第23章旋转(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)2

第23章旋转（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一．旋转的性质（共2小题）1．（2022•云岩区一模）如图，点A在射线OP上，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OB，延长线段OB到C，使BC＝5cm．若点C到OP的距离为3cm，则OA＝cm．2．（2022春•米脂县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝115°，将它绕着点C逆时针旋转50°后得到△A'B'C，则∠ACB'的度数是多少？二．中心对称图形（共5小题）3．（2022春•振兴区校级期末）下列图标（不包含文字）是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2022•威县校级模拟）连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等 B．连接HD，则HD平分∠CHE C．整个图形不是中心对称图形 D．△CEH是等边三角形5．（2022•邯郸模拟）对于图﹣1和图﹣2，判断正确的是（）A．图﹣1是中心对称图形，图﹣2是轴对称图形 B．均为中心对称图形 C．图﹣1是轴对称图形，图﹣2是中心对称图形 D．均为轴对称图形6．（2022春•靖江市期末）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转180°，得到的数字是．7．（2022•平邑县一模）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，下列图形是旋转对称图形，也是中心对称图形的是．①正五边形，②正六边形，③矩形，④菱形．三．关于原点对称的点的坐标（共2小题）8．（2022春•兰西县校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是．9．（2021秋•莆田期末）若点P（m，﹣1）与点Q（﹣2021，n）关于原点成中心对称，则m+n的值是．四．坐标与图形变化-旋转（共1小题）10．（2022•长沙一模）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，1）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是．五．作图-旋转变换（共2小题）11．（2022•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．12．（2022•洮北区模拟）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．六．几何变换的类型（共1小题）13．（2022•铁岭模拟）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是（）A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换【常考】一．旋转的性质（共10小题）1．（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90° B．60° C．45° D．30°2．（2022•岳池县模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°3．（2022•澧县模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC＝．4．（2022•炎陵县一模）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为．5．（2022•南平模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．将△ABC绕点A顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）求∠CFB的度数．6．（2022•洮北区模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．7．（2022•平邑县一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．8．（2021秋•雄县期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．9．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．10．（2022•台儿庄区二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．二．中心对称（共1小题）11．（2021秋•铅山县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是．三．中心对称图形（共1小题）12．（2022•市中区校级模拟）如图，一个花园的平面图呈矩形，被分割成3个正方形和2个矩形后仍是中心对称图形，若只知道原来矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③四．关于原点对称的点的坐标（共1小题）13．（2022•道外区三模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）五．坐标与图形变化-旋转（共2小题）14．（2022•高青县一模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）15．（2022•滨海县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为．六．作图-旋转变换（共3小题）16．（2022春•吉水县期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．17．（2022•武功县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．18．（2021秋•海淀区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝°，AA'＝；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．【易错】一．旋转的性质（共7小题）1．（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α2．（2022•武侯区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，点D为AC中点．现将线段CD绕点B逆时针旋转得到C'D'，若点D'恰好落在AB边上，则点C'到AB的距离为，若点A恰好在C'D'上，则AC'的长为．3．（2022•惠山区校级二模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，则∠AEC＝°；连接AF，则AF+2BF的最小值为．4．（2022•梅州模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为．5．（2022•高要区一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为．6．（2022•南海区校级一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是．7．（2021秋•中宁县校级期末）如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．二．坐标与图形变化-旋转（共1小题）8．（2022•诸城市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……，依此规律，得到等腰直角三角形A2021OB2021，则点B2022的坐标是．【压轴】一．旋转的性质（共10小题）1．（2022•三明模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）A．