第08讲二次根式的乘除(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版+解析)

第08讲二次根式乘除知识点1：二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点2：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：a≥0，b＞0时，a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数知识点3：最简二次根式最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【题型一：求字母的取值范围】【典例1】（2023春•单县期末）能使等式＝成立的条件是（）A．x＞0 B．x≥3 C．x≥0 D．x＞3【变式1-1】（2023春•淄博期末）若成立，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3【变式1-2】（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【变式1-3】（2022秋•宁德期末）若，则（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数【题型二：二次根式乘除的运算】【典例2】（2023春•密云区期末）计算：2．【变式2-1】（2022秋•东平县校级期末）【变式2-2】（2022春•湟中区校级月考）3×2．【变式2-3】（2022秋•莲湖区期中）计算：2×÷．【变式2-4】（2022春•宁武县期末）计算：（1）；（2）．【题型三：二次根式符号的化简】【典例5】（2022秋•嘉定区校级月考）计算：•+．【变式5-1】（2022秋•浦东新区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【变式5-2】（2022秋•虹口区校级月考）化简：•÷．【变式5-3】（2022秋•虹口区校级期中）计算：3•÷（﹣）．【题型四：最简二次根式的判断】【典例4】（2023春•东莞市期中）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【变式4-1】（2023春•正阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【变式4-2】（2023春•金安区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣2 B．2 C． D．【题型五：化简最简二次根式】【典例5】（2023春•岱岳区期末）化简＝．【变式5-1】（2022秋•阜宁县期末）化简＝．【变式5-2】（2023春•保康县期中）化简：＝．【题型六：已知最简二次根式求参数】【典例6】（2023春•文登区期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为．【变式6-1】（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝．【变式6-2】（2023春•虞城县期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是．【题型七：分母有理化】【典例7】（2023春•老河口市期中）化简：＝．【变式7-1】（2022春•沂水县期中）计算的结果是．【变式7-2】（2022春•灵宝市校级月考）计算：+＝．【变式7-3】（2022秋•杏花岭区期中）4﹣的倒数是．【变式7-4】（2021秋•覃塘区期末）计算：＝．【题型八：比较二次根式的大小】【典例8】比较大小：．【变式8】（2022秋•裕华区期末）若a＝3﹣，b＝，则ab（用“＜”，“＞”或“＝”填空）．【题型九：分母有理化的应用】【典例9】（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题．观察下列等式：；；直接写出以下算式的结果：＝；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：，，再根据平方根的定义可得，，，直接写出以下算式的结果：＝；（3）数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：．【变式9-1】（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：﹣1，例2：＝，，，…（1）＝，＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．【变式9-2】（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．【变式9-3】（2022春•诸城市校级期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题：材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．解答问题：（1）化简：＝；＝；＝；（2）利用上面所提供的解法，请化简：．材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：，所以．解答问题：（3）填空：＝，＝；（4）化简：（请写出化简过程）．1．（2023春•孝感期末）＝（）A． B．2 C．﹣2 D．42．（2023春•大连期末）下列计算正确的是（）A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝103．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知1＜p＜2，化简+（）2＝（）A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p4．（2022春•八公山区期末）如果，那么（）A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数5．（2021春•凉山州期末）把a根号外的因式移入根号内的结果是（）A． B． C． D．6．（2021春•宜城市期末）等式•＝成立的条件是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣17．（2023春•鹤山市期末）成立的条件是．8．（2023春•东丽区期中）计算：（）2＝，＝，＝．9．（2022•市南区一模）计算÷3×的结果是．10．（2023春•乾安县期末）计算：×+．11．（2023春•桐柏县期中）计算：．12．（2022春•黄冈期中）已知等式＝成立，化简|x﹣6|+的值．13．（2021秋•郓城县期中）计算：①（+）×；②（4﹣3）÷2；③（+）（﹣）；④（5+2）2．14．（2021秋•杨浦区校级期中）计算：3•÷（﹣）15．（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：＝＝；＝＝﹣；＝＝﹣2．（二）计算：（1）；（2）（n为正整数）．（3）+++…+．

第08讲二次根式乘除知识点1：二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点2：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：a≥0，b＞0时，a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数【题型一：求字母的取值范围】【典例1】（2023春•单县期末）能使等式＝成立的条件是（）A．x＞0 B．x≥3 C．x≥0 D．x＞3【答案】D【解答】解：由题意由①得x≥0，由②得x＞3，∴不等式组的解集为x＞3．故选：D．【变式1-1】（2023春•淄博期末）若成立，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3【答案】C【解答】解：根据题意得：，解得：2≤x≤3，故选：C．【变式1-2】（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【答案】D【解答】解：要使成立，则，解得：0≤x＜6，故D正确．故选：D．【变式1-3】（2022秋•宁德期末）若，则（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数【答案】A【解答】解：若成立，则，解之得x≥6；故选：A．【题型二：二次根式乘除的运算】【典例2】（2023春•密云区期末）计算：2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2××＝××＝6．