专题05【五年中考+一年模拟】二次函数压轴题-备战2023年长春中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题05二次函数压轴题1．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标；（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，求的取值范围；（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．2．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为．（1）当时，点的坐标是，抛物线与轴交点的坐标是；（2）若点在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；（3）当时，若函数的最小值为3，求的值；（4）分别过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点、．当抛物线与四边形的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点、点，且点的纵坐标大于点的纵坐标．若点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出的值．3．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数为常数）的图象与轴交于点．（1）求点的坐标．（2）当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．（3）当时，若函数为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．（4）设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为与不重合），过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．4．（2019•长春）已知函数为常数）（1）当，①点在此函数图象上，求的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．5．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点（点在点的左侧），经过、两点的函数的图象记为，函数的图象记为，其中是常数，图象、合起来得到的图象记为．设矩形的周长为．（1）当点的横坐标为时，求的值；（2）求与之间的函数关系式；（3）当与矩形恰好有两个公共点时，求的值；（4）设在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出的取值范围．6．（2022•绿园区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）当时，①抛物线的对称轴为直线，②抛物线上一点到轴的距离为4，求点的坐标③当时，函数值的取值范围是，求的值（2）设抛物线在上最低点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式及的取值范围．7．（2022•绿园区模拟）已知二次函数，点、点均在此二次函数的图象上，点的横坐标为，点的横坐标为，在点和点之间的图象为．（1）当时，①求二次函数图象的顶点坐标；②当时，求的取值范围．（2）所在的直线交轴于点，过点作轴于点，以、为邻边构造矩形，直接写出当抛物线的顶点落在矩形的边上时的值．（3）当图象上存在两个点到直线的距离为3，直接写出满足条件的的取值范围．8．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，且．（1）抛物线顶点坐标为（用含的代数式表示）．（2）当抛物线经过坐标原点时，①求此抛物线所对应的二次函数表达式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围．②点，在此抛物线上，当时，的最大值为5，最小值为，求的取值范围．（3）以、、、四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为，当时，直接写出的取值范围．9．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线、是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．（2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．①当是以为底的等腰三角形时，求的面积．②将此抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．（3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围．10．（2022•长春一模）将函数的图象记为图象．（1）设图象的最低点为，求点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当图象和轴有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围；（3）矩形的对称中心为坐标原点，且边均垂直于某条坐标轴，其中点的坐标为，当图象在矩形内部（包括边界）对应的函数值随的增大而减小时，设此时图象在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标和最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．11．（2022•长春一模）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为，与轴交点为．（1）当时，求点和点的坐标．（2）当时，随的增大而减小，则的取值范围为．（3）当时，若函数的图象最高点到轴的距离是其到轴距离的6倍，求的值．（4）若点、同时在这条抛物线上，且点、的横坐标分别为，3，分别作点、关于此抛物线对称轴的对称点、，连结、、、．当线段将△分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．12．（2022•双阳区一模）已知抛物线的图象记为，抛物线的图象记为，图象与图象合在一起记为为常数）．（1）当时，①若点在图象上，则的值为．②若函数值随的增大而增大，则的取值范围为．（2）若点在图象上，求的值．（3）当图象对应的函数最大值为2时，求的值．（4）图象上有两点和，点横坐标，点横坐标，以为对角线作顶点为、、、的矩形，其中轴，轴，当与关于直线恰好成轴对称时，请直接写出的值．13．（2022•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线交轴于点，顶点在线段上运动，当顶点与点重合时，点的坐标为，设点的横坐标为．（1）求的值．（2）用含的代数式表示点的纵坐标，并求当为何值时，点的纵坐标最小，写出最小值．（3）当点在轴的负半轴上且点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围．（4）过点作轴的垂线交抛物线于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．当的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出的取值范围．14．（2022•长春一模）抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为．以点为旋转中心，将点顺时针旋转得到点．（1）直接写出点的坐标为．（用含的式子表示）（2）试说明点为位置不变的定点，并求出点的坐标．