1 B． C． D．22．（2022•武城县模拟）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．（2022•南岗区校级一模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°．∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（）A．110° B．80° C．40° D．30°4．（2022•游仙区模拟）正△ABC的边长为4，D是AC的中点，P是△ABC内一点，且BP2+CP2＝AP2，则PD的最小长度是．5．（2022•常熟市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点P是边AB上的一动点．△A'B'C≌△ABC，将△A'B′C绕点C按逆时针方向旋转，点E是边A'C的中点，则PE长度的最小值为．6．（2022•邵阳模拟）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．7．（2022•荔湾区校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′，边A′B交线段CD于H，若BH＝DH，则△BCC′的面积是．8．（2022•新会区校级模拟）已知：正方形ABCD．（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE＝AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a＝90°时，连接BE、DF，猜想AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．9．（2022•西城区校级模拟）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．（1）如图1，点B关于直线AC的对称点为B'，求线段B'E与CD的数量关系；（2）当α＝32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．10．（2022•肃州区模拟）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．二．坐标与图形变化-旋转（共2小题）11．（2021秋•南阳期末）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a．﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）12．（2022•高新区模拟）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，若“心形”图形的顶点A，B，C，D，E，F，G均为整点．已知点P（3，4），线段PQ的长为，PQ关于过点M（0，5）的直线l对称得到P′Q′，点P的对应点为P′，当点P′恰好落在“心形”图形边的整点上时，点Q′也落在“心形”图形边的整点上，则这样的点Q′共有个．三．作图-旋转变换（共1小题）13．（2022•黑龙江）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置．（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1．四．利用旋转设计图案（共1小题）14．（2022•市中区二模）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是对称图形，都不是对称图形．（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同．第23章旋转（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一．旋转的性质（共2小题）1．（2022•云岩区一模）如图，点A在射线OP上，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OB，延长线段OB到C，使BC＝5cm．若点C到OP的距离为3cm，则OA＝1cm．【分析】过点C作CD⊥OP于D，利用含30°角的直角三角形的性质得OC的长度，再利用旋转的性质知OA＝OB，从而得出答案．【解答】解：如图，过点C作CD⊥OP于D，∵将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OB，∴∠O＝30°，OA＝OB，∵∠O＝30°，∴OC＝2CD＝6（cm），又∵BC＝5cm，∴OA＝OB＝OC﹣BC＝6﹣5＝1（cm），故答案为：1．【点评】本题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，点到直线的距离等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022春•米脂县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝115°，将它绕着点C逆时针旋转50°后得到△A'B'C，则∠ACB'的度数是多少？【分析】由题意可得∠BCB'＝50°，即可求∠ACB'的度数．【解答】解：∵将△ABC绕着点C逆时针旋转50°后得到△A'B'C，∴∠BCB'＝50°，∵∠ACB＝115°，∴∠ACB'＝∠ACB+∠BCB'＝115°+50°＝165°，答：∠ACB'的度数是165°．【点评】本题考查了三角形中的旋转变换，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．二．中心对称图形（共5小题）3．（2022春•振兴区校级期末）下列图标（不包含文字）是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，∴B选项中的图形为中心对称图形，故选：B．【点评】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．4．（2022•威县校级模拟）连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等 B．连接HD，则HD平分∠CHE C．整个图形不是中心对称图形 D．△CEH是等边三角形【分析】根据图形分别判断各个选项即可．【解答】解：∵四边形AFGH与四边形CFED是全等图形，故A选项不符合题意；∵△HCE等腰三角形，△CDE是等腰三角形，∴连接HD，则HD平分∠CHE，故B选项不符合题意；∵正八边形连接三个顶点后不是中心对图形，但是轴对称图形，故C选项不符合题意；∵图中CH≠CE，∴△CEH不是等边三角形，故D选项符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查正八边形的知识，熟练掌握中心对称的概念是解题的关键．5．（2022•邯郸模拟）对于图﹣1和图﹣2，判断正确的是（）A．图﹣1是中心对称图形，图﹣2是轴对称图形 B．均为中心对称图形 C．图﹣1是轴对称图形，图﹣2是中心对称图形 D．均为轴对称图形【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：由题意可知，图﹣1是中心对称图形，图﹣2是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6．（2022春•靖江市期末）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转180°，得到的数字是689．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：将数字“689”整体旋转180°，得到的数字是689．故答案为：689．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．7．（2022•平邑县一模）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，下列图形是旋转对称图形，也是中心对称图形的是②、③、④．①正五边形，②正六边形，③矩形，④菱形．【分析】根据旋转对称图形和中心对称图形的定义即可解答．