第二十三章旋转(单元重点综合测试)(原卷版+解析)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练(人教版)

第二十三章旋转（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春·七年级单元测试）下列运动属于数学上的旋转的有（

）．A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折2．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②3．（2023春·七年级单元测试）如图，两个全等正方形和，旋转正方形能和正方形重合，则可以作为旋转中心的点有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若的周长是15，，则等边的面积是（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南郑州·校考三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（

）

A． B． C． D．6．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（

）

A． B． C． D．7．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图，已知在正方形内有一点，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为（

）A．2 B． C． D．8．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕着原点按逆时针方向旋转得到点，延长到，使得；再将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到，使得……·如此继续下去，点的坐标为（

）

A． B．C． D．9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（

）．A． B． C． D．1810．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（）①②③④四边形是平行四边形

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在中，，，点在斜边的延长线上，如果将按顺时针方向旋转一定角度后能与重合，那么旋转角的度数是12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转一定的角度至处，此时点E，，恰好在同一条直线上，连接，若，则．13．（2023春·上海徐汇·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，那么将点M绕原点O逆时针旋转后与点N重合，那么点N的坐标是．14．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，在中，，．将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则度．

15．（2023·宁夏·统考中考真题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：

①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．

(1)点关于坐标原点对称的点的坐标为_____________；(2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；并求出此时的长度．（结果保留根号）18．（2023·全国·九年级专题练习）在如图所示的正方形网格中有六个格点A，B，C，M，N，P，网格中每个小正方形的边长均为1．

(1)在图①中找到一个格点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；(2)在图②中找到一个格点Q，使得以点M，N，P，Q为顶点的四边形不是轴对称图形，且与全等．19．（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图将绕着点A逆时针旋转得到．当点D恰好落在上时，连接．当，时，求证：．

20．（2020秋·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点在x轴上，点的坐标为（2，1）．将此矩形绕点逆时针旋转90°，得到矩形．（1）求过点、、的抛物线的解析式；

（2）将矩形沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是四边形的一条对角线，，，将绕点顺时针旋转到的位置（点是点的对应点）．(1)试说明：；(2)在所给图中画出，并求出的度数．22．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．（3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______．23．（2023春·浙江·八年级专题练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”．特例感知：(1)在图2中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．如图2，当为等边三角形时，且时，的长为；猜想论证：(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑倍长或倍长，……）拓展应用：(3)如图3，在四边形，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，，若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形中边的长．

第二十三章旋转（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春·七年级单元测试）下列运动属于数学上的旋转的有（

）．A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折【答案】A【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案．【详解】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项符合题意；B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项不符合题意；C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项不符合题意；D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键．2．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②【答案】B【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意；图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意；图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意；图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）如图，两个全等正方形和，旋转正方形能和正方形重合，则可以作为旋转中心的点有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】C【分析】根据正方形的性质，旋转的性质，可得以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解．【详解】解：依题意，以及的中点，可以作为旋转中心故选：C．【点睛】本题考查了找旋转中心，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若的周长是15，，则等边的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由旋转可知，为等边三角形，再利用等量代换求出等边的边长，利用面积公式求解即可．【详解】∵将绕点逆时针旋转的得到∴，,∴为等边三角形∴∵的周长是15∴∴∴∵∴∴∵是等边三角形∴故选：B【点睛】本题综合考查旋转，等边三角形的性质，面积公式，用等量代换是解题的关键．5．（2023·河南郑州·校考三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可．【详解】解：第一次转动后，点A的坐标为；第二次转动后，点A的坐标为；第三次转动后，点A的坐标为；第四次转动后，点A的坐标为；每次转动可知，4次一个循环，∵，∴转动2023次后，点A的坐标为，故选：A【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型．6．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分别过作轴的垂线，垂足分别为，则，证明，结合坐标性即可求解．【详解】解：如图所示，分别过作轴的垂线，垂足分别为，则

∵点坐标为，点坐标为，∴∵将线段绕点逆时针旋转至，∴，∴∴，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．7．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图，已知在正方形内有一点，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据旋转的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用勾股定理求出，即可解答．【详解】解：由旋转得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕着原点按逆时针方向旋转得到点，延长到，使得；再将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到，使得……·如此继续下去，点的坐标为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据每次旋转后线段的长度是原来的2倍求出，根据旋转角为求出每12次旋转，24个点为一个循环组依次循环，然后用2023除以24，再根据商和余数的情况确定出点在第二象限与轴正半轴夹角为，然后解答即可．【详解】解：点的坐标为，，，，，，，，点是第85循环组的第7个点，在第二象限，与轴正半轴夹角为，点的坐标为，，即，．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标的变化规律，读懂题目信息，理解点的规律变化是解题的关键．9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（

）．A． B． C． D．18【答案】C【分析】如图，连接，作于，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题．【详解】解：如图，连接，作于，于，∵绕点逆时针旋转得到，，，∴点的对应点是点，，，，又∵点是边的中点，∴，，∴，∵，∴，在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：，当点与重合时，的值最大，最大值为：，∴线段长度的最大值与最小值的差是：．故选：C．【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，等积变换，动点问题等知识．解题的关键是理解和掌握旋转变换的性质，学会用转化的思想思考问题．10．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（）①②③④四边形是平行四边形

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】顺次连接，连接交于点，得，于是，证明，即可判断①；由对称性可得：，则，由，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形是平行四边形，则，无法证明，即可判断②；四边形四边形，四边形四边形，四边形四边形，得到，则，即可判断③．【详解】解：如图，

