第12讲二次函数(十二大题型综合归纳)(原卷版+解析)

第12讲二次函数（十二大题型综合归纳）题型1：二次函数的概念1．以下函数式二次函数的是（

）A． B． C． D．2．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（

）A． B． C． D．题型2：二次函数的值3．已知二次函数，当时，____________．4．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（

）A． B． C． D．5．二次函数的图象经过点，则代数式的值为_____．题型3：二次函数的条件6．已知是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0 B．1 C．4 D．0或47．关于x的函数是二次函数的条件是（

）A． B． C． D．题型4：列二次函数关系式8．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________．题型5：特殊二次函数的图像和性质9．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大10．抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴不相同C．开口方向一样 D．顶点都在y轴上11．如果二次函数的值恒大于，那么必有（）A．，取任意实数 B．，C．， D．，均可取任意实数12．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为13．二次函数：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．14．设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则15．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为_____．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．18．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a的取值范围是______．19．二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．题型7：二次函数的图像和性质20．下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（）A． B． C． D．21．若抛物线的顶点在y轴上，则a的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．﹣222．抛物线图象的开口方向是___________（填“向上”或“向下”）．23．当二次函数有最大值时，可能是（

）A．1 B．2 C． D．324．已知抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上，则c应满足（

）A． B． C． D．25．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型8：二次函数的最值与求参数范围问题26．已知直线与抛物线有两个不同的交点、，且点是抛物线的顶点，当时，的取值范围是______．27．已知抛物线经过点，．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．28．已知二次函数为常数，．(1)若点，在该二次函数的图象上．①求的值：②当时，该二次函数值取得的最大值为，求的值；(2)若点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围．题型9：根据二次函数的图像判断有关信息29．函数与的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的为_____________．（填写序号即可）30．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤直线（，，，，，）与抛物线所有交点的横坐标之和为；其中正确结论的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个题型10：二次函数的应用31．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）

A． B．8 C． D．32．某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒33．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米 B．12米 C．11米 D．10米34．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为．其中结论错误的是（

）A．① B．② C．③ D．④35．某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．

(1)分别写出与x的函数关系式；(2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．题型11：二次函数的解答证明题36．已知二次函数．(1)当时，①求该函数图象的顶点坐标．②当时，求的取值范围．(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．37．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．

(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标．38．在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．(1)已知．①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求的最小值．(2)若函数图象经过和，且，求的取值范围．题型12：二次函数压轴题39．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