【解答】解：正五边形不是中心对称图形；正六边形、矩形、菱形是旋转对称图形，也是中心对称图形，故答案为：②、③、④．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．三．关于原点对称的点的坐标（共2小题）8．（2022春•兰西县校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）．故答案为：（3，5）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．9．（2021秋•莆田期末）若点P（m，﹣1）与点Q（﹣2021，n）关于原点成中心对称，则m+n的值是2022．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：∵点P（m，﹣1）与点Q（﹣2021，n）关于原点成中心对称，∴m＝2021，n＝1，则m+n＝2021+1＝2022．故答案为：2022．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．四．坐标与图形变化-旋转（共1小题）10．（2022•长沙一模）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，1）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（1，3）．【分析】画出图形解决问题即可．【解答】解：如图，观察图象可知点P′的坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．五．作图-旋转变换（共2小题）11．（2022•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．【分析】（1）根据平移的性质可得△A1B1C1；（2）根据旋转的性质可得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．12．（2022•洮北区模拟）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．【分析】（1）AB为长方形对角线，作出相等线段即可；（2）只要保证四边形AFBE是平行四边形即可；（3）同（2）．【解答】解：如图：（1）线段AC即为所作，（2）线段EF即为所作，（3）四边形ABHG即为所作．【点评】本题考查作图﹣﹣应用与设计，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．六．几何变换的类型（共1小题）13．（2022•铁岭模拟）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是（）A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换【分析】根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项．【解答】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选：C．【点评】本题考查的是相似图形的识别，关键在于要图形结合，熟记相似图形的定义．【常考】一．旋转的性质（共10小题）1．（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵点B′恰好落在CA的延长线上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故选：B．【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．2．（2022•岳池县模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°【分析】根据旋转的性质求出∠BB'A和∠AB'C'的度数即可解决问题．【解答】解：根据旋转的性质可知∠BAB'＝110°，且AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'．∵点B'在线段BC的延长线上，∴∠BB'A＝∠B＝35°．∴∠AB'C'＝35°．∴∠BB'C'＝∠BB'A+∠AB'C'＝35°+35°＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2022•澧县模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC＝75°．【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．4．（2022•炎陵县一模）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为．【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，则△AOA'为等腰直角三角形，∴AA'＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．5．（2022•南平模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．将△ABC绕点A顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）求∠CFB的度数．【分析】（1）由旋转的性质得到△ABC≌△ADE，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）由△AEC≌△ADB得到∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠CFB＝∠BAC，即可求出∠CFB＝36°的度数．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）解：设AB与CE交于G，∵△AEC≌△ADB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠CFB＝180°﹣∠ABD﹣∠BGF，∠BAC＝180°﹣∠ACE﹣∠AGC，∵∠BGF＝∠AGC，∴∠CFB＝∠BAC，∵∠BAC＝36°，∴∠CFB＝36°．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6．（2022•洮北区模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．【分析】（1）连接BD，则BD＝DG，得∠DGB＝∠DBG＝37°，从而得出∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，即可求出旋转角的度数；（2）过点G作GK∥BM，交DE于K，利用ASA证明△DKG≌△END，得EN＝DK，再证四边形KLMG是平行四边形，得GM＝KL，从而证明结论．【解答】解：（1）由图①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，如图②，连接BD，则BD＝DG，∴∠DGB＝∠DBG＝37°，∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，∴旋转角为：53°﹣37°＝16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：过点G作GK∥BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END（ASA），∴EN＝DK，∵GK∥ML，KL∥GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL＝EN+GM．【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．（2022•平邑县一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可【解答】解（1）图形如图所示．过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．（2）结论：BF+BD＝BE．