕BG,

把纸片展平，如图②，则NGBN=15°；

拓展延伸：

(3)如图③，折叠矩形纸片A8CD,使点A落在8c边上的点4处，并且折痕交BC边

于点T,交AQ边于点S,把纸片展平，连接44'交ST于点O,连接AT.

求证：四边形SA7才是菱形.

解决问题：

(4)如图④，矩形纸片A8CQ中，AB=10,AD=26,折叠纸片，使点A落在BC边上

的点A'处，并且折痕交A8边于点T,交AO边于点S,把纸片展平.同学们小组讨论后，

得出线段A7的长度有4,5,7,9.

请写出以上4个数值中你认为正确的数值上工.

【解答】解：（1）如图①,・,对折矩形纸片ABC。，使AQ与重合,

・,・EF垂直平分A3,

:.AN=BN,AE=BE,NNEA=9U0,

•・•再一次折叠纸片，使点A落在£尸上的点N处，

・・・8M垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,

:・AB=BN,

:・AB=AN=BN,

•二△ABN是等边三角形，

：.ZEBN=60°,

：.ZENB=30°,

:・/MNE=60°,

故答案为：是，等边三角形，60；

（2）•・・折叠纸片，使点A落在8C边上的点”处，

AZABG=ZHBG=45°,

:・/GBN=/ABN-NABG=150,

故答案为：15°；

（3）•・•折叠矩形纸片ABC。，使点A落在8c边上的点W处，

・・・ST垂直平分A4',

：.AO=A'O,AA'IST,

■:AD〃BC,

：.ZSAO=ZTA'O,ZASO=ZA'TO,

：./\ASO^/\A'TO(AAS)

:.SO=TO,

：.四边形ASAT是平行四边形，

又.."UST,

边形SAm是菱形；

(4)..•折叠纸片，使点A落在BC边上的点4处，

：.AT=A'T,

在RtZ\A78中，A'T>BT,

：.AT>\O-AT,

：.AT>5,

•.,点T在AB上，

二当点T与点B重合时，AT有最大值为10,

：.5<AT^\O,

正确的数值为7,9,

故答案为：7,9.

7.在平面直角坐标系中，抛物线)，=--2k的顶点为M

(1)若此抛物线过点A(-3,1),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点B,连接A8,C为抛物线上一点，且位

于线段AB的上方，过C作C。垂直x轴于点D,CD交AB于点、E,若CE=ED,求点C

坐标：_

(3)己知点0),且无论左取何值，抛物线都经过定点H,当NMHN=60°

3

备用图

【解答】解：(1)把A(-3.1)代入y=-/+履-2攵,

得-9-3%-2k=1.

解得k=2,

，抛物线的解析式为y=-/-2x+4；

,2

(2)设C(f,-尸-2/+4),则E(f,-t--z+2),

2

设直线A8的解析式为y="+〃，把A(-3,1),(0,4)代入得到,

/-3k+b=l

Ib=4'

k=l

解得

b=4‘

，直线AB的解析式为y=x+4,

2

'：E(6-Lt—7+2)在直线AB上,

2

2

：.--t-t+2=t+4,

2

解得t=-2,

：.C(-2,4).

(3)由y=--2k=A(x-2)

当x-2=0时、x=2,y=-4,

无论k取何值，抛物线都经过定点，(2,-4),

二次函数的顶点N(昌-2k),

24

①如图1中，过点”作印，x轴于/,分别过4,N作y轴，x轴的垂线交于点G,若今

>2时，则左>4,

'：M(2-^Zl,0),H(2,-4),

3

HI=4,

3

.".tanZ=返，

43

：.ZMHI=30°,

YNMHN=60°,

：.ZNHI=30°,

即/GNH=30°,

y-2「

由图可知I,tan/GN"=C^=F------=登_,

GNk23

V-2k+4

_4

解得％=4+2日或4(不合题意舍弃).

②如图3中，过点”作轴于/,分别过4,N作y轴，x轴的垂线交于点G.

图3

若£<2,则AV4,

同理可得，NMHI=30°,

■:NMHN=60",

J.NHLHI,

即二一-2k4,

4

解得A=4（不符合题意舍弃）.

