专项训练03一次函数与三角形存在问题(原卷版+解析)

一次函数与三角形存在问题专项训练卷（2022秋•新城区校级期末）如图，直线与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标．（2022春•翠屏区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求点、的坐标；（2）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2022春•永安市期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，且当时，；点在直线上．（1）求值；（2）如果点在内部，求的取值范围；（3）如果在上，点在轴上，当为等腰三角形，直接写出的坐标．（2022春•黔江区期末）如图一，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．（1）求直线的解析式；（2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交轴于点，当，求出，两点的坐标；（3）将直线向左平移10个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴，点在直线上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．（2022春•兴城市期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点．（1）求直线的解析式；（2）求的长；（3）设是轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点的坐标．（2022春•木兰县期末）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是，矩形沿直线折叠，使落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．（1）求线段的长；（2）求直线的解析式；（3）为轴上一动点，在点运动的过程中，是否存在以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2022春•双流区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，是的角平分线，交直线于点．（1）求点的坐标；（2）如图2，是的角平分线，过点作的垂线交于点，交轴于点求直线的解析式；（3）在轴上寻找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．（2022春•曲阜市校级期末）如图，一次函数．的图象过点，与正比例函数的图象交于点，过点作垂直于轴于点．（1）求的值与交点的坐标；（2）计算的面积与的长；（3）在轴上是否存在点，使得以点、、组成的三角形为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．（2022春•富县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．（1）求正比例函数与一次函数的表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2022春•恩平市期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．设点的横坐标为．（1）求一次函数的解析式；（2）求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当的面积．①判断此时线段与的数量关系并说明理由；②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．一次函数与三角形存在问题专项训练卷（2022秋•新城区校级期末）如图，直线与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标．【分析】（1）将点代入直线可得，利用待定系数法即可得直线的解析式；（2）分两种情况：①当时；②当时，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）直线与直线交于点，，，又过点和点，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为；（2）直线与轴交于点，与轴交于点．，，轴于点，，以、、为顶点的三角形与全等，分两种情况：①如图，当时，，直线的解析式为，当时，，，点的坐标为；②如图，当△时，，直线的解析式为，当时，，，点的坐标为；综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键．（2022春•翠屏区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求点、的坐标；（2）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令，求出，令，求出；（2）设，分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，或；【解答】解：（1）令，则，，令，则，；（2）存在点，使以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：设，，，，当时，，解得，（舍或；当时，，解得，；当时，，解得或，或；综上所述，点坐标为或或或；【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．（2022春•永安市期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，且当时，；点在直线上．（1）求值；（2）如果点在内部，求的取值范围；（3）如果在上，点在轴上，当为等腰三角形，直接写出的坐标．【分析】（1）当时，求出的值即可；（2）求出两条直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标为，再结合图象求解即可；（3）由（2）知，设，分三种情况讨论：当时，；当时，，或，；当时，，．【解答】解：（1）当时，，，解得；（2）点在直线上，，，，，联立方程组，解得，两直线的交点为，点在内部，；（3）在上，，设，，，，当时，，解得（舍或，；当时，，解得或，，或，；当时，，解得，，；综上所述：点坐标为或，或，或，．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．（2022春•黔江区期末）如图一，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．（1）求直线的解析式；（2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交轴于点，当，求出，两点的坐标；（3）将直线向左平移10个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴，点在直线上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．【分析】（1）将点代入，求出点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，则，，由题意可得，则，求出的值即可求点的坐标；（3）分别求出，，设，分三种情况讨论：当时，或；当时，．