理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（2021秋•雄县期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB＝∠ADC．（2）如图，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝105°．∴∠BED＝45°．【点评】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．9．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数60°；②线段OD的长4；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．10．（2022•台儿庄区二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；（2）设AE＝x，则BE＝7+x，AB＝13，利用勾股定理即可求出x，进而可求出DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四边形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x，BH＝7，BC＝AB＝13，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即132＝x2+（x+7）2，解得：x＝5（负值舍去），∴BE＝BH+EH＝5+7＝12，∴DF＝BE＝12，又∵DH＝DF+FH，∴DH＝12+5＝17．【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键．二．中心对称（共1小题）11．（2021秋•铅山县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是（4041，）．【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，∴点A2的坐标是：（3，﹣），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，∴点A3的坐标是：（5，），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，∴点A4的坐标是：（7，﹣），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，∴顶点A2n+1的纵坐标是：，∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），∴△B2020A2021B2021的顶点A2021的横坐标是：4×1010+1＝4041，纵坐标是：，故答案为：（4041，）．【点评】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．三．中心对称图形（共1小题）12．（2022•市中区校级模拟）如图，一个花园的平面图呈矩形，被分割成3个正方形和2个矩形后仍是中心对称图形，若只知道原来矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l＝2（a+2b+c），a＝b+d，b＝c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可．【解答】解：如图1：设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，则l＝2（a+2b+c），根据图示，可得，①﹣②，可得：a﹣b＝b﹣c，∴2b＝a+c，∴l＝2（a+2b+c）＝2×2（a+c）＝4（a+c），或l＝2（a+2b+c）＝2×4b＝8b，∴2（a+c）＝，4b＝，∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，值为一定，∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．故选：A．【点评】此题主要考查了整式的加减，中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．四．关于原点对称的点的坐标（共1小题）13．（2022•道外区三模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（2，4），故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．五．坐标与图形变化-旋转（共2小题）14．（2022•高青县一模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）【分析】对应点连线的垂直平分线的交点即为所求．【解答】解：如图，点P即为所求．P（4，4）．故选：B．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．15．（2022•滨海县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（1，﹣1）．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：如图，点P即为所求，P（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．六．作图-旋转变换（共3小题）16．（2022春•吉水县期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可；（3）作点A2关于x轴的对应点A′，连接A′A1交x轴于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2O即为所求；（3）如图，点P即为所求，P点的坐标（，0）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．17．（2022•武功县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：（4，﹣1）；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．【解答】解：（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．18．（2021秋•海淀区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝60°，AA'＝2；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．【分析】（1）证明△ABA′是等边三角形即可解决问题．（2）①根据要求画出图形．结论：AD＝A'D．如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．证明△ADE≌△A'DC'（AAS），可得结论．②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，当α＝120°时，BD的值最小，分别求出最大值，最小值即可．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，∴AC＝BC•tan30°＝1，∴AB＝2AC＝2，∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，∴△ABA′是等边三角形，∴α＝60°，AA′＝AB＝2．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α得到Rt△A'BC'，∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．∴∠2＝∠1＝β．∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．∵AE∥A'C'∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．∴∠3＝∠4．∴AE＝AC．∴AE＝A'C'．在△ADE和△A'DC'中，，∴△ADE≌△A'DC'（AAS），∴AD＝A'D．