第12讲二次函数（十二大题型综合归纳）题型1：二次函数的概念1．以下函数式二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．【解析】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误；B、由得到，是一次函数，故本选项错误；C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．2．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【解析】解：，∴二次项系数是2，一次项系数是，∴，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．题型2：二次函数的值3．已知二次函数，当时，____________．【答案】10【分析】把代入计算即可．【解析】把代入，得，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键．4．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把代入计算即可．【解析】解：由题意得：把代入得：等号两边同除以得：故选B．【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键．5．二次函数的图象经过点，则代数式的值为_____．【答案】【分析】把代入函数解析式，即可求解．【解析】解：把代入函数解析式，得，，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．题型3：二次函数的条件6．已知是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【答案】C【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．【解析】由题意得：，且，解得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数．7．关于x的函数是二次函数的条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；【解析】解：∵是二次函数，∴，解得：，故选A．【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．题型4：列二次函数关系式8．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________．【答案】【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．【解析】解：根据题意，得，故答案为：．【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．题型5：特殊二次函数的图像和性质9．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断．【解析】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．10．抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴不相同C．开口方向一样 D．顶点都在y轴上【答案】D【分析】由抛物线与抛物线，可知，对称轴是轴，顶点都在轴上，进而求解．【解析】解：∵抛物线与抛物线，对称轴是y轴，顶点都在y轴上，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．11．如果二次函数的值恒大于，那么必有（）A．，取任意实数 B．，C．， D．，均可取任意实数【答案】B【分析】二次函数的值恒大于，则该函数开口向上，顶点在x轴上方，由此即可得到答案．【解析】解：∵二次函数的值恒大于，∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方，∴，．故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为【答案】D【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，【解析】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，故A，B选项错误，D选项正确，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．13．二次函数：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．【答案】②③①③⑤⑤⑥【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断．【解析】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤．（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且h，k的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥．故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键．14．设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．【解析】解：如图所示，A．由图象可知，若，当时，，故选项错误，不符合题意；B．由图象可知，若，，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；C．由图象可知，若，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；D．由图象可知，若，当时，，故选项正确，符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．15．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．【答案】【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1．【解析】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函数开口向上，∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x＝m≥1．故答案为：m≥1．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为_____．【答案】．【分析】由韦达定理得出a，b与m的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m的取值范围，再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b和ab整体代入化简，然后再配方，结合m的取值范围可得出答案．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，∴a+b＝2m+1，ab＝m2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m+1)]2﹣4×1×(m2﹣1)＝4m2+4m+1﹣4m2+4＝4m+5≥0，∴m≥．∴a2﹣ab+b2＝(a+b)2﹣3ab＝(2m+1)2﹣3(m2﹣1)＝4m2+4m+1﹣3m2+3＝m2+4m+4＝(m+2)2，∴a2﹣ab+b2的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．【答案】24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【解析】抛物线的对称轴是过点作于点，如下图所示则，则则以为边的等边的周长为．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．18．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a的取值范围是______．【答案】【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应的的值即可．【解析】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，当对称轴在点P左侧时，，把P（3，1）代入得，解得或(舍去)，当对称轴在点P右侧时，，把Q（9，1），代入得，解得或(舍去)，∴当时，抛物线与线段PQ有交点，故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键．19．二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．【答案】或【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．【解析】解：∵二次函数表达式为，∴该函数的对称轴为直线，∵图象上任意二点连线不与x轴平行，∴或，∵，∴，解得：或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．题型7：二次函数的图像和性质20．下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．【解析】解：∵抛物线的对称轴是直线，A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的对称轴，解答本题的关键是熟练计算抛物线的对称轴．21．若抛物线的顶点在y轴上，则a的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【答案】C【分析】根据顶点在y轴上，可知对称轴为y轴，根据对称轴公式得到关于a的方程，计算即可．【解析】解：抛物线的顶点在y轴上，对称轴直线，解得．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数顶点与对称轴的性质，解题的关键是熟悉二次函数图像顶点的性质与对称轴公式．22．抛物线图象的开口方向是___________（填“向上”或“向下”）．【答案】向上【分析】把抛物线解析式化为化为一般式，即可求解．【解析】解：，∵，∴抛物线开口向上．故答案为：向上【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．23．当二次函数有最大值时，可能是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据二次函数有最大值，即可得出结论．【解析】解：二次函数有最大值，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点是解题的关键．24．已知抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上，则c应满足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出抛物线（b为常数）的顶点为，求出顶点在上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线（c为常数）上时c的取值范围．【解析】解：由知，抛物线（b为常数）的顶点为，当顶点在上时，则，则，∴抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上时，则c应满足．故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键．25．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据函数的对称性和增减性即可解答．【解析】解：二次函数，抛物线的开口向上，对称轴为直线，二次函数的图象经过两个点若，两个点都在抛物线对称轴的右边，随的增大而增大，则，故A选项错误，不符合题意；若，点比点更接近抛物线的对称轴，则，故B选项正确，符合题意；若，不能确定两个点都在抛物线对称轴的右边或左边，不能判定抛物线的增减性，则不能确定的大小，故C选项错误，不符合题意；若，两个点都在抛物线对称轴的左边，随的增大而减小，则，故D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性和增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键．题型8：二次函数的最值与求参数范围问题26．已知直线与抛物线有两个不同的交点、，且点是抛物线的顶点，当时，的取值范围是______．【答案】或【分析】根据点在直线上，可求出直线解析式，用含的式子表示点，再将二次函数变形为顶点式，把点代入，由此即可求解．【解析】解：把代入，得，在直线上，，在抛物线上，，，、是两个不同的交点，，，，当时，；当时，．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数，二次函数图像的性质，交点的意义等知识是解题的关键．27．已知抛物线经过点，．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．【答案】(1)抛物线解析式为，对称轴为；(2)【分析】（1）把点，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．【解析】（1）解：将点，代入抛物线，得，得，∴抛物线解析式为，对称轴为：；（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，