（3）当时，求点的坐标．（4）当点在第三象限时，直接写出的取值范围．15．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点、、．其中，．（1）当时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当时，若该二次函数的最大值为4，求的值．（3）若同时经过点、、的圆恰好与轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．16．（2022•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）经过点和点，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与、重合．（1）求此抛物线所对应的函数表达式．（2）当点到轴的距离是点到轴距离的3倍时，求点的坐标．（3）设抛物线在、两点之间的部分记为图象（包含、两点），抛物线在、两点之间的部分记为图象（包含、两点）．当图象和图象的最低点的纵坐标的差为1时，求的取值范围．（4）设点的坐标为，点的坐标为，连结．当抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）与线段有1个公共点时，直接写出的取值范围．17．（2022•绿园区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．矩形的顶点坐标分别为，，，．（1）当抛物线经过点时，求该抛物线的解析式．（2）当矩形为正方形时，求点坐标．（3）当点在矩形的内部时，求的取值范围．（4）若抛物线在矩形内部的图象中随的增大而减小，求的取值范围．18．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，函数，是常数）的图象为，函数，是常数）的图象为．图象和组成图象．（1）当时，①求图象与轴交点坐标．②函数随的增大而减小时的取值范围为．（2）当时，①最低点与最高点的纵坐标的差的绝对值为3时，求的值．②分别过点、做轴的平行线、，直接写出图象与、有四个公共点时，的取值范围．19．（2022•宽城区校级二模）在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，且，图象，合起来得到的图象记为．（1）当图象的最高点到轴距离为1时，求的值；（2）当时，①若在图象上，求的值；②当时，图象对应函数的最大值为2，最小值为，直接写出的取值范围．（3）若图象中随的增大而增大，以，，为顶点的直角三角形的三边与图象有两个交点时，直接写出的取值范围．20．（2022•二道区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数为常数）．（1）求此函数图象的顶点坐标．（用含的式子表示）（2）当此函数图象与坐标轴只有两个公共点时，求的值．（3）设此函数图象与轴交于点，与直线交于点，此函数图象在、两点之间的部分（包含、两点）记为．①当的最低点到轴的距离等于2时，求的值．②把的最低点向上平移2个单位得到点，过点作轴的垂线，垂足为点，当与线段只有1个公共点时，直接写出的取值范围．21．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，函数为常数）的图象记为．（1）设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．（2）判断图象与轴公共点的个数，并说明理由．（3）当时，图象的最高点与最低点纵坐标之差为9，求的取值范围．（4）线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时的值．22．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）．（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围；（2）当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值．（3）当时，点是直线上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，以线段为边作正方形，使与轴在的同侧．若点落在抛物线上，求点的核坐标．（4）已知一个顶点的坐标分别为，，．当抛物线与的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．23．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）如果抛物线经过点．①求的值；②直接写出“区域”内整数点的个数；（2）当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；（3）当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．24．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的顶点坐标为点．（1）若抛物线经过点时，①求点的坐标；②当时，求的取值范围；（2）点和点为抛物线上两点，当时，求的取值范围；（3）点坐标为，点坐标为，以为直角边作等腰直角，使点与点位于轴两侧，，抛物线与边交于点，连结，当时，直接写出的值．25．（2022•二道区校级模拟）函数为常数）．（1）点在此函数图象上，求的值．（2）当时，直接写出随的增大而减小时的取值范围．（3）当函数最小值为时，求的值．（4）直接写出此函数图象与直线有3个公共点时的取值范围．26．（2022•二道区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，且经过点、，设此抛物线在和之间（包括、两点）的部分为图象．（1）当时，抛物线的顶点坐标为．（2）；．（3）当此抛物线的顶点在图象上时．①直接写出的取值范围．②当图象对应函数值的最小值为时，求的值以及此时图象最高点的坐标．（4）设点，以为边作正方形，其中和轴在的同侧，若图象在正方形内部的图象中，随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．27．（2022•宽城区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）．（1）当，在抛物线上，求的值．（2）当抛物线的最低点到直线的距离恰好是时，求的值．（3）已知、，连接．当抛物线与线段有交点时，记交点为（点不与、重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形．①若抛物线在矩形内部的图象的函数值随自变量的增大而减小时，求的取值范围．②当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出的值．28．（2022•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）抛物线的对称轴为直线．（2）当时，函数值的取值范围是，求和的值．（3）当时，解决下列问题．①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标．②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为，设的最高点、最低点的纵坐标分别为、，若，直接写出的取值范围．29．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数且．（1）当时，抛物线的顶点坐标为．（2）抛物线经过坐标原点时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．（3）当抛物线在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值．