【解答】解：（1）将点代入，，解得，，设直线的解析式为，，解得，；（2）设，则，，，，，，，解得，，；（3）由题意可得直线的解析式为，，，，设，，，，当时，，解得，或；当时，，解得或（舍，；综上所述：点坐标为或或．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．（2022春•兴城市期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点．（1）求直线的解析式；（2）求的长；（3）设是轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点的坐标．【分析】（1）由解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；（2）过点作轴于点，利用勾股定理即可求解；（3）根据轴上点的坐标特点设出点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．【解答】解：（1）点在上，，即点坐标为，将和点代入中，得，解得，直线的解析式为；（2）过点作轴于点，点坐标为，，，；（3）在中，令，解得，，，设点坐标为，当时，，，解得，点的坐标为，；当时，，，解得或，点的坐标为或；当时，，，解得（与点重合，舍去）或，点的坐标为；综上，点坐标为，或或或．【点评】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、勾股定理及两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．（2022春•木兰县期末）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是，矩形沿直线折叠，使落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．（1）求线段的长；（2）求直线的解析式；（3）为轴上一动点，在点运动的过程中，是否存在以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由勾股定理即可得出答案；（2）由折叠的性质得到，，，进而求出的长，设，则有，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，进而得到的坐标，设直线解析式为，把与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式；（3）根据以为底边的等腰三角形，可得，即可得点的坐标．【解答】解：（1）由可得，．四边形是矩形，，由勾股定理可得：；（2）设，由题意可得：，，，．在直角三角形中由勾股定理可列：，即，解得，所以设直线的解析式为，由，可得：，解得，所以直线的解析式为：；（3）存在以为底边的等腰三角形，等腰三角形为以为底边的等腰三角形，，为轴上一动点，存在以为底边的等腰三角形，点的坐标为或．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键．（2022春•双流区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，是的角平分线，交直线于点．（1）求点的坐标；（2）如图2，是的角平分线，过点作的垂线交于点，交轴于点求直线的解析式；（3）在轴上寻找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．【分析】（1）过点作于点，设点坐标为，根据已知条件易证，列方程求解即可；（2）先证明，可得，再求出点和点坐标，根据勾股定理，求出的长度，进一步即可确定点坐标；（3）设点坐标为，为等腰三角形，分情况讨论：①，②，③，分别列方程求解即可．【解答】解：（1）过点作于点，如图所示：根据题意，可设点坐标为，，，，是的角平分线，，，，，解得，点坐标为，；（2）是的角平分线，，于点，，又，，，当时，，点，，当时，，点，，根据勾股定理，得，，点坐标为，设直线的解析式为，代入点和，得，解得，直线的解析式为；（3）设点坐标为，，，，，，为等腰三角形，分情况讨论：①，，解得或，点坐标为或；②，，解得或（舍去），点坐标为；③，，解得，点坐标为，，综上所述，满足条件的点坐标为或或或，．【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，角平分线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键，本题综合性较强，注意等腰三角形分情况讨论．（2022春•曲阜市校级期末）如图，一次函数．的图象过点，与正比例函数的图象交于点，过点作垂直于轴于点．（1）求的值与交点的坐标；（2）计算的面积与的长；（3）在轴上是否存在点，使得以点、、组成的三角形为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把点代入即可求出的值，构建方程组求出点的坐标；（2）利用三角形面积公式求解；（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时．【解答】解：（1）一次函数的图象经过点，，，，由，解得，；（2），，，，的面积；（3）存在．设，①当时，，解得，，；②当时，，解得或，或③当时，，解得（舍弃）或，，故存在点坐标为：，或或或．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．（2022春•富县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．（1）求正比例函数与一次函数的表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将代入可求正比例函数关系式，将，代入可求一次函数关系式；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设点，分别表示三边长度，再分情况列方程求出，即可得答案．【解答】解：（1）将代入得：，解得，，正比例函数关系式为；将，代入得：，解得，，一次函数关系式为；（2）在中，令，解得，；（3）存在轴上的点，使为等腰三角形，理由如下：设点，而，，，，，①当时，，，或，②当时，，或（舍去），，③当时，，，，综上所述，为等腰三角形，坐标为或或或．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理、添加辅助线构造全等三角形等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．（2022春•恩平市期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．设点的横坐标为．（1）求一次函数的解析式；（2）求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当的面积．①判断此时线段与的数量关系并说明理由；②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据表示出点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；（3）①根据三角形面积列方程求点的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；②根据全等三角形的判定和性质求解