②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，最大值为．当α＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2×＝1，∴1≤BD≤．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【易错】一．旋转的性质（共7小题）1．（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，∵∠BCD＝α，∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝．∴∠E＝．∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．故选：C．【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．2．（2022•武侯区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，点D为AC中点．现将线段CD绕点B逆时针旋转得到C'D'，若点D'恰好落在AB边上，则点C'到AB的距离为，若点A恰好在C'D'上，则AC'的长为．【分析】连接BD，BC，由勾股定理可得AC＝10，因为点D是AC的中点，所以BD＝AD＝CD＝5．由旋转的性质可知，△BD′C′≌△BDC，所以BD′＝BD＝5，C′D′＝CD＝5，BC＝BC′＝8，所以BD′＝C′D′．当点D'恰好落在AB边上，过点D′作D′N⊥BC′于点N，过点C′作C′M⊥BD′交BA的延长于点M，所以BN＝NC′＝4，由勾股定理可D′N＝3，以tan∠BC′D′＝＝．由等积法可得×5•C′M＝×8×3，由此可得出C′M的长．当点A恰好在C'D'上，过点A作AP⊥BC′于点P，则tan∠C′＝＝．设AP＝3m，则PC′＝4m，所以AC′＝5m，BP＝8﹣4m，在Rt△ABP中，由勾股定理可得，62＝（3m）2+（6﹣4m）2，解出m的值即可得出AC′的长．【解答】解：如图，连接BD，BC′.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，∴AC＝10，∵点D是AC的中点，∴BD＝AD＝CD＝5．由旋转的性质可知，△BD′C′≌△BDC，∴BD′＝BD＝5，C′D′＝CD＝5，BC＝BC′＝8，∴BD′＝C′D′，当点D'恰好落在AB边上，如图所示，过点D′作D′N⊥BC′于点N，过点C′作C′M⊥BD′交BA的延长于点M，∴BN＝NC′＝4，∴D′N＝3，∴tan∠BC′D′＝＝．∵S△BD′C′＝BD′•C′M＝BC′•D′N，∴×5•C′M＝×8×3，∴C′M＝．当点A恰好在C'D'上，如图所示，过点A作AP⊥BC′于点P，则tan∠C′＝＝．设AP＝3m，则PC′＝4m，∴AC′＝5m，BP＝8﹣4m，在Rt△ABP中，由勾股定理可得，62＝（3m）2+（6﹣4m）2，解得m＝2或m＝．∴AC′＝10（舍去）或．故答案为：；．【点评】本题主要考查旋转的性质，解直角三角形，三角函数值的定义等，解题的关键是画出对应时刻的图形，找到旋转前后图形之间的关系，建立方程．3．（2022•惠山区校级二模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，则∠AEC＝60°；连接AF，则AF+2BF的最小值为6．【分析】先根据旋转的性质和等边三角形得：AD＝AC＝AB，∠BAC＝60°，最后由角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠AEC的度数；接下来作辅助线，构建等腰三角形和相似三角形，先证明FH＝CH＝2，再证明△FHM∽△AHF，得FM＝AF，确定当B、F、M三点共线时，BF+FM＝BF+AF的长最小，根据勾股定理可得结论．【解答】解：∵将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，如图1，∴∠BAD＝α，AB＝AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝60°，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠ACD+∠BAE＝∠CDA+∠DAE＝∠AEC，又∵∠AEC+∠ACD+∠BAE+∠BAC＝180°，∴∠AEC＝60°；如图2，过F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AM＝CM＝3，∴△CFH∽△CDA，∴＝＝，∵DF＝2FC，∴＝＝，∴CH＝FH＝2，∴MH＝3﹣2＝1，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠FHM＝∠AHF，∴△FHM∽△AHF，∴＝＝，∴FM＝AF，∴当B、F、M三点共线时，BF+FM＝BF+AF的长最小，如图3，此时BM⊥AC，∴BM＝＝3，∵AF+2BF＝2（AF+BF）＝2BM，∴AF+2BF的最小值是6．故答案为：60，6．【点评】本题考查了三角形相似的性质和判定，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会构建相似三角形，确定FM＝AF是解本题的关键，有难度，属于中考填空的压轴题．4．（2022•梅州模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为4．【分析】在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过点A作AH⊥GF于H．证明∠BGF＝120°，推出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，求出AH即可．【解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过点A作AH⊥GF于H．∵∠B＝60°，BE＝BG，∴△BEG是等边三角形，∴EB＝EG，∠BEG＝∠BGE＝60°，∵PE＝PF，∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形，∴∠PEF＝60°，EF＝EP，∵∠BEG＝∠PEF，∴∠BEP＝∠GEF，在△BEP和△GEF中，，∴△BEP≌△GEF（SAS），∴∠EGF＝∠B＝60°，∴∠BGF＝120°，∴点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，∵AB＝12，BE＝2AE，∴BE＝8，AE＝4，∵∠BEG＝∠EGF＝60°，∴GT∥AB，∵BG∥AT，∴四边形ABGT是平行四边形，∴AT＝BG＝BE＝8，∠ATH＝∠B＝60°，∴AH＝AT•sin60°＝4，∴AF的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2022•高要区一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为4．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，∴∠DAD′＝60°，∴∠DAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACD＝30°，∴AE＝CE，在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，根据勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，解得：x＝4，∴EC＝4，则S△AEC＝EC•AD＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．6．（2022•南海区校级一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是38°．【分析】根据旋转变换的性质得到∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，结合图形，计算即可．【解答】解：由旋转的性质可知，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，∴∠DOB＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠BOC＝38°，故答案为：38°．