爱提分中考复习 4一轮-图形的性质-第02讲 全等三角形(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱全等三角形知识精讲一．三角形基本知识1． 三角形三边关系（1）三角形任何两边的和大于第三边（2）三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．2．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．推论1：直角三角形的两个锐角互余．推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3．三角形的外角三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．4．三角形角平分线相关结论：（1）两条内角平分线相交（如图1）结论：（2）两条外角平分线相交（如图2）结论：（3）内角平分线与外角平分线相交（如图3）结论：二．全等三角形的性质和判定1．全等三角形的判定方法：（1）边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（2）角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（3）边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．（4）角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．角平分线的性质（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．3．全等三角形中的辅助线（1）倍长中线构造全等（2）角平分线构造全等三．等腰/等边三角形性质和判定1．等腰三角形的性质和判定（1）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．性质3：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高．（2）等腰三角形的判定判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）；判定2：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；2．等边三角形的性质和判定（1）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于．（2）等边三角形判定判定1：如果一个三角形的三个角都相等，那么它是等边三角形．判定2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．方法点拨1．对于三角形中角度的计算，常常利用添加不同辅助线的办法，把大角划为小角，或把不规则图形转化为规则图形，从而挖掘或联系相关性质解题．三角形或者星形中常见辅助线的作法如下：三点剖析一．考点：三角形三边关系，全等三角形的性质及判定，等腰三角形和等边三角形的性质和判定二．重难点：全等三角形的性质及判定，等腰/等边三角形的性质和判定三．易错点：1．全等三角形的对应边和对应角不正确；2．三角形三边关系应用不正确．三角形基本知识例题例题1、方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定【答案】C【解析】解方程x2-9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．例题2、正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意画出图形，如下图所示：过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形．又AC1=AC-CC1=3-1=2，AD=1，∴点D为AC1的中点，∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，∴S△A1B1C1=S△ABC-S△AA1C1-S△CC1B1-S△BB1A1=×32-3×=．故选B．例题3、中，，AE平分，，CG是外角的平分线，若，则__________AABCDEFG【答案】【解析】该题考查的是角度计算．∵，∴，∵，∴；∵CG是△ABC外角的平分线，∴，在△ACG中，，即，又∵，∴，∴．例题4、在中，平分，点为直线上一动点，于点（1）如图1，当，，点与点重合时，；（2）如图2，当点在延长线时，求证：；（3）如图3，当点在边所示位置时，请直接写出与，等量关系式.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】该题考查的是角度的计算．（1）∵，，∴，∵BO平分，∴，∴，∴………1分（2）作射线AO，如图，∵，，∴∵，∴，∴即，∵BO平分，∴，∵∴，∴．∵，∴………5分（3）记CP与BO的交点为M，∵，BO平分，∴，∴，∴，∴…………6分随练随练1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A.2cm＜OA＜5cmB.2cm＜OA＜8cmC.1cm＜OA＜4cmD.3cm＜OA＜8cm【答案】C【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∴OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，∴1cm＜OA＜4cm．故选C．随练2、(2013初二上期中第二十中学)如图，△ABC中，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为，则△BPC的面积为（）AAPBDCA.B.C.D.【答案】B【解析】该题考查的是面积计算．∵，∴△ABD为等腰三角形，∵AD平分，由等腰三角形三线合一可知：P为AD的中点，即，则△ABP与△BPD等底同高，即，同理，∴，所以本题答案的是B．随练3、如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=____°．【答案】66.5【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），∴∠AEC=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°；故答案是：66.5°．随练4、在中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，于点N．将记为，记为，记为．（1）如图1，若，，则__________°，___________°；（2）如图2，猜想与的数量关系，并证明你的结论；（3）若，，用含和的代数式表示的度数．（直接写出结果即可）【答案】（1）20；55（2）；见解析（3）【解析】该题考查的是三角形中角的计算．解：在中，∵CE平分，∴，，在中，，∵BD平分，∴∵，∴，∴，（2）与的数量关系是：证明：∵在中，BD，CE是它的两条角平分线，∴，，∵于点N，∴，∴在中，，∴，，∵在中，，∴；（3）∵BD，CE是的两条角平分线，∴，，在和中，，，∴，∵，∴，整理得，，∴．全等三角形的性质和判定例题例题1、已知，如图，在四边形ABCD中，，，E、F分别是线段BC、CD上的点，且．求证：【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质．延长FD到H，使，∵，，∴又∵，可得：△ABE≌△ADH（SAS），∴又∵，AF为公共边，故△AEF≌△AHF（SSS），故．