九年级上学期【第二次月考卷】(人教版)(原卷版+解析)

九年级上学期【第二次月考卷】（人教版）（满分120分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．测试范围：九上+九下反比例函数一．选择题（共10小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）2．抛物线y＝﹣（3﹣x）2+5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝20214．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m≤且m≠1 C．m＜ D．m＜，且m≠15．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定7．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．8．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝11 C．（x+2）2＝9 D．（x+4）2＝219．如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b＝0；⑤Δ＝b2﹣4ac＜0中成立式子（）A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②④ D．①③④二．填空题（共8小题）11．半径为2的圆中，180°的圆心角所对的弧的弧长是．12．一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是．13．在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，若c是此方程的一个实数根，则b﹣c的值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点A′与点B之间的距离是．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②3a+b＞0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．16．已知点（m，m+1）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为．17．已知整数m满足0≤m＜13，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值．18．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是．三．解答题（共7小题）19．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣（m+1）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，求该方程的解；20．如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（n，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出不等式x+2的解集；（3）设一次函数y＝x+2与y轴相交于点M，C为一次函数上一点，作CD∥OM与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OC，若点D的纵坐标为，求三角形CMO的面积．21．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠PAB＝，BC＝2，求PO的长．22．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（0≤x≤a）时，满足y＝2x，下降时，y与x成反比例关系．（1）求a的值，并求当a≤x≤8时，y与x的函数表达式；（2）血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间是多少小时？23．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标．24．如图，平行四边形OABC的顶点O在原点上，顶点A，C分别在反比例函数y＝﹣（k≠0，x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象上，对角线AC⊥y轴于D，已知点D的坐标为D（0，5）．（1）求点C的坐标；（2）若平行四边形OABC的面积是55，求k的值．25．如图1，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．（1）探究发现：①若k＝2，则△MEF的面积为，△NEF的面积为；②若k＝m，则△MEF的面积为，△NEF的面积为．（2）猜想验证：①如图1，试判断MN与EF的位置关系为；②如图2，题中的其他条件不变，只改变点M，N的位置，请判断MN与EF的位置关系，并说明理由．（3）推广应用：在同一坐标系中，反比例函数y＝与y＝的图象上如图3所示，B，C是反比例函数y＝的图象上的两点，过点B作x轴的平行线与y＝的图象相交于点D，过点C作y轴的平行线与y＝的图象相交于点E，BD与CE相交于点A（5，4），请求出的值．九年级上学期【第二次月考卷】（人教版）（满分120分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．测试范围：九上+九下反比例函数一．选择题（共10小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点M（1，2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的变化规律．2．抛物线y＝﹣（3﹣x）2+5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（3﹣x）2+5＝﹣（x﹣3）2+5∴故其顶点坐标为：（3，5）．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝2021【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可得答案．【解答】解：A．y＝是反比例函数，故该选项符合题意；B．y＝中，y是x2021的反比例函数，故该选项不符合题意；C．y＝中，y是x+3的反比例函数，故该选项不符合题意；D．y＝2021不是反比例函数，，故该选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m≤且m≠1 C．m＜ D．m＜，且m≠1【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，∴Δ＝12﹣4（m﹣1）•1≥0且m﹣1≠0，解得：m≤且m≠1，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．5．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，故选：D．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2+1图象上的两点，∴y1＝2，y2＝5．∴y1＜y2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．7．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：①当k＞0，则﹣k＜0，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上；②k＜0时，则﹣k＞0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；故选项B符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．8．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝11 C．（x+2）2＝9 D．（x+4）2＝21【分析】移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，移项，得x2+4x＝5，配方，得x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．【解答】解：如图，点P′（﹣3，4）．故选：A．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b＝0；⑤Δ＝b2﹣4ac＜0中成立式子（）A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②④ D．①③④【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可；【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称性x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故⑤错误，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共8小题）11．半径为2的圆中，180°的圆心角所对的弧的弧长是2π．【分析】将n＝180，r＝2代入弧长公式l＝进行计算即可．【解答】解：，故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．12．一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是．【分析】根据矩形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案．【解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，∴一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：．故答案为：．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，若c是此方程的一个实数根，则b﹣c的值是1．【分析】把x＝c代入x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，得c2﹣bc+c＝0，进而求出b﹣c的值．【解答】解：在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，c是此方程的一个实数根，∴c2﹣bc+c＝0，∴c（c﹣b+1）＝0，∵c≠0，∴c﹣b+1＝0，∴b﹣c＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了整体思想．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点A′与点B之间的距离是1．【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝AA′＝1，∴A′B＝AB﹣AA′＝2﹣1＝1，即点A'与点B之间的距离为1，故答案为：1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②3a+b＞0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有①③④．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，结合图象当x＝﹣1时，y＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④根据二次函数的性质对进行判断．