顺次连接，连接，连接交于点，∵分别在四边形的各边上取中点，，，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∴，故①正确；由对称性可得：，，，四边形是平行四边形，故④正确；四边形是平行四边形，，无法证明，故②不正确；依题意，四边形四边形，四边形四边形，由题意得，四边形是由移动得到的，∵，∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的，∴，即在同一条直线上，，，∴，又∵四边形是由四边形移动后得到的，∴，，∵，∴，同理可得，，，∵，，∴四边形四边形，，∴，故③正确；故答案为：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在中，，，点在斜边的延长线上，如果将按顺时针方向旋转一定角度后能与重合，那么旋转角的度数是【答案】130【分析】先利用互余计算出，再根据旋转的性质得到等于旋转角，根据平角的定义得到，即可得到旋转角的度数．【详解】解：，，，绕点按顺时针方向旋转到的位置，等于旋转角，，旋转角的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，互余，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转一定的角度至处，此时点E，，恰好在同一条直线上，连接，若，则．【答案】2【分析】根据旋转的性质得出，设与交于点O，证明，得到和的长度，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵中，，∴由旋转的性质可得，∴，如图，设与交于点O，

∵，，，∴，∴，，∵∴，，由勾股定理可得，即，∴，，故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转图形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等，求出的长是解题的关键．13．（2023春·上海徐汇·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，那么将点M绕原点O逆时针旋转后与点N重合，那么点N的坐标是．【答案】【分析】分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，证明，得到，，从而可得点N的坐标．【详解】解：如图，分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，由旋转可知：，，∴，∵，∴，∴，又，∴，∵，∴，，∴，，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了点的旋转问题，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题关键在于能正确画出图形，构造全等三角形．14．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，在中，，．将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则度．

【答案】60【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据旋转的性质得出，再根据等边对等角得出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】解：，旋转到，，，，即旋转角n是，故答案为：60．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确求出的度数是解题的关键．15．（2023·宁夏·统考中考真题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：

①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是．【答案】①②③【分析】根据描述，作图，逐一进行判断即可；【详解】解：①如图：

点与点关于点中心对称；故①正确；②如图：

由图可知：，∴为等腰三角形，∵经过的中点，∴平分，故②正确；③如图，点到的距离为，点到的距离为，

∴，∴点，到线段的距离相等，故③正确；综上，正确的有①②③；故答案为：①②③．【点睛】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

【答案】/【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．【详解】解：∵为高上的动点．∴∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，∴∴∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则在中，，则，则当三点共线时，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．

(1)点关于坐标原点对称的点的坐标为_____________；(2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；并求出此时的长度．（结果保留根号）【答案】(1)(2)图见解析，【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案；（2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转以后的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的图形；连接则可利用勾股定理求得的长度．【详解】（1）解：∵，∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为．故答案为；（2）如图所示，即为所求作的图形．

连接，在中【点睛】此题考查了旋转作图，关于原点对称的点的坐标特征，用勾股定理求斜边长，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点，注意规范作图，难度一般．18．（2023·全国·九年级专题练习）在如图所示的正方形网格中有六个格点A，B，C，M，N，P，网格中每个小正方形的边长均为1．

(1)在图①中找到一个格点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；(2)在图②中找到一个格点Q，使得以点M，N，P，Q为顶点的四边形不是轴对称图形，且与全等．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）画正方形即可；（2）画即可．【详解】（1）解：如答图①中，四边形ABCD即为所求．（2）解：如答图②中，四边形MNPQ即为所求．

．【点睛】本题考查了利用轴对称设计方案、全等三角形的判定、正方形的性质，正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，熟练掌握轴对称和中心对称的性质和判定是解题的关键．19．（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图将绕着点A逆时针旋转得到．当点D恰好落在上时，连接．当，时，求证：．

【答案】证明见解析【分析】三角形的内角和定理求出，根据旋转的性质，得到，，进而得到，三角形的内角和定理求出，进而求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数，即可得证．【详解】解：∵，，∴，∵旋转，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，是解题的关键．20．（2020秋·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点在x轴上，点的坐标为（2，1）．将此矩形绕点逆时针旋转90°，得到矩形．（1）求过点、、的抛物线的解析式；

（2）将矩形沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．【答案】（1）（2，0）、（0，2）、（－1，0）;；（2）【分析】（1）先根据图象和题意求得点、、的坐标，再利用待定系数法代入抛物线一般式求得解析式；（2）设线段BC与抛物线的交点为P（m，1），将点P（m，1）代入抛物线解析式可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解.【详解】解：（1）∵四边形OABC和四边形都是矩形，∴OA＝OB，,∵B（2，1）∴A（2,0）∵矩形是矩形OABC旋转90°得到的∴矩形≌矩形OABC∴，故，设抛物线解析式为，将点、、的坐标代入得：解得：故抛物线解析式为：（2）设线段BC与抛物线的交点为P（m，1）将点P（m，1）代入抛物线解析式可得：即解得（负数舍去）故矩形沿x轴正方向平移个单位使点C落在抛物线上.【点睛】本题主要考查图形的旋转、二次函数图象及其性质、二次函数解析式、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识.21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是四边形的一条对角线，，，将绕点顺时针旋转到的位置（点是点的对应点）．(1)试说明：；(2)在所给图中画出，并求出的度数．【答案】(1)证明见解析(2)作图见解析，【分析】（1）由四边形的内角和等于可得结论；（2）根据旋转的性质说明为等腰直角三角形即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形的内角和等于，，∴，即；（2）解：如图所示，由旋转可知：，，，∴，又∵，∴，∴，，三点共线，∴为等腰直角三角形，∴，∴的度数为．【点睛】本题考查旋转的性质，四边形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质．掌握旋转的性质是解题的关键．22．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．（3）如图，在中，，，点