专题02配方法的应用(原卷版+解析)

配方法的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若（x，y是实数），则M的值一定是(

)A．0 B．负数 C．正数 D．整数2．若为任意实数，且，则的最大值为（

）A． B． C．100 D．3．已知关于x的多项式的最小值为8，则m的值可能为（

）A．1 B．2 C．4 D．54．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜135．已知，，下列结论正确的个数为(

)①若是完全平方式，则；②B－A的最小值是2；③若n是的一个根，则；④若，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．设为实数，则x、y、z

中至少有一个值（

）A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于7．已知P＝，Q＝（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法判断8．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．20189．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（

）①当时，若，则②无论x取任何实数，等式都恒成立，则③若，，则④满足的整数解共有8个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（

）个．①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系：S＝﹣5x2+10x+14，将这个解析式配方，得S=_______________，则x＝______时，S有最大值，最大值是____________．12．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．13．当a＝_____时，多项式a2+2a+2有最小值为_____．14．已知实数满足x2＋3x﹣y﹣3＝0，则x＋y的最小值是______．15．若，则的最小值是__________．16．对于二次三项式，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．17．若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是________．18．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．19．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．20．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_________．三、解答题21．阅读材料：若，求x、y的值．解：∵，∴．∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)试说明不论x，y取什么有理数时，多项式的值总是正数．(2)已知a、b满足．求a、b的值．22．已知，求的值．23．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：①，∵，∴．因此，代数式有最小值﹣2；②，∵，∴．因此，代数式有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式的最小值为______；(2)求代数式的最大值．24．（1）若，求m、n的值．解：因为，所以由此，可求出______；______；根据上面的观察，探究下面问题：（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值．25．阅读材料题：我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如：求的最小值问题．解：∵，又∵，∴∴的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)代数式有最（填“大”或“小”）值为；(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？26．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．解：∵无论x取何实数，总有．∴，即无论x取何实数，有最小值，是．(1)问题：已知，试求y的最值．(2)【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）27．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2•x•3+﹣+5＝﹣4∵≥0∴当x＝﹣3时，+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；(3)若代数式2+kx+7的最小值为2，求k的值．28．阅读材料：若a，b都是非负实数，则，当且仅当时，“=”成立．证明：∵，∴．∴．当且仅当时，“=”成立．举例应用：已知，求函数的最小值．解：．当且仅当，即时，“=”成立．∴当时，函数取得最小值，．问题解决：(1)已知，求函数的最小值；(2)求代数式的最小值．29．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．30．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．解决下列问题：(1)分解因式：；(2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值．配方法的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若（x，y是实数），则M的值一定是(

)A．0 B．负数 C．正数 D．整数【答案】C【详解】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）+1＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1∵，，，∴（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1＞0，故C正确．故选：C．2．若为任意实数，且，则的最大值为（

）A． B． C．100 D．【答案】C【详解】解：，∵，∴，∴，的最大值为．故选：C．3．已知关于x的多项式的最小值为8，则m的值可能为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【详解】解：原式，当x-=0，即x=时，原式取得最小值9-=8，整理得：，解得：m=±2，则m的值可能为2，故选：B．4．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13【答案】C【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，∴（a-5）2+（b-8）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．5．已知，，下列结论正确的个数为(

)①若是完全平方式，则；②B－A的最小值是2；③若n是的一个根，则；④若，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，∴n=±3，故结论正确；②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）=x2-2x+n2+3=（x-1）2+n2+2，而（x-1）2+n2≥0，∴B-A≥2，∴B-A的最小值是2，故结论正确；③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，解得当时，当时，故结论错误；④∵（2022-A+A-2019）2=（2022-2019）2=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2=9，∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；

故选B．6．设为实数，则x、y、z

中至少有一个值（

）A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于【答案】A【详解】解：x+y+z＝＝，∵≥0，≥0，≥0，＞0，∴x+y+z＞0，∴x、y、z中至少有一个大于0．故选：A．7．已知P＝，Q＝（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法判断【答案】C【详解】解：∵P＝，Q＝，∴Q﹣P＝＝＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1＞0，则P＜Q，故选：C．8．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．2018【答案】B【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，∴，解得：，∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．故选：B．9．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（

）①当时，若，则②无论x取任何实数，等式都恒成立，则③若，，则④满足的整数解共有8个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】①当时，若，则∴或者，故①错误；②等式化简后为∵无论x取任何实数，等式都恒成立，∴，即∴，故②正确；③若，，则两个方程相加得：，∴∴，故③错误；④整理得：∴∵整数解∴，，，∴，，，，，，，，，∴整数解共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A．10．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（

）个．①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】解：∵为负整数，为负整数，故①的结论正确；∵，又，∴，且有最小值2，∴有最大值3，∴，∴②的结论正确；∵，∴m＝x＋2，n−6＝−（x＋2），∴m＝x＋2，n＝4−x．∴m2＋n2＋mn＝(m＋n)2−mn＝36−（−x2＋2x＋8）＝x2−2x＋28＝(x−1)2＋27，∵(x−1)2≥0，∴m2＋n2＋mn有最小值为27，∴③的结论正确，故选：D．二、填空题11．已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系：S＝﹣5x2+10x+14，将这个解析式配方，得S=_______________，则x＝______时，S有最大值，最大值是____________．【答案】

