专题08三角形边角关系的四种考法全攻略(原卷版+解析)

专题08三角形边角关系的四种考法全攻略【知识点梳理】三角形内角和定理：（1）定理：三角形三个内角和等于180度（2）直角三角形的两个锐角互余三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边）类型一、利用三边关系求值或化简例1．设a，b，c是的三边，化简：__________．例2.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．【变式训练1】已知是的三边长．（1）若满足，，试判断的形状；（2）化简：【变式训练2】已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值；【变式训练3】已知，的三边长为4，10，x．(1)求x的取值范围.(2)当的周长为偶数时，求x．【变式训练4】已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．类型二、证明不等关系例.中D是边上一点，连接．(1)如图1，是中线，则___________（填>，<或=）；(2)如图2，是角平分线，求证．【变式训练1】如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．【变式训练2】如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．(1)试探究与的大小关系；(2)试探究与的大小关系；(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．【变式训练3】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．类型三、面积问题例.如图，在中，点将线段分成的两个部分，点将线段分成的两个部分，若的面积是，则的面积是（）A． B． C． D．【变式训练1】如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．10【变式训练2】如图，是的一条中线，为边上一点且相交于，四边形的面积为，则（1）________（2）____________．【变式训练3】如图，D、E分别是边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设的面积为的面积为，若，则的值为____________.【变式训练4】阅读与理解：三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．理由：，，即：等底同高的三角形面积相等．操作与探索在如图2至图4中，的面积为．(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？类型四、折叠问题例．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练1】如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【变式训练2】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【变式训练3】图1是一张三角形纸片．将对折使得点与点重合，如图2，折痕与的交点记为．（1）请在图2中画出的边上的中线．（2）若，，求与的周长差．【变式训练4】问题1现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．专题08三角形边角关系的四种考法全攻略【知识点梳理】三角形内角和定理：（1）定理：三角形三个内角和等于180度（2）直角三角形的两个锐角互余三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边）类型一、利用三边关系求值或化简例1．设a，b，c是的三边，化简：__________．【答案】【详解】解：∵a，b，c分别为的三边，∴，，，∴．故答案为：．例2.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．【答案】10．【解析】因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．【变式训练1】已知是的三边长．（1）若满足，，试判断的形状；（2）化简：【答案】（1）是等边三角形；（2）【详解】（1）∵，∴且，∴，∴是等边三角形．（2）∵是的三边长∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式===【变式训练2】已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值；【答案】【详解】解：∵∴∴，∵，∴，∴，∵的三边长为，∴，即，∵的最大边，∴，∴，∴的最大边的值为．【变式训练3】已知，的三边长为4，10，x．(1)求x的取值范围.(2)当的周长为偶数时，求x．【答案】(1)；(2)8或10或12．【详解】（1）解：∵的三边长为4，10，x．∴，∴．（2）解：∵的周长为偶数，是偶数，∴x是偶数，∵，∴x的值可以是8或10或12．【变式训练4】已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．【答案】【详解】解：因为△ABC的三边长分别为1，4，a．所以4-1<a<4+1．解得3<a<5．∴，，，∴．类型二、证明不等关系例.中D是边上一点，连接．(1)如图1，是中线，则___________（填>，<或=）；(2)如图2，是角平分线，求证．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）解：如图，延长至E，使，连接，在与中，，∴，∴，∴，即；故答案为：；（2）证：在上截取，连接，∵是角平分线，∴，在和中，，∴，∴，∴．【变式训练1】如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．【解答】证明：如图，延长BO交AC于点D，∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．【变式训练2】如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．(1)试探究与的大小关系；(2)试探究与的大小关系；(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【详解】（1）解：，理由为：，∴即：（2），理由为：在中，，在中，，两式相加得：+即：（3），理由为：如图，延长交的延长线于G，交于点F，在中，，①在中，，②中，，③得：【变式训练3】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．类型三、面积问题例.如图，在中，点将线段分成的两个部分，点将线段分成的两个部分，若的面积是，则的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设S△ABC=m,∵AD:BD=2:1∴S△ADC=,S△DBC=,∵BE:CE=1:3∴S△AEC=,S△ABE=,∴S△ADE=S△ABE=×=,∴S△AEC：S△ADE=9：2,∴,∴S△ACF：S△ADF=9：2,而S△ADF=4∴S△ACF=×4=18，故选：B．【变式训练1】如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点，∴，∴同理，∴，∵，∴．故选：C．【变式训练2】如图，是的一条中线，为边上一点且相交于，四边形的面积为，则（1）________（2）____________．【答案】

【详解】解：连接，如图所示：设，则，为边上中线，，，，，，即；，，即，解得：，，故答案为：；．【变式训练3】如图，D、E分别是边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设的面积为的面积为，若，则的值为____________.【答案】1；【解析】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝6，∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，∵S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝3-2=1，故答案为1【变式训练4】阅读与理解：三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．理由：，，即：等底同高的三角形面积相等．操作与探索在如图2至图4中，的面积为．(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，为的中线，即；故答案为：；（2）解：如图3，连接，延长的边到点，延长边到点，使，，，，，即；故答案为：；（3）解：由（2）得，同理：，，；故答案为：；（4）解：如图5所示，连接，则，，；故阴影部分的面积为．类型四、折叠问题例．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，由折叠的性质可得：，∴，∵，∴，即．故选B．【变式训练1】如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【答案】B【详解】根据折叠的性质有：，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【变式训练2】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【详解】由折叠的性质可知∵∴∴故选C【变式训练3】图1是一张三角形纸片．将对折使得点与点重合，如图2，折痕与的交点记为．（1）请在图2中画出的边上的中线．（2）若，，求与的周长差．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）如图，线段即为所求．（2），的周长的周长．【变式训练4】问题1现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：由折叠得：∠A＝∠DA′A，∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；故答案为：∠1＝2∠A；（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+