（4）点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．30．（2022•宽城区校级一模）在平面直角坐标系中，将函数，为常数）的图象记为．（1）当时，设图象上一点，求的值；（2）设图象的最低点为，，求的最大值；（3）当图象与轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为，则的取值范围是；（4）设，，，当图象与线段没有公共点时，直接写出的取值范围．31．（2022•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）．（1）当抛物线经过点时，求值．（2）当时，若，，则的取值范围是．（3）当时，若函数为常数）的图象最低点到直线的距离为1，求值．（4）、两点在抛物线上，横坐标分别为，，抛物线在，两点之间的部分（包含边界）记为图象，当图象最高点到轴的距离是最低点到轴距离的2倍时，直接写出的取值范围．32．（2022•二道区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数与图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．（1）若点的坐标为，①求此时二次函数的解析式．②当时，函数值的取值范围是，求的值．（2）将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．（3）已知直线，横坐标为的点在二次函数的图象上，二次函数的图象在，之间的部分记为（包括点，，图象上恰有2个点到直线距离为2时，直接写出的取值范围．33．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，过点作直线垂直于轴．（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；（2）将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，，，为图形上任意两点．①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；②若对于，，都有，求的取值范围；（3）当图象与直线恰好有3个公共点时，直接写出的取值范围．34．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且的顶点为，与轴交于点．（1）点的坐标为．（2）当，且时，若函数的最大值为5，求的值．（3）若抛物线与直线有公共点，将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，其他部分保持不变，得到新的图象．当图象上存在两个点到直线的距离为3时，求的取值范围．（4）当直线与抛物线交于点，抛物线在、之间的部分（包括、两点）记为图象，以为对角线构造矩形，且矩形的边所在的直线垂直于坐标轴．当过顶点和图象的最高点的直线将矩形的面积分为两部分时，直接写出的值．35．（2022•二道区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点．（1）抛物线经过的定点的坐标为．（2）当点在这个函数图象时，①求抛物线的函数关系式；②抛物线上有一点，连结、，若的面积为时，求点的坐标；③当时，函数的最大值与最小值的差是3，求的值；（3）在抛物线上的点、的横坐标分别为、4，连结，将线段绕点逆时针旋转的线段，以、为邻边作正方形．当抛物线在正方形内的部分所对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，直接写出的取值范围．专题05二次函数压轴题1．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标；（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，求的取值范围；（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或或【详解】（1）把代入，得到，该抛物线的解析式为；（2）如图1中，，抛物线的顶点为，对称轴为直线，，，故对称轴对称，，点的横坐标为，；（3）如图2中，点的横坐标为，，，，正方形的边在轴上，当点与重合时，由，解得或，，观察图象可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大．如图3中，当落在抛物线的对称轴上时，，观察图象可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小．综上所述，满足条件的的值为或；（4）如图中，当点时，满足条件，此时直线的解析式为，由，解得，或，点在第四象限，，，．如图中，当点，满足条件，此时直线是解析式为，由，解得，，，．解法二：过点作于点，设抛物线交于点．设，则．，，由，得到，．如图中，当正方形的边长为时，满足条件，此时，综上所述，满足条件的的值为或或．2．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为．（1）当时，点的坐标是，抛物线与轴交点的坐标是；（2）若点在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；（3）当时，若函数的最小值为3，求的值；（4）分别过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点、．当抛物线与四边形的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点、点，且点的纵坐标大于点的纵坐标．若点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出的值．【答案】（1），，；（2）抛物线的解析式为，当时，函数值随的增大而减小；（3）或；（4）或或【详解】（1）当时，，顶点，，令，得，抛物线与轴交点的坐标为，故答案为：，，；（2）点在第一象限，且，，且，解得：，抛物线的解析式为，当时，函数值随的增大而减小；（3）当时，若函数的最小值为3，分两种情况：，即时，或，即时，①当时，，解得：（舍或，②当时，，解得：，综上所述，的值为或；（4）、，抛物线，①当时，如图1，，，抛物线与四边形的边没有交点；②当时，如图2，，，抛物线的顶点在边边上，即抛物线与四边形的边只有一个交点；③当时，如图3，，，、，，，抛物线与四边形的边有两个交点，若点在边上，点在边上，令，则，或（不合题意，应舍去），，，，根据题意，得，解得：或（不合题意，应舍去）；④当时，如图4，点在边上，点在边上，，，，，则，解得：，，，⑤当时，如图5，，，点在边上，点在边上，，，，则，当时，得，△，该方程无解；当时，得，解得：或，当时，，不符合题意，舍去，综上所述，的值为或或．3．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数为常数）的图象与轴交于点．（1）求点的坐标．（2）当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．（3）当时，若函数为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．（4）设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为与不重合），过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．