例题2、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A.44°B.66°C.88°D.92°【答案】D【解析】∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，例题3、如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEPF=S△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有____．【答案】①②③⑤【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正确；②由①知，△AEP≌△CFP，∴∠APE=∠CPF．正确；③由①知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；④只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．正确．故正确的序号有①②③⑤．例题4、如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____．【答案】60°【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°，故答案为：60°．例题5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】（1）正确，见解析（2）正确，见解析【解析】正确．（1分）证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．（2分）∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），（5分）∴AE=EF．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．（8分）∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA）（10分）∴AE=EF．（11分）例题6、已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且，连接BE、EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为________．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】该题考查的是三角形综合．（1）猜想BE与EF的数量关系为，．………….1分（2）猜想．将线段BE绕点B顺时针旋转，得线段，连接，，……………2分∴△为等边三角形，∴，又∵△ABC为等边三角形，∴，，∴，∴△ABE≌△（SAS），…………...……3分∴，，又∵，∴，∵，，∴，∵∴△≌△ECF（SAS），…………………4分∴．∴．………………….5分（3）猜想．将线段BE绕点B顺时针旋转，得线段，连接，，∴△为等边三角形，∴,又∵△ABC为等边三角形，∴，，∴,∴△ABE≌△（SAS），∴，，又∵，∴，∵，，∴，∵∴△≌△ECF（SAS），………………6分∴．又∵，∴．……………….7分随练随练1、如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有____A.3对B.4对C.5对D.6对【答案】B【解析】E是CD中点，DE=EC，矩形ABCD，可得AD=BC，AB=CD，∠DCB=∠BCF=90°，AD∥BE，∠DAE=∠EFC，图中全等的直角三角形有：∠DEA=∠CEF，∠DAE=∠EFC，DE=EC，在△AED和△FEC中则△AED≌△FEC（AAS），∴CF=AD=BC，在△BDC和△FDC中△BDC≌△FDC（SAS），同理，△BDC​≌△DBA，即，△BDC≌△FDC≌△DBA，△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对．故选B．随练2、已知：在△AOB和△COD中，，．（1）如图①，若，求证：①；②．（2）如图②，若，则AC与BD间的等量关系式为______________，∠APB的大小为___________（直接写出结果，不证明）【答案】（1）见解析（2），【解析】（1）①证明：∵，∴，∴．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴，∴，∴，∴；（2），．随练3、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是____，QE与QF的数量关系式____；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【答案】（1）AE∥BF，QE=QF（2）QE=QF（3）见解析【解析】（1）AE∥BF，QE=QF，理由是：如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，故答案为：AE∥BF；QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠1=∠D，在△AQE和△BQD中，，∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线，∴QE=QF．等腰三角形和等边三角形例题例题1、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°【答案】C【解析】①如图1，点A是顶点时，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=BD=CD，在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=（180°﹣90°）=45°；②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD=BC，AC=BC，∴AD=AC，∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°；③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，∵AD=BC，AC=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣30°）=75°；综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°．例题2、已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A.B.C.D.不能确定【答案】B【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×=，S△ABC=BC•AH=AB•PD+BC•PE+AC•PF，∴×3•AH=×3•PD+×3•PE+×3•PF，∴PD+PE+PF=AH=，即点P到三角形三边距离之和为．例题3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．随练随练1、如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为____A.逐渐增大B.逐渐减小C.始终不变D.先增大后变小【答案】C【解析】考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，根据等边三角形的性质，等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变，即DM+EN=MC+CN=AC+CB=AB，而且MN的长度也不会改变，即MN=AC+CB=AB．∴四边形DMNE面积=AB2，∴面积不会改变．故选C．