③若£=2,则M，重合，不符合题意舍弃,

综上所述，抛物线的解析式为y=-f+（4+2«）x-（8+4泥）.

图2

8.综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y=/+fcr+c经过点A（-4,0）,点M为抛物线的顶点,

点B在)，轴上，且。A=08,直线A8与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线48的函数解析式为y=x+4,点M的坐标为(-2,-2),cosZABO

=返;

一2一

连接0C,若过点0的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1：2的两部分，则

点P的坐标为(-2,2)或(0,4)；

(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②，作点A关于y轴

的对称点4,连接M4咬y轴于点Q,连接AM、AQ,此时aAM。的周长最小.请求出

点。的坐标；

(4)在坐标平面内是否存在点M使以点A、0、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

故直线AB的表达式为：y=#+2x；

(2)点A(-4,0),OB=OA=4,故点B(0,4),

由点4、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=x+4；

则NA8O=45°,故8$/480=返；

2

对于y=*/+2x，函数的对称轴为尤=-2,故点M(-2,-2)；

19

OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=-^AC或5AC,

33

则21=JL或2,即也=《或解得：yp=2或4,

yc33633

故点P(-2,2)或(0,4)；

故答案为：y=x+4；(-2,-2)；返；(-2,2)或(0,4)；

2

(3)ZVIMQ的周长=AA/+AQ+MQ=A"+A'M最小，

点A'(4,0),

设直线A'M的表达式为：y=^+6,则(4k+b°=0口，解得〈3，,

I-2k+b=-2,_4

b-zr

3

故直线A'M的表达式为：y=5x-《，

33

AA

令x=0,则y=-5，故点0(0,-£•)；

oo

(4)存在，理由：

设点N(小，n),而点A、C、0的坐标分别为(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①当AC是边时，

点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C,同样点O(N)右平移6个单位向上

平移6个单位得到点N(O),

即0±6=n?,0±6=n,解得：加="=±6,

故点N(6,6)或(-6,-6)；

②当AC是对角线时，

由中点公式得：-4+2=m+0,6+0="+0,

解得：m—-2,〃=6,

故点N(-2,6)；

综上，点N的坐标为(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

9.实践操作：

第一步：如图1,将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点4处，

得到折痕。E,然后把纸片展平.

第二步：如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD

上的点C'处，点8落在点8,处，得到折痕EF,B'C'交AB于点M,C尸交OE于点

N,再把纸片展平.

问题解决：

(1)如图1,填空：四边形AEA。的形状是正方形；

(2)如图2,线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

(3)如图2,若AC'=2cm,DC=4cm,求QN：EN的值.

【解答】解：(1)是矩形，

.•.N4=ZADC=90°,

；将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点4处，得到折痕DE,

：.AD=AD',AE=A'E,ZADE=ZA'£>£=45°,

:.,:AB//CD,

：.ZAED^ZA1DE=NADE,

：.AD=AD',

：.AD=AE=A'E=A'D,

四边形AEA'。是菱形，

VZA=90°,

四边形4E4'。是正方形.

故答案为：正方形；

(2)MC=ME.

证明：如图1,连接C'E,由(1)知，AD=AE,

图1

:四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC,ZEAC'=ZB=90°,

由折叠知，B'C=BC,NB=NB',

：.AE=B'C',ZEAC=ZB',

又EC'=C'E,

：.RtAECZAgRtZXCEB'(HL),

：.ZC'EA=ZECB',

：.MC'=ME；

(3)VRtAEC,A丝RtZ\CEB',

：.AC=B'E,

由折叠知，B'E=BD,

：.AC'=BE,

'JAC=2cm,DC=4。/，

.'.AB—CD=2+4+2=8(an),

设贝IJFC'=FC=(8-x)cm,

\"DC2+DF2=FC2,

'.42+^—(8-x)2,

解得，X—~it

即DF=3cm,

如图2,延长84、FC'交于点G,则NAC'G=ZDC'F,

••.tanNAC'G=tanNOC'尸=总=总号

••AG方cir，

EG=r|_+6::^_cir，

,JDF//EG,

：.ADNEs/XENG,

•DNJF=3二2

•