【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．7．（2021秋•中宁县校级期末）如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．【分析】（1）①根据旋转变换的性质、等边三角形的性质证明△BAD≌△BEC，根据全等三角形的性质证明；②根据全等三角形的性质解答；（2）分点A在线段DF的延长线上、点A在线段DF上、点A在线段FD的延长线上三种情况，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】（1）①证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等边△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，∵∠CBE＝60°+∠FBA，∴∠DBA＝∠CBE，∴△BAD≌△BEC，∴DA＝CE；②∠DEC+∠EDC＝90°，∵DB＝DC，DA⊥BC，∴，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等边△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC＝90°；（2）分三种情况考虑：①当点A在线段DF的延长线上时，由（1）可得，△DCE为直角三角形，∴∠DCE＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，由（1）得DA＝CE，∴CD＝DA，在等边△DBC中，BD＝CD，∴BD＝DA＝CD，∴∠BDC＝60°，∵DA⊥BC，∴，在△BDA中，DB＝DA，∴，在△DAC中，DA＝DC，∴，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+75°＝150°．；②当点A在线段DF上时，∵以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等边△BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC﹣∠ABC＝∠ABE﹣∠ABC，即∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC，∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°．③如右图，当点A在线段FD的延长线上时，同第②种情况可得△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，∠ADB＝∠ECB，在等边△BDC中，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DA⊥BC，∴，∴∠ADB＝180°﹣∠BDF＝150°，∴∠ECB＝∠ADB＝150°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，∴AD＝CD＝BD，∵∠ADB＝∠ADC＝150°，∴，，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°，综上所述，∠BAC的度数为150°或30°．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转变换的性质是解题的关键．二．坐标与图形变化-旋转（共1小题）8．（2022•诸城市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……，依此规律，得到等腰直角三角形A2021OB2021，则点B2022的坐标是（﹣22022，﹣22022）．【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2020的坐标位置，进而得出答案．【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，∴AB＝OA＝1，∴B（1，1），将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），∵2022÷4＝505•••2，∴点B2022与B2同在一个象限内，∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，∴点B2022（﹣22022，﹣22022）．故答案为（﹣22022，﹣22022）．【点评】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．【压轴】一．旋转的性质（共10小题）1．（2022•三明模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）A．1 B． C． D．2【分析】过E作EM⊥BC于M，根据四边形ABCD是矩形和PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，证明△ABP≌△PME（AAS），可得PM＝AB＝2，BP＝EM，设BP＝EM＝x，则CM＝2﹣x，有CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，根据二次函数性质可得答案．【解答】解：过E作EM⊥BC于M，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°＝∠PME，∵PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴AP＝PE，∠APE＝90°，∴∠EPM＝90°﹣∠APB＝∠BAP，∴△ABP≌△PME（AAS），∴PM＝AB＝2，BP＝EM，∵BC＝4，∴BP+CM＝BC﹣PM＝2，设BP＝EM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CEM中，CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，CE2取最小值，最小值为2，∴CE最小值是，故选：B．【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用二次函数性质解决问题．2．（2022•武城县模拟）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性质可得AE＝EF＝EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，可判断②；连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，由∠CDF＝45°，知点F在DF上运动，即得当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，而CF'＝，即CF有最小值为，可判断③正确．【解答】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，∵点E是CM的中点，∴ME＝EC，∵AB∥CD，∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE＝EH，又∵∠ADH＝90°，∴DE＝AE＝EH，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴AE＝DE＝EF，故①正确；∵AE＝DE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，∴∠ADF＝135°，∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确；如图，连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，∵∠CDF＝45°，∴点F在DF上运动，∴当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，∵CD＝2，∠CDF＝45°，∴CF'＝＝，即CF有最小值为，故③正确，故选：A．【点评】