随练2、如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是____A.（）n•75°B.（）n-1•65°C.（）n-1•75°D.（）n•85°【答案】C【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；同理可得，∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n-1×75°．故选：C．随练3、在△ABC中，，，将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD．（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，，，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若，求的值．AADBCADBCE【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】该题考察的是三角形综合．（1）∵∴，∴，………1分（2）△ABE是等边三角形，………2分连结AD，CD．∵，，∴△BDC是等边三角形，，………………3分又∵，，∴△ABD≌△ACD．∴，∴．………………4分∵，∴．又∵，，∴△ABD≌△EBC．∴．∴△ABE是等边三角形．…………5分（3）∵△BDC是等边三角形，∴．∴又∵，∴．………6分∴．∵，∴．……………7分全等三角形综合例题例题1、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为____A.B.C.D.不能确定【答案】B【解析】此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；又∵PA=PM=CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD=DM=CM；∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．随练拓展拓展1、如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是____A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【答案】C【解析】解：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选C．拓展2、如图，任意四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，把△AOB、△AOD、△COD、△BOC的面积分别记作、、、，则下列各式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】该题考查的是面积问题．在△ABC中，△AOB与△COB同高，所以，同理可得，所以，所以，该题答案选D．拓展3、如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延，，至，，，使得，，，顺次连接，，得到，记其面积为……，按此规律继续下去，可得到，则其面积为_________．第次操作得到，则的面积．【答案】；【解析】本题考查的是三角形面积推理．如图，连接，那么与的面积之比等于与的长度之比，为，同理，与的面积之比为，那么的面积为面积的6倍；同理，、的面积均为面积的6倍，那么的面积为面积的19倍．这样的操作进行次，得到的三角形面积为．拓展4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是____．【答案】12°【解析】解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．拓展5、问题：如图1，在△ABC中，BE平分，CE平分．若，则________；若，则_____________．探究：（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分，CD、CE三等分．若，则______________；（2）如图3，在△ABC中，BE平分，CE平分外角．若，则__________；（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角，CE平分外角．若，则___________．【答案】；（1）（2）（3）【解析】该题考查的是三角形中角度计算．解：问题：如图1，∵BE、CE分别平分和，∴，，∴，，若，则；若，则．探究：（1）如图2，∵线段BP、BE把三等分，∴，并且BE平分∠PBC；又∵线段CP、CE把∠ACB三等分，∴，并且EC平分∠PCB；∴∴，若，则；（2）如图3，∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，∴，，又∵∠ACM是△ABC的一外角，∴，∴，∵∠ACM是△BEC的一外角，∴；若，则；（3）如图4，∵，，∴，，，∴．若，则．拓展6、如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】连接OC，∵等腰直角△ABC中，AB=，∴∠B=45°，∴cos∠B=，∴BC=×cos45°=×=，∵点O是AB的中点，∴OC=AB=OB，OC⊥AB，∴∠COB=90°，∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，∴∠DOC=∠EOB，同理得∠ACO=∠B，∴△ODC≌△OEB，∴DC=BE，∴CD+CE=BE+CE=BC=．拓展7、在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（）A.1B.1或C.1或D.或【答案】D【解析】①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC，∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，∴AB==，∴AP=；∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2∴（1+DP）2+DP2=（）2，解得，DP=；②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，同理可证，四边形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角△AEP中，（EC-1）2+EP2=AP2，∴（PD-1）2+PD2=（）2，解得，PD=；故选D．拓展8、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（7，0），（7，4），（-4，4），（-4，0），点E（5，0），点P在CB边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的点P有____个．【答案】4【解析】如图，使△OPE为等腰三角形的P点有：（-3，4）（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4），∵点（8，4）不在矩形ABCD的边BC上，∴满足条件的点P有4个．故答案为：4．拓展9、如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．【答案】（1）见解析（2）①60②AC=2AB【解析】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD；（2）①∵∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAE=180°-60°×2=60°，∵边A