【答案】（1）；（2）当时，随的增大而增大；（3）或；（4）或【详解】（1）当时，，点的坐标为：；（2）将点代入，得：，解得：，函数的表达式为：，，抛物线的开口向上，对称轴为，如图1所示：当时，随的增大而增大；（3）抛物线的对称轴为：，顶点坐标为：，当时，对称轴在轴右侧，如图2所示：，最低点就是，图象的最低点到直线的距离为2，，解得：；当，对称轴在轴左侧，顶点就是最低点，如图3所示：，整理得：，解得：，（不合题意舍去）；综上所述，的值为或；（4），三个顶点的坐标分别为、、，直角边为与，抛物线的对称轴为：，，，当点在边上时，如图4所示：则，，点在对称轴的左侧，，，，解得：；当点在边上时，如图5所示：则，，解得：，，，，，解得：，（不合题意舍去）；综上所述，的值为或．4．（2019•长春）已知函数为常数）（1）当，①点在此函数图象上，求的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．【答案】（1）①；②；（2），时，图象与线段只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或或或【详解】（1）当时，，①将代入，；②当时，当时有最大值为5；当时，当时有最大值为；函数的最大值为；（2）将点代入中，，时，图象与线段只有一个交点；将点代入中，，将点代入中，，时图象与线段只有一个交点；综上所述：，时，图象与线段只有一个交点；（3）时，，函数图象如图实线所示．①如图1中，当点的纵坐标为4时，将点代入中，则有时，解得或（舍去），观察图象可知：时，满足条件的点恰好有四个，分别是，，，．②如图2中，观察图象可知，当时，恰好有四个点满足条件，分别是图中，，，．时，，函数图象如图中实线．③如图3中，当点的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中，，，．则有：时，解得或（舍弃）④如图4中，当时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中，，，．综上所述，函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或或或．5．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点（点在点的左侧），经过、两点的函数的图象记为，函数的图象记为，其中是常数，图象、合起来得到的图象记为．设矩形的周长为．（1）当点的横坐标为时，求的值；（2）求与之间的函数关系式；（3）当与矩形恰好有两个公共点时，求的值；（4）设在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）20；（4）【详解】（1）由题意，，把代入中，得到，．（2）抛物线的对称轴，，矩形的对称中心为坐标原点，，，．（3）当与矩形恰好有两个公共点，抛物线的顶点在线段上，，或（舍弃），．（4）的顶点，过点，顶点，过点．①当，最高点是抛物线的顶点时，若，解得或（舍弃），若时，或（舍弃），又，观察图象可知满足条件的的值为，②当时，当是最高点，则，解得，与条件矛盾，此时是最高点，，解得，③当时，若是最高点，则，解得与条件矛盾．此时是最高点，，解得，综上所述，，．6．（2022•绿园区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）当时，①抛物线的对称轴为直线，②抛物线上一点到轴的距离为4，求点的坐标③当时，函数值的取值范围是，求的值（2）设抛物线在上最低点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式及的取值范围．【答案】（1）①；②，，，或；③；（2）【详解】（1）当时，抛物线的解析式为．①抛物线的对称轴为直线．故答案为：．②当时，，解得：，，点的坐标为，或，；当时，，解得：，点的坐标为．综上所述：点的坐标为，，，或．③当时，值随值的增大而减小，且函数值的取值范围是，，解得：，（舍去），的值为．（2）抛物线的对称轴为直线，分三种情况考虑：①当，即时，如图1，在上，值随值的增大而增大，；②当，即时，如图2，；③当，即时，如图3，在上，值随值的增大而减小，．综上所述：．7．（2022•绿园区模拟）已知二次函数，点、点均在此二次函数的图象上，点的横坐标为，点的横坐标为，在点和点之间的图象为．（1）当时，①求二次函数图象的顶点坐标；②当时，求的取值范围．（2）所在的直线交轴于点，过点作轴于点，以、为邻边构造矩形，直接写出当抛物线的顶点落在矩形的边上时的值．（3）当图象上存在两个点到直线的距离为3，直接写出满足条件的的取值范围．【答案】（1）①；②；（2）当时，顶点在直线的右侧，此时顶点不能落在矩形的边上；（3）当，即，顶点在边上时，；或时，图象上存在两个点到直线的距离为3【详解】（1）①当时，，顶点为；②，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值1，；（2），顶点为，点的横坐标为，，点的横坐标为，，轴，，设直线的解析式为，，解得，，以、为邻边构造矩形，，当时，顶点在直线的右侧，此时顶点不能落在矩形的边上；当，即，顶点在边上时，；（3）如图1，当，即时，，解得或，当时，，时，解得时，图象上存在两个点到直线的距离为3；如图2，当时，即，，，解得；综上所述：或时，图象上存在两个点到直线的距离为3．8．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，且．（1）抛物线顶点坐标为（用含的代数式表示）．（2）当抛物线经过坐标原点时，①求此抛物线所对应的二次函数表达式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围．②点，在此抛物线上，当时，的最大值为5，最小值为，求的取值范围．（3）以、、、四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为，当时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）①当时，函数值随的增大而减小；②；（3）或时，【详解】（1），抛物线的顶点坐标为，故答案为：；（2）①抛物线经过坐标原点，，解得或（舍，抛物线的解析式为，，当时，函数值随的增大而减小；②，当时，，当时，，当时，，解得或，当时，的最大值为5，最小值为，；（3）由（1）知，抛物线的顶点坐标为，当时，或，时，抛物线与矩形有公共部分，当时，或，，当时，如图1，当时，函数有最低点，最低点的纵坐标为，当时，函数有最高点，最高点的纵坐标为，，，当时，；当时，如图2，函数与边有公共点，函数的最高点在轴上，坐标轴为0，最低点的纵坐标为，，解得或，时，；综上所述：或时，．9．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线、是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．（2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．①当是以为底的等腰三角形时，求的面积．②将此抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．（3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为：，顶点的坐标为；（2）①；②或或；（3）当或时，抛物线与矩形有3个交点【详解】（1）把和代入，得：，解得：，抛物线对应的函数表达式为：，，顶点的坐标为；（2）①当时，，．当是以为底的等腰三角形时，则，又点在抛物线对称轴上，点、点关于直线对称，，点的横坐标为，，解得：，，，由（1）得，，；②，，．当点是最高点，即或时，则；当点是最高点，即时，则，综上，与之间的函数关系式为：或或；（3）①当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有3个交点；②当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有2个交点；③当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有2个交点；④当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有2个交点；⑤当时，点在抛物线上，此时矩形与抛物线有3个交点；⑥当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有4个交点；⑦当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有3个交点经过抛物线的顶点）；⑧当时，则，，如图：此时矩形与抛物线有2个交点．