由图象可知：当时，y的最小值为，最小值为1，∴当时，对应的函数的的最小值为，最小值为1，m的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．28．已知二次函数为常数，．(1)若点，在该二次函数的图象上．①求的值：②当时，该二次函数值取得的最大值为，求的值；(2)若点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①将点代入解析式，根据，即可求解；②由①得抛物线的对称轴为，顶点，将代入，得出或，根据当，即可求解；（2）对称轴为，抛物线与轴的交点为，由，得出对称轴，依题意得出，当时，，列出不等式，即可求解．【解析】（1）解：①∵点在二次函数的图像上，∴，整理得，解得或，∵，∴；②由①得，∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，，解得或，∵当时，的最大值为18，∴；（2）∵二次函数，∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，∵，∴对称轴，∵点是该函数图象上一点，当时，，∴当时，，即，∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．题型9：根据二次函数的图像判断有关信息29．函数与的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的为_____________．（填写序号即可）【答案】①③④【分析】根据二次函数与正比例函数的性质与图象即可判断①②，利用当时可判断③，根据时，可对④进行判断．【解析】函数经过，，，，解得，，①正确；函数经过，，，②错误；当时，且，，，③正确；根据图象中，当时，，，④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数与正比例函数的图象与性质、二次函数与不等式的关系，注意数形结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．30．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤直线（，，，，，）与抛物线所有交点的横坐标之和为；其中正确结论的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴的性质，依次判断，即可．【解析】∵二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，∴二次函数的图象与轴的另一个交点为：，∴当时，，∴当时，，故错误；∵二次函数的图象与轴有两个交点，∴，∴，∵二次函数的图象开口向上，∴，∴，∴，∴正确；∵二次函数的图象与轴交于点，∴当时，，∵，∴，∴，∴，∴，∵二次函数的图象与轴的交点在和之间，∴，∴，∴，∴，∴正确；∵，，，∴，∴正确；∵，∴，∴，当时，，∴正确；∴正确的为：．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．题型10：二次函数的应用31．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）

A． B．8 C． D．【答案】D【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.【解析】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为，，，设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，∴，解得：，∴解析式为，则，所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，故选D.【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.32．某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】B【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的．【解析】解：根据题意可得：函数的对称轴为直线，与差值最小，即当时函数达到最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键．33．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米 B．12米 C．11米 D．10米【答案】B【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．【解析】解：当时，则，解得（舍去）或．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．34．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为．其中结论错误的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】计算长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．【解析】①由题可知，，则①正确；②对称轴为轴，交轴于点，，设函数解析式为，将点代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；③将代入解析式得，解得，则池塘最深处到水面的距离为，则③正确；④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时，将代入，得，可知此时最深处到水面的距离为，故④不正确，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．35．某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．

(1)分别写出与x的函数关系式；(2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．【答案】(1)；；(2)不同意，理由见解析．【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即可求解；（2）把（1）中的函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．【解析】（1）解：对于图纸1，∵，∴，∴；对于图纸2，∵，∴，∴；（2）解：不同意，理由如下：由（1），∴当时，的最大值为384；，∴当时，，∴的最大值为507的说法不符合题意．答：不同意小红的说法．【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键．题型11：二次函数的解答证明题36．已知二次函数．(1)当时，①求该函数图象的顶点坐标．②当时，求的取值范围．(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】(1)①；②当时，(2)【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解；（2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解．【解析】（1）解：①当时，，∴顶点坐标为．②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，∴当时，有最大值7．又∴当时取得最小值，最小值；∴当时，．（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，∴抛物线的对称轴在轴的右侧，∴，∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函数的表达式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．37．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．

(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将、，代入得，，计算求解即可；（2）由（1）可得，，对称轴为直线，则，设，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解即可．【解析】（1）解：将、，代入得，，解得，∴，；（2）解：由（1）可得，，∴对称轴为直线，∴，设，则，，∴，，∵，∴，解得，（舍去），∴．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．38．在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．(1)