【变式2-1】（2022秋•东平县校级期末）【答案】．【解答】解：原式＝4×（﹣5）﹣43÷＝﹣20﹣＝．【变式2-2】（2022春•湟中区校级月考）3×2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝6＝30．【变式2-3】（2022秋•莲湖区期中）计算：2×÷．【答案】．【解答】解：2×÷＝2＝2＝．【变式2-4】（2022春•宁武县期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）﹣45．（2）．【解答】解：（1）原式＝××（﹣27）＝××（﹣27）＝×（﹣27）＝﹣45．（2）原式＝×÷（﹣）＝÷（﹣）＝×（﹣）＝﹣．知识点3：最简二次根式最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【题型三：二次根式符号的化简】【典例5】（2022秋•嘉定区校级月考）计算：•+．【答案】﹣+．【解答】解：原式＝•（﹣4••）+＝﹣+．【变式5-1】（2022秋•浦东新区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【答案】见试题解答内容【解答】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．【变式5-2】（2022秋•虹口区校级月考）化简：•÷．【答案】8x2y．【解答】解：∵﹣＞0，﹣＞0，＞0，∴x＜0，y＜0，原式＝（÷＝﹣×6＝﹣8|x2|•|y|．＝﹣8x2•（﹣y）＝8x2y．【变式5-3】（2022秋•虹口区校级期中）计算：3•÷（﹣）．【答案】﹣2y．【解答】解：原式＝（﹣3××）•＝﹣2•＝﹣2y．【题型四：最简二次根式的判断】【典例4】（2023春•东莞市期中）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝x，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【变式4-1】（2023春•正阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误；B、，是最简二次根式，故本选项正确；C、，不是最简二次根式，故本选项错误；D、，不是最简二次根式，故本选项错误．故选：B．【变式4-2】（2023春•金安区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣2 B．2 C． D．8【答案】B【解答】解：∵是最简二次根式，∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，故选项中﹣2，，8都不合题意，∴a的值可能是2．故选：B．【题型五：化简最简二次根式】【典例5】（2023春•岱岳区期末）化简＝．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【变式5-1】（2022秋•阜宁县期末）化简＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝＝，故答案为：．【变式5-2】（2023春•保康县期中）化简：＝．【答案】．【解答】解：＝＝．故答案为：．【题型六：已知最简二次根式求参数】【典例6】（2023春•文登区期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为4．【答案】4．【解答】解：，根据题意得：a﹣1＝3，∴a＝4．故答案为：4．【变式6-1】（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝8．【答案】8．【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式相等，∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，解得：n＝3，m＝5，∴m+n＝8，故答案为：8．【变式6-2】（2023春•虞城县期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是1（答案不唯一）．【答案】1（答案不唯一）．【解答】解：当n＝1时，＝，是最简二次根式，故答案为：1（答案不唯一）．【题型七：分母有理化】【典例7】（2023春•老河口市期中）化简：＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式7-1】（2022春•沂水县期中）计算的结果是+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝（2+）÷＝+1．故答案为：+1．【变式7-2】（2022春•灵宝市校级月考）计算：+＝2+2．【答案】2+2．【解答】解：+＝2×＝2（+1）＝2+2，故答案为：2+2．【变式7-3】（2022秋•杏花岭区期中）4﹣的倒数是4．【答案】4+．【解答】解：4﹣的倒数是＝＝＝4．故答案为：4+．【变式7-4】（2021秋•覃塘区期末）计算：＝2．【答案】2．【解答】解：原式＝，＝，＝，＝2，故答案为：2．【题型八：比较二次根式的大小】【典例8】比较大小：＝．【答案】＝．【解答】解：∵＝，＝＝，∴＝．故答案为：＝．【变式8】（2022秋•裕华区期末）若a＝3﹣，b＝，则a＝b（用“＜”，“＞”或“＝”填空）．【答案】＝．【解答】解：∵a＝3﹣，b＝＝＝3﹣，∴a＝b．故答案为：＝．【题型九：分母有理化的应用】【典例9】（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题．观察下列等式：；；直接写出以下算式的结果：＝；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：，，再根据平方根的定义可得，，，直接写出以下算式的结果：＝；（3）数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：．【答案】（1）；（2）；（3）10．【解答】解：（1），故答案为：．（2），故答案为：．（3）＝＝（﹣1）（﹣1）＝10．【变式9-1】（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：﹣1，例2：＝，，，…（1）＝，＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）＝；＝（2）（3）＝，＝＝10﹣1＝9．【变式9-2】（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【变式9-3】（2022春•诸城市校级期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题：材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．解答问题：（1）化简：＝；＝；＝﹣；（2）利用上面所提供的解法，请化简：．材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：，所以．解答问题：（3）填空：＝，＝；（4）化简：（请写出化简过程）．【答案】（1）；；﹣；（2）9；（3）；；（4）．【解答】解：（1）＝；＝；＝；故答案为：；；﹣；（2）原式＝＝﹣1+10＝9；（3）＝，＝，故答案为：；；（4）．1．（2023春•孝感期末）＝（）A． B．2 C．﹣2 D．4【答案】B【解答】解：原式＝•＝2．故选：B．2．（2023春•大连期末）下列计算正确的是（）A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝10【答案】B【解答】解：A．＝3，故此选项不合题意；B．÷＝2，故此选项符合题意；C．＝＝，故此选项不合题意；D．（﹣2）2＝20，故此选项不合题意；故选：B．33．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知1＜p＜2，化简+（）2＝（）A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p【答案】A【解答】解：∵1＜p＜2，∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，∴原式＝|1﹣p|+2﹣p＝p﹣1+2﹣p＝1．故选：A．4．（2022春•八公山区期末）如果，那么（）A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数【答案】B【解答】解：∵，∴x≥0且x﹣6≥0，∴x≥6，故选：B．5．（2021春•凉山州期末）把a根号外的因式移入根号内的