【解答】解：∵函数图象与x轴有2个交点，则b﹣4ac＞0，故①正确；由图象可知：当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝3a+c＝0，∵3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故②错误；函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0），则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故③正确；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．结论正确有：①③④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数α决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数α共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b24ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．16．已知点（m，m+1）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为2．【分析】直接把点（m，m+1）代入反比例函数y＝即可．【解答】解：∵点（m，m+1）在反比例函数y＝的图象上，∴m（m+1）＝m2+2，解得m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．已知整数m满足0≤m＜13，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值2或6或12．【分析】由题意得m≠0，若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，则Δ≥0，并且Δ为完全平方数．而Δ＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，整数m满足0＜m＜13，通过分析可得4m+1能为9、25、49，这样求的m的值即可．【解答】解：根据题意得，m≠0，若方程有有理根，则Δ为完全平方数．∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，又∵整数m满足0＜m＜13，∴m＝2时，4m+1＝9，m＝6时，4m+1＝25，m＝12时．4m+1＝49，故m的值为2或6或12．故答案为：2或6或12．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根为有理根的条件判别式为完全平方数．18．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是2．【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．【解答】解：如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝4，∴AJ＝＝＝2，∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝6，∴OE＝OD＝3，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C＝，∴＝，∴EK＝，∴DE＝2，∴DE的最小值为2．故答案为2．【点评】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）19．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣（m+1）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，求该方程的解；【分析】（1）根据根的判别式列出关于m的不等式，求解可得；（2）取m＝﹣1，代入原方程，然后解方程即可．【解答】（1）证明：根据题意，Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣（m+1）]＝m2+2m+5＝（m+1）2+4，∵（m+1）2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵，∴n﹣2＝0，∴m＝﹣1，由原方程得：x2+2x＝0．整理，得x（x+2）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．【点评】本题主要考查根的判别式与根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．20．如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（n，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出不等式x+2的解集；（3）设一次函数y＝x+2与y轴相交于点M，C为一次函数上一点，作CD∥OM与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OC，若点D的纵坐标为，求三角形CMO的面积．【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）求得D点的横坐标，即可求得C点的横坐标，由一次函数求得M的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+2过点A（n，3），∴3＝n+2，解得n＝2，∴A（2，3），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数为y＝（x＞0）；（2）不等式x+2的解集是x≥2；（3）∵CD∥OM与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，点D的纵坐标为，∴点D的横坐标为2，∴点C的横坐标为2，在y＝x+2中．令x＝0，则y＝2，∴M（0，2），∴OM＝2，∴三角形CMO的面积为：＝＝2．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，掌握待定系数法求函数解析式、灵活运用数形结合思想是解题的关键．21．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠PAB＝，BC＝2，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：（1）连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，∵，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）∵∠PAB+∠BAC＝∠BAC+∠C＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠PAB＝cos∠C＝＝，∵BC＝2，∴AC＝2，∴AO＝，∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠POA＝∠C，∴△PAO∽△ABC，∴＝，即＝，解得PO＝5．【点评】本题考查的是切线的判定与性质，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（0≤x≤a）时，满足y＝2x，下降时，y与x成反比例关系．（1）求a的值，并求当a≤x≤8时，y与x的函数表达式；（2）血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间是多少小时？【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）把y＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案．【解答】解：（1）将y＝6代入y＝2x中，得2x＝6，解得x＝3，∴a＝3．又由题意可知；当3≤x≤8时，y与x成反比，设．由图象可知，当x＝3时，y＝6，∴m＝3×6＝18，∴当3≤x≤8时，y与x的函数表达式为．（2）把y＝3代入y＝2x中，得2x＝3，解得x＝1.5，把y＝3代入中，得，解得x＝6，∵6﹣1.5＝4.5，∴血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间是4.5小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键．23．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标．【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM＝90°或∠MQB＝90°，即可求得Q点的坐标．（3）（3）两个和谐点；AO＝1，OC＝2，设A1（x，y），则C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），①当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，∴，∴，∴y＝﹣+x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∴k＝．∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（﹣1，0）；当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y＝﹣2x+8，∴﹣2x+8＝﹣+x+2，可求x＝3或x＝4（舍）∴x＝3；∴Q（3，2）或Q（﹣1，0）；（3）两个和谐点；AO＝1，OC＝2，设A1（x，y），则C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），①当A1、C1在抛物线上时，∴，∴，∴A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，，∴，∴A1的横坐标是；【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．24．如图，平行四边形OABC的顶点O在原点上，顶点A，C分别在反比例函数y＝﹣（k≠0，x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象上，对角线AC⊥y轴于D，已知点D的坐标为D（0，5）．（1）求点C的坐标；（2）若平行四边形OABC的面积是55，求k的值．【分析】（1）由AC⊥y轴交反比例函数的图象与点A、C，与y轴交于D（0，5），因此点C、A的纵坐标都是5，代入可求出C的坐标，（2）根据平行四边形被对角线分成的两个三角形全等，可得三角形AOC的面积，进而求出AC的长，确定点A的坐标，最后求出k的值．【解答】解：（1）当y＝5时，代入y＝﹣得，x＝﹣2，∴C（﹣2，5），（2）∵四边形OABC是平行四边形，∴OC＝AB，OA＝BC，∵AC＝AC，∴△OAC≌△ABC（SSS），∴S△OAC＝SOABC＝，即：AC•DO＝，∵DO＝5，∴AC＝11，又∵CD＝2，∴AD＝11﹣2＝9，∴A（9，5）代入y＝﹣（k≠0，x＞0）得：k＝﹣45答：k的值为﹣45．【点评】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，以及三角形全等知识，把点的坐标代入关系式是常用的方法．25．如图1，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．（1）探究发现：①若k＝