综上，当或时，抛物线与矩形有3个交点．10．（2022•长春一模）将函数的图象记为图象．（1）设图象的最低点为，求点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当图象和轴有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围；（3）矩形的对称中心为坐标原点，且边均垂直于某条坐标轴，其中点的坐标为，当图象在矩形内部（包括边界）对应的函数值随的增大而减小时，设此时图象在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标和最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．【答案】（1）；（2）或；（3）【详解】（1），当时，最低点为图象顶点，即时，点坐标为，，当时，，最低点为抛物线与直线的交点．（2）当抛物线与轴有两个交点时，，解得或，当时，抛物线与直线交点在轴下方满足题意，当时，抛物线与直线交点在轴上方不满足题意．．当抛物线与轴有一个交点时，，解得或，抛物线与直线交点在轴上或轴上方，满足题意．综上所述，或．（3）①抛物线经过定点，点坐标为，点坐标为，当时，直线在顶点右侧，当图象在矩形内部对应的函数值随的增大而逐渐减小时，，即，解得，满足题意．图象与矩形最高点纵坐标为，最低点纵坐标为抛物线与直线交点纵坐标，，．当时，满足题意，此时图象最低点为，抛物线与直线交点为，当时，，此时抛物线与矩形交点最高点纵坐标为，．当时，，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为，．综上所述，．11．（2022•长春一模）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为，与轴交点为．（1）当时，求点和点的坐标．（2）当时，随的增大而减小，则的取值范围为．（3）当时，若函数的图象最高点到轴的距离是其到轴距离的6倍，求的值．（4）若点、同时在这条抛物线上，且点、的横坐标分别为，3，分别作点、关于此抛物线对称轴的对称点、，连结、、、．当线段将△分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．【答案】（1）抛物线顶点坐标为，点坐标为；（2）；（3）或或；（4）或【详解】（1）当时，，抛物线顶点坐标为，将代入得，点坐标为．（2），抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下，时，随增大而减小，，故答案为：．（3），抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，时，抛物线顶点为最高点，，解得，，当，时，将代入得，图象最高点为，，解得．综上所述，的值为或或．（4）①如图，点在点上方，设与交于点，由抛物线的对称性可得点在对称轴上，当时，满足题意，，解得，当点在点上方时，则，，解得．综上所述，或．12．（2022•双阳区一模）已知抛物线的图象记为，抛物线的图象记为，图象与图象合在一起记为为常数）．（1）当时，①若点在图象上，则的值为．②若函数值随的增大而增大，则的取值范围为．（2）若点在图象上，求的值．（3）当图象对应的函数最大值为2时，求的值．（4）图象上有两点和，点横坐标，点横坐标，以为对角线作顶点为、、、的矩形，其中轴，轴，当与关于直线恰好成轴对称时，请直接写出的值．【答案】（1）①；②；（2）0或；（3）1或或；（4）或【详解】（1）当时，的解析式为，①点在图象上，，即；②的对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小，的对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，函数值随的增大而增大，则的取值范围为．故答案为：①；②；（2）当时，解得或（舍去）；当时，，解得，的值为0或；（3）①当最大值在时，对称轴为直线，开口向下，当时，最大值在时取得，即，解得，舍去；当时，最大值在时取得，即，解得；②当最大值在时，对称轴为直线，开口向下，当时，最大值在时取得，即，解得或；当当时，最大值在时取得，即，解得（舍去），综上所述，的值为1或或；（4）由题意可知：、关于直线对称，垂直平分，以、、、为顶点作矩形，四边形为正方形，，①当时，，即在上，点在上，，，，，，，，整理得：，，故无解；②当时，，故分情况讨论：、当，时，此时，即在上，点在上，，，，，，，整理得：，解得：或（舍去）；、当，，且时，此时，且即、在上，，，，，，，整理得：，，解得：或（舍去）；（舍去）或（舍去），综上所述：或．13．（2022•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线交轴于点，顶点在线段上运动，当顶点与点重合时，点的坐标为，设点的横坐标为．（1）求的值．（2）用含的代数式表示点的纵坐标，并求当为何值时，点的纵坐标最小，写出最小值．（3）当点在轴的负半轴上且点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围．（4）过点作轴的垂线交抛物线于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．当的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）当为时，点的纵坐标最小，最小值为；（3）当点在轴的负半轴上且点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围是；（4）且或且或【详解】（1）顶点与点重合，即，设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，的值为．（2）设直线的解析式为，、，，解得：，直线的解析式为，顶点在线段上运动，点的横坐标为，，在平移过程中，抛物线的形状、开口方向和开口大小都不变，在平移的过程中，不变，抛物线解析式为，当时，，点的纵坐标为；当时，，当为时，点的纵坐标最小，最小值为．（3）当点在轴的负半轴上时，，即，令，即，解得：，，的图象开口向上，当时，，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当点在轴的负半轴上且点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围是．（4）点在线段上，其横坐标为，点的坐标为，，轴，，故，点在抛物线上，点的坐标为，绕点顺时针旋转得线段，，，是等腰直角三角形，点在线段上运动，①当点在第三象限，点在轴下方时，的边与坐标轴没有公共点，如图1，②当点在第三象限，点在轴上时，点的坐标为，如图2，，，此时点在轴上，在线段上，，轴，，，四边形是正方形，在抛物线上，，解得：，，，，即当时，点在轴上，点在轴上，的边与坐标轴存在两个公共点，即点和点；③当点在第三象限，点在轴上方且不经过原点时，的边与坐标轴存在四个公共点，如图3，若经过原点，则，解得：，此时点的横坐标满足：且；④当点与坐标原点重合时，的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，的边与坐标轴有无数多个公共点，如图4，⑤当点在第一象限时，的边与坐标轴没有公共点，如图5，⑥当点在第一象限时，的边与坐标轴有2个公共点，如图6，⑦当点在第一象限且时，的边与坐标轴有4个公共点，如图7，综上所述，当的边与坐标轴存在四个公共点时，的取值范围是：且或且或．