1

19【详解】解：配方得：S＝﹣5x2+10x+14＝﹣5（x﹣1）2+19，∴当x＝1时，S最大＝19，故答案为：﹣5（x﹣1）2+19，1，19．12．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．【答案】【详解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），若x取任何实数，A的值都不是负数，∴（3）≥0，解得：；故答案为：．13．当a＝_____时，多项式a2+2a+2有最小值为_____．【答案】

-1

1【详解】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，∴当a＝﹣1时，多项式a2+2a+2有最小值，最小值是1．故答案为：﹣1，1．14．已知实数满足x2＋3x﹣y﹣3＝0，则x＋y的最小值是______．【答案】-7【详解】∵x2＋3x﹣y﹣3＝0∴∴∵∴∴x+y的最小值为-7故答案为：-715．若，则的最小值是__________．【答案】【详解】由，得∴∴的最小值是−1故答案为：−116．对于二次三项式，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【答案】-9【详解】解：==，∵，∴，即当时，二次三项式的最小值为-6，∴，∴，故答案为：-9．17．若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是________．【答案】15【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，∵（x﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，故答案为：15．18．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．【答案】<【详解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案为：<．19．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【答案】6【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴当a=4时，取得最小值为6∴的最小值为6∵∴的最小值6故答案为：6．20．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_________．【答案】2或3【详解】解：∵a−b＝2，∴a＝b＋2，∴＝0，∴，∵b≥0，−2≤c＜1，∴，∴，∴，∴3＜≤12，∵a是整数，∴b是整数，∴b＝0或1，∴a＝2或3，故答案为：2或3．三、解答题21．阅读材料：若，求x、y的值．解：∵，∴．∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)试说明不论x，y取什么有理数时，多项式的值总是正数．(2)已知a、b满足．求a、b的值．【答案】(1)说明见解析；(2)，【详解】（1）解：∵，，∴，∴不论x，y取什么有理数时，多项式的值总是正数．（2）解：∵，∴，∴，∴，，∴，．22．已知，求的值．【答案】【详解】解：将等式整理配方，得，则，，，，，，．23．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：①，∵，∴．因此，代数式有最小值﹣2；②，∵，∴．因此，代数式有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式的最小值为______；(2)求代数式的最大值．【答案】(1)﹣3；(2)当a＝﹣3，b＝2时，代数式的最大值是3【详解】（1）解：﹣4x+1＝＝，∵，∴，∴当x＝2时，这个代数式﹣4x+1的最小值为﹣3．故答案为：﹣3；（2）＝﹣﹣6a﹣9﹣+4b﹣4+3＝﹣﹣+3，∵≥0，≥0，∴﹣，﹣，∴＝﹣﹣+3，∴当a＝﹣3，b＝2时，代数式的最大值是3．24．（1）若，求m、n的值．解：因为，所以由此，可求出______；______；根据上面的观察，探究下面问题：（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值．【答案】（1）4，4；（2）；（3）3．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：4，4；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，；（3）∵a−b＝4，∴a＝b＋4，∴将a＝b＋4代入，得，∴，∴，∴b＋2＝0，c−3＝0，解得b＝−2，c＝3，∴a＝b＋4＝−2＋4＝2，∴a＋b＋c＝2−2＋3＝3．25．阅读材料题：我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如：求的最小值问题．解：∵，又∵，∴∴的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)代数式有最（填“大”或“小”）值为；(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)；(2)大，16；(3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：∵，又∵，∴，∴，∴的最大值为16，故答案为：大，16；（3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，∴，又∵，∴，∴，∴当时，S有最大值，最大值为50，∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为．26．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．解：∵无论x取何实数，总有．∴，即无论x取何实数，有最小值，是．(1)问题：已知，试求y的最值．(2)【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)【详解】（1）解：∵无论x取何实数，总有，∴，∴，即y有最大值，是11；（2）探究一：∵四边形PQMN是矩形，∴PNBC，∴∠APN＝∠ABC，∠ANP＝∠ACB，∴△APN∽△ABC，∴，设PN＝x，∴，∴，由已知可得四边形EDMN是矩形，∴，∴，∵无论x取何实数，总有，∴，∴，∴矩形PQMN的最大面积的值为18；（3）探究二：由探究一可知，△APN∽△ABC，∴，设PN＝x，∴，∴，∴，∴，∵无论x取何实数，总有，∴，∴，∴矩形PQMN的最大面积的值为．27．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2•x•3+﹣+5＝﹣4∵≥0∴当x＝﹣3时，+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；(3)若代数式2+kx+7的最小值为2，求k的值．【答案】(1)；(2)见解析；(