14．（2022•长春一模）抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为．以点为旋转中心，将点顺时针旋转得到点．（1）直接写出点的坐标为．（用含的式子表示）（2）试说明点为位置不变的定点，并求出点的坐标．（3）当时，求点的坐标．（4）当点在第三象限时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）当时，，，当时，，；（4）【详解】（1），，故答案为：；（2）当时，，，，，，点在点的左侧，；（3）如图，当时，过点作，作于，作于，，，，，，，，，，，当时，，综上所述：点，，，当时，，，当时，，；（4）在第三象限，，．15．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点、、．其中，．（1）当时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当时，若该二次函数的最大值为4，求的值．（3）若同时经过点、、的圆恰好与轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．【答案】（1）①；②；（2）1或；（3）或【详解】（1）①、，、两点关于抛物线对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线，故答案为：；②设，，、，将点、、代入，，解得，；（2）、两点关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，将点代入，，，，当时，，当时，函数有最大值，，；当时，，当时，函数有最大值，，解得；综上所述：的值为1或；（3）、、，，，，是等腰直角三角形，且，过点、、的圆是以的中点为圆心，为半径，如图1，当时，与轴相切，，，；如图2，当时，与轴相切，，，；综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为或．16．（2022•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）经过点和点，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与、重合．（1）求此抛物线所对应的函数表达式．（2）当点到轴的距离是点到轴距离的3倍时，求点的坐标．（3）设抛物线在、两点之间的部分记为图象（包含、两点），抛物线在、两点之间的部分记为图象（包含、两点）．当图象和图象的最低点的纵坐标的差为1时，求的取值范围．（4）设点的坐标为，点的坐标为，连结．当抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）与线段有1个公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2），或，或；（3）或；（4）或时，抛物线在、两点之间的部分与线段有1个公共【详解】（1）将点、点代入，，解得，；（2）点的横坐标为，，到轴的距离为，到轴距离为1，，解得或或，点坐标为，或，或；（3）当时，，解得或，，当时，，解得或，，①如图1、图2，当时，图象的最低点为点，纵坐标为，图象的最低点为顶点，纵坐标为，纵坐标的差为1，时，纵坐标的差为1；②如图3，当时，图象的最低点为点，纵坐标为，图象的最低点为顶点，纵坐标为，纵坐标的差小于1；③如图4，当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为，图象的最低点为点，纵坐标为，，解得或（舍，时，纵坐标的差为1；④如图5，当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为，图象的最低点为点，纵坐标为1，纵坐标的差大于1；综上所述：或时满足题意；（4）当时，，当点在点上方时，抛物线在、两点之间的部分与线段有1个公共点，，解得或，时，抛物线在、两点之间的部分与线段有1个公共点；当时，当点在点上方时，点在线段下方，，，解得，，抛物线在、两点之间的部分与线段有1个公共点；综上所述：或时，抛物线在、两点之间的部分与线段有1个公共点．17．（2022•绿园区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．矩形的顶点坐标分别为，，，．（1）当抛物线经过点时，求该抛物线的解析式．（2）当矩形为正方形时，求点坐标．（3）当点在矩形的内部时，求的取值范围．（4）若抛物线在矩形内部的图象中随的增大而减小，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）或；（3）；（4）【详解】（1）抛物线经过点，，解得：，，该抛物线的解析式为或．（2）矩形为正方形，，，解得：或，该抛物线的解析式为或，，，抛物线顶点的坐标为或．（3），抛物线顶点的坐标为，点在矩形的内部，，解得：，的取值范围为．（4），抛物线开口向上，顶点的坐标为，对称轴为直线，抛物线在矩形内部的图象中随的增大而减小，，解得：，由，解得：或（舍去），．18．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，函数，是常数）的图象为，函数，是常数）的图象为．图象和组成图象．（1）当时，①求图象与轴交点坐标．②函数随的增大而减小时的取值范围为．（2）当时，①最低点与最高点的纵坐标的差的绝对值为3时，求的值．②分别过点、做轴的平行线、，直接写出图象与、有四个公共点时，的取值范围．【答案】（1）①和，；②或；（2）①或；②，【详解】（1）当时，①，，当时，，解得（舍或，当时，，解得（舍或，图像与轴交点坐标为和，，②由图象知，函数随的增大而减小时的取值范围为或，故答案为：或；（2）①当时，，，当时，，根据题意和，解得或（舍，，解得或（舍，的值为或，②由图象知，图象与、有四个公共点时，的取值范围为，．19．（2022•宽城区校级二模）在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，且，图象，合起来得到的图象记为．（1）当图象的最高点到轴距离为1时，求的值；（2）当时，①若在图象上，求的值；②当时，图象对应函数的最大值为2，最小值为，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）①的值为或；②【详解】图象，对称轴，当时．，的最高点坐标为，最高点到轴距离为，即，解得（不合题意）或；；（2）①时．①②当时，代入②式，得，化简，得，解得或（舍；当时，代入①式，得，化简得：，解得或（舍，综上所述：的值为或．②的取值范围是．20．（2022•二道区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数为常数）．（1）求此函数图象的顶点坐标．（用含的式子表示）（2）当此函数图象与坐标轴只有两个公共点时，求的值．（3）设此函数图象与轴交于点，与直线交于点，此函数图象在、两点之间的部分（包含、两点）记为．①当的最低点到轴的距离等于2时，求的值．②把的最低点向上平移2个单位得到点，过点作轴的垂线，垂足为点，当与线段只有1个公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）①2或；②或或时，与线段只有1个公共点【详解】（1），抛物线的顶点坐标为；（2）令，则，函数图象与坐标轴只有两个公共点，抛物线与轴只有一个交点，△，解得；（3）①令，则，，当时，，，当时，抛物线的对称轴为直线，，，点为图象的最低点，，解得（舍或；当时，，抛物线的顶点为图象的最低点，，解得（舍或或（舍，；综上所述：的值为2或；②当时，最低点为，，，当时，，此时与线段只有1个公共点；当时，即时，此时与线段只有1个公共点；当时，，的最低点为顶点，，，当时，，此时点始终在点上方，当时，与线段只有1个公共点；综上所述：或或时，与线段只有1个公共点．21．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，函数为常数）的图象记为．（1）设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．（2）判断图象与轴公共点的个数，并说明理由．（3）当时，图象的最高点与最低点纵坐标之差为9，求的取值范围．（4）线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）四边形周长的最小值为，此时的值为3【详解】（1）经过点，解得：或4．，．此函数的表达式为．，此函数图象的顶点坐标为；（2）图象与轴公共点的个数为两个，理由：令，则，△，方程由两个不相等的实数根，即抛物线图象与轴有两个公共点；（3），抛物线的顶点为．①当时，由于，则，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，由题意得：，解得：，均不符合题意，舍去；②当时，则，且，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，由题意得：，符合题意，当时符合题意；③时，，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，由题意得：，解得：，不合题意，舍去，综上，的取值范围为：；（4）令，则，解得：或，点在点左侧，，．．如图，，当四边形的周长最小时，即最小．将点向左平移四个单位得到，则，，，四边形为平行四边形，，．作点关于轴的对称点，连接，则，由将军饮马模型可知：此时，取得最小值为．，四边形的周长的最小值为：；设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，令，则，，此时，，．四边形周长的最小值为，此时的值为3．22．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）．（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围；（2）当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值．（3）当时，点是直线上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，以线段为边作正方形，使与轴在的同侧．若点落在抛物线上，求点的核坐标．（4）已知一个顶点的坐标分别为，，．当抛物线与的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或或；（4）或【详解】（1），抛物线的顶点为，抛物线的顶点在第二象限，，解得；（2）当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且抛物线对称轴，，当时，，当时，，当时有最小值，，解得，，为整数，；（3）设点坐标为，则点的坐标为，或．或，或，解得或或（舍．点的横坐标为或或；（4）抛物线，抛物线顶点坐标为，顶点运动轨迹为直线，抛物线与轴交点坐标为，如图，当抛物线经过点时，，解得（舍或，增大，当抛物线经过点时，，解得或（舍，满足题意．继续增大，抛物线与三角形无交点，当抛物线经过点时，，解得（舍或，增大，当抛物线经过点时，（舍或，．综上所述，或．23．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）如果抛物线经过点．①求的值；②直接写出“区域”内整数点的个数；（2）当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；（3）当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．【答案】（1）①；②“区域”内整数点共有6个；（2）当时，“区域”内有4个整数点；（3）或【详解】（1）①抛物线经过点，，解得；②，，令，则，解得或，，，当时，，在轴上有整点，，当时，，在的直线上有整点，，当时，，在的直线上有整点，，综上所述：“区域”内整数点共有6个；（2）令，则，解得或，，，，抛物线的对称轴为直线，“区域”内有4个整数点，在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，，，解得，当时，“区域”内有4个整数点；（3）当时，，，点向左平移5个单位长度得到点，，，，抛物线的对称轴为直线，当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，点与抛物线的顶点始终在的两侧，点在点上方，，过点作交于，为等腰直角三角形，，，，，设，则，，，，，，，，，点在抛物线上，，解得或．24．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的顶点坐标为点．（1）若抛物线经过点时，①求点的坐标；②当时，求的取值范围；（2）点和点为抛物线上两点，当时，求的取值范围；（3）点坐标为，点坐标为，以为直角边作等腰直角，使点与点位于轴两侧，，抛物线与边交于点，连结，当时，直接写出的值．【答案】（1）①顶点；②当时，；（2）或时，；（3）或【详解】（1）①抛物线经过点，，解得，，，顶点；②由①可知抛物线的对称轴为直线，当时函数有最大值2，当时，函数有最小值，当时，；（2），抛物线的对称轴为直线，当时，，，，，，；当时，，，，，；综上所述：或时，；（3）当时，，，是等腰直角三角形，且，，，，，点在抛物线上，，解得（舍或，；当时，时，与抛物线有交点，，，，，，点在抛物线上，，解得或（舍，；综上所述：的值为或．25．（2022•二道区校级模拟）函数为常数）．（1）点在此函数图象上，求的值．（2）当时，直接写出随的增大而减小时的取值范围．（3）当函数最小值为时，求的值．（4）直接写出此函数图象与直线有3个公共点时的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）或（4）或【详解】（1）把代入得：，（2）当时，，当时，的对称轴为直线，抛物线开口向上，时随的增大而减小，满足题意．当时，的对称轴为直线，同理可得时随的增大而减小，或．（3）抛物线与的对称轴为直线，当时，即时，函数最小值为与抛物线的交点纵坐标，，解得或（舍．当时，，函数最小值为与抛物线的交点纵坐标，，解得（舍或．综上所述，或．（4）①当时，如图，不存在函数图象与直线有3个公共点．②当时，如图，把代入得，把代入入得，，解得或．26．（2022•二道区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，且经过点、，设此抛物线在和之间（包括、两点）的部分为图象．（1）当时，抛物线的顶点坐标为．（2）；．（3）当此抛物线的顶点在图象上时．①直接写出的取值范围．②当图象对应函数值的最小值为时，求的值以及此时图象最高点的坐标．（4）设点，以为边作正方形，其中和轴在的同侧，若图象在正方形内部的图象中，随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2），；（3）①或时，抛物线的顶点在图象上；②当时，图象的最高点是；当时，图象的最高点是；（4）或或时，图象在正方形内部的图象中，随的增大而增大或增大而减小【详解】（1），，抛物线的顶点为，故答案为：；（2）将代入，，将代入，，，故答案为：，；（3）①，抛物线的顶点为，当时，，点始终在顶点的右侧，抛物线的顶点在图象上，；当时，，点始终在顶点的左侧，点，点始终在顶点的右侧，顶点始终在上；综上所述：或时，抛物线的顶点在图象上；②当时，点是图象的最低点，，解得，此时，顶点是图象的最高点；当时，顶点是图象的最低点，，解得，此时点是图象的最高点，；综上所述：当时，图象的最高点是；当时，图象的最高点是；（4），，，平行轴，以为边作正方形，其中和轴在的同侧，点在点上方，，，，如图1，抛物线的顶点为，当点与顶点重合时，，随的增大而增大或随的增大而减小时，，当点与点重合时，，解得，时，图象在正方形内部的图象中，随的增大而增大；如图2，当点在点下方时，，，，当点在抛物线上时，，，当点经过时，，，时，图象在正方形内部的图象中，随的增大而减小；如图3，当时，当点与顶点重合时，；当、重合时，，解得；时，图象在正方形内部的图象中，随的增大而增大；综上所述：或或时，图象在正方形内部的图象中，随的增大而增大或增大而减小．27．（2022•宽城区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）．（1）当，在抛物线上，求的值．（2）当抛物线的最低点到直线的距离恰好是时，求的值．（3）已知、，连接．当抛物线与线段有交点时，记交点为（点不与、重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形．①若抛物线在矩形内部的图象的函数值随自变量的增大而减小时，求的取值范围．②当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）或或；（3）①或；②或或【详解】（1）将，代入可得：，．（2），抛物线顶点坐标为，抛物线的最低点到直线的距离恰好是，，解得：或或；（3）①所在直线解析式为，将代入，得，点坐标为，当点在点上方时，，解得：，，点横坐标为，，抛物线对称轴在点右侧，满足题意，．当点在点下方时，，解得：，，点横坐标为，当抛物线经过点时，，解得：，满足题意．综上所述，或；②由①得的横坐标为，的坐标为，，当，抛物线经过点时，将，代入抛物线解析式得：，解得或（舍，抛物线与直线交点为，，当时，抛物线与矩形交点最高点为点，最低点纵坐标为1，则时，解得（舍，当点为最高点，抛物线与交点为最低点时，则，解得：（舍或．当时，抛物线经过点时，，时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点纵坐标为，当时，．当时，抛物线与直线交点，为最高点，点为最低点，当时，解得：（舍或，综上所述，或或．28．（2022•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）抛物线的对称轴为直线．（2）当时，函数值的取值范围是，求和的值．（3）当时，解决下列问题．①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标．②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为，设的最高点、最低点的纵坐标分别为、，若，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2），=5；（3）①，或，；②【详解】（1）函数的对称轴为：，故答案为；（2）函数对称轴为，当时，函数值的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：，故抛物线的表达式为：，则；（3）①抛物线上一点到轴的距离为6，而顶点坐标为，故，解得：，故点的坐标为，或，；②设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，点，点，则点，当点在点下方时，，，函数的最高点为，最低点为，则，解得：，故；当点在点上方时，同理可得：；故．29．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数且．（1）当时，抛物线的顶点坐标为．（2）抛物线经过坐标原点时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．（3）当抛物线在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值．（4）点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）当函数值随的增大而增大时的取值范围是；（3）或；（4）或1或【详解】（1），抛物线的顶点为．当时，抛物线的顶点为．故答案为：．（2）抛物线经过原点，将代入抛物线得，，（舍去）或，抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线，且，当函数值随的增大而增大时的取值范围是；（3）由抛物线的性质可知，当与时，相等且；①当时，，抛物线的最高点在处取得，此时，解得．不符合题意，舍去；②当时，，抛物线的最高点在处取得，此时，解得．（负值舍去）．③当时，，此时抛物线的最高点在取得，，解得（舍去），④当时，，抛物线的最高点在处取得，，解得．或综上，的值为或．（4）由（1）知抛物线的顶点坐标为，．①当，时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；②当时，，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；③时，时，需要分以下两种情况：抛物线与直线有两个交点，如图，若，则，，，．，解得．抛物线与矩形相邻两边有交点，如图所示，此时，，解得（舍去）或．④当时，如图所示：此时，，整理得，，，解得或（舍去），综上可知，的取值为或1或．30．（2022•宽城区校级一模）在平面直角坐标系中，将函数，为常数）的图象记为．（1）当时，设图象上一点，求的值；（2）设图象的最低点为，，求的最大值；（3）当图象与轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为，则的取值范围是；（4）设，，，当图象与线段没有公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）或【详解】（1）当时，，把代入，得，解得或；（2）当时，，对称轴为直线，，点坐标为，此时，，当时，，，的最大值为，综上所述，的最大值为；（3）图象与轴有两个交点，△，或（不合题意舍去），当抛物线的点的在轴上时，则△，（舍去），，抛物线对称轴为直线，且，当图象与轴有两个交点时，的取值范围是，故答案为；（4）结合（2），抛物线的最低点的最大值为，，线段在图象内部，，解得：或．31．（2022•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）．（1）当抛物线经过点时，求值．（2）当时，若，，则的取值范围是．（3）当时，若函数为常数）的图象最低点到直线的距离为1，求值．（4）、两点在抛物线上，横坐标分别为，，抛物线在，两点之间的部分（包含边界）记为图象，当图象最高点到轴的距离是最低点到轴距离的2倍时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或或【详解】（1）抛物线经过点，，解得：；（2）当时，，顶点坐标为，当时，当，，当，或4，，，故答案为：；（3），当时，当时，函数的图象最低点到直线的距离为1，，解得：；当时，当时，函数的图象最低点到直线的距离为1，，，当时，解得：或（舍去），当时，△，无解；综上所述，的值为或．（4）由题意得：，，，当时，抛物线的对称轴为直线，①若，则图象最高点为，最低点为为顶点，，恒成立；；②若，即时，则图象最高点为，最低点为，，，解得：（舍去），③若，即时，则图象最高点为，，最低点为，，解得：（舍去），，（舍去），（舍去）；④若，则图象最高点为，，最低点为顶点，，解得：（舍去）或（舍去），⑤若，则图象最高点为，最低点为顶点，，恒成立；综上所述，的取值范围为或或．32．（2022•二道区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数与图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．（1）若点的坐标为，①求此时二次函数的解析式．②当时，函数值的取值范围是，求的值．（2）将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．（3）已知直线，横坐标为的点在二次函数的图象上，二次函