第17章《一元二次方程》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

易错点拨：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点02：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．易错点拨：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．知识点03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.易错点拨：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点04：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.

易错点拨：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•宝山区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣＝0 B．7x2+﹣1＝0 C．x2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x（x+1）2．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如果x＝2是方程x2+ax＝﹣1的根，那么a的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．3．（2分）（2021秋•嘉定区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2＝5x﹣1 B．x+＝2 C．（x﹣3）（x+1）＝x2﹣5 D．3x﹣y＝54．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0 C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝05．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A． B．（x﹣2）2＝5 C．x2+2x＝0 D．6．（2分）（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠07．（2分）（2022秋•普陀区期中）一元二次方程x2﹣6x＝﹣9的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定8．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝18009．（2分）（2021秋•普陀区期末）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，那么m的值等于（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．010．（2分）（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100二．填空题（共10小题，满分28分）11．（6分）（2021秋•徐汇区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是．12．（6分）（2022秋•青浦区校级期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程：．13．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程．14．（2分）（2021秋•浦东新区期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是．16．（2分）（2022秋•杨浦区期末）方程x（x+3）＝4（x+3）的解是．17．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是．18．（2分）（2022秋•杨浦区期中）某商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售价是200元，降价两次后的售价是128元，设每次下降的百分率为x，可列出方程．19．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．20．（2分）（2022秋•浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．三．解答题（共8小题，满分52分）21．（4分）（2022秋•杨浦区期末）用配方法解方程：2x2+4x+1＝0．22．（4分）（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．23．（6分）（2022秋•青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．24．（6分）（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．25．（6分）（2021秋•崇明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2+4＝0．（1）如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；（2）如果方程有两个实数根，求k的取值范围．（8分）（2022秋•闵行区校级期中）2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？27．（10分）（2022秋•奉贤区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有：（只填写序号即可）①（x﹣1）2＝9②x2+4x+4＝0③x2+2x﹣8＝0（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a﹣b+c＝0和9a+3b+c＝0，且与（x﹣n）（x+3）＝0互为“同伴方程”，求n的值．28．（8分）（2022秋•黄浦区期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为x米，则长为米．（用含x代数式表示）

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

易错点拨：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点02：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．易错点拨：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．知识点03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.易错点拨：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点04：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.

易错点拨：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•宝山区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣＝0 B．7x2+﹣1＝0 C．x2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x（x+1）解：A、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；D、由已知方程变形，得2x+2＝0，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如果x＝2是方程x2+ax＝﹣1的根，那么a的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．解：把x＝2代入方程x2+ax＝﹣1得2+2a＝﹣1，解得a＝﹣．故选：B．3．（2分）（2021秋•嘉定区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2＝5x﹣1 B．x+＝2 C．（x﹣3）（x+1）＝x2﹣5 D．3x﹣y＝5解：A．方程2x2＝5x﹣1是一元二次方程，选项A符合题意；B．方程x+＝2是分式方程，选项B不符合题意；C．原方程整理得2x﹣2＝0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；D.3x﹣y＝5是二元一次方程，选项D不符合题意．故选：A．4．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0 C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝0解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．5．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A． B．（x﹣2）2＝5 C．x2+2x＝0 D．解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．6．（2分）（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．7．（2分）（2022秋•普陀区期中）一元二次方程x2﹣6x＝﹣9的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定解：方程化为一般式为x2﹣6x+9＝0，∵Δ＝（﹣6）2﹣4×9＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．8．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝1800解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为400×（1+x），∴三月份的营业额为400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，∴可列方程为400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1800，即400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800，故选：B．9．（2分）（2021秋•普陀区期末）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，那么m的值等于（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1，故选：C．10．（2分）（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．二．填空题（共10小题，满分28分）11．（6分）（2021秋•徐汇区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是﹣1．解：根据题意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0解得：m＝﹣1故答案为：﹣1．12．（6分）（2022秋•青浦区校级期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程：875（1﹣x）2＝560．解：根据题意得875（1﹣x）2＝560．故答案为：875（1﹣x）2＝560．13．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．解：根据题意得1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．故答案为：1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．14．（2分）（2021秋•浦东新区期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：20（1+x）2＝24.2．解：依题意得：20（1+x）2＝24.2．故答案为：20（1+x）2＝24.2．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2．．解：∵（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0，x﹣2＝0，x1＝﹣1，x2＝2．故答案为x1＝﹣1，x2＝2．16．（2分）（2022秋•杨浦区期末）方程x（x+3）＝4（x+3）的解是﹣3或4．解：x（x+3）＝4（x+3），移项得：x（x+3）﹣4（x+3）＝0，分解因式得：（x+3）（x﹣4）＝0，∴x+3＝0，x﹣4＝0，解方程得：x1＝﹣3，x2＝4．故答案为：﹣3或4．17．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k≠0．解：根据题意得k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，解得k≤且k≠0．故答案为：k≤且k≠0．18．（2分）（2022秋•杨浦区期中）某商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售价是200元，降价两次后的售价是128元，设每次下降的百分率为x，可列出方程200（1﹣x）2＝128．解：由题意得：200（1﹣x）2＝128．故答案为：200（1﹣x）2＝128．19．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝8．解：设t＝x2+y2（t≥0），则：t（t﹣7）＝8，整理，得（t﹣8）（t+1）＝0．所以t＝8或t＝﹣1（舍去）．所以x2+y2＝8．故答案为：8．20．（2分）（2022秋•浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k＜1且k≠﹣1．解：∵方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，且k2﹣1≠0，解得：k＜1；故答案为：k＜1且k≠﹣1．三．解答题（共8小题，满分52分）21．（4分）（2022秋•杨浦区期末）用配方法解方程：2x2+4x+1＝0．解：原方程化为，配方得，即，开方得，，∴．22．（4分）（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．23．（6分）（2022秋•青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，x（36﹣3x）＝96，解得：x1＝4，x2＝8，当x＝4时，36﹣3x＝24＞22（不合题意，舍去），当x＝8时，36﹣3x＝12．答：AB的长为8米，BC的长为12米．24．（6分）（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．（1）证明：∵方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，∵3a﹣2c＝b．∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）解：∵a、b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0二根，且a＝b，∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得：k＝1或k＝﹣3，当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1（符合题意）．故k＝1．25．（6分）（2021秋•崇明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2+4＝0．（1）如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；（2）如果方程有两个实数根，求k的取值范围．解：（1）方程化为：（k﹣1）x2﹣4x+4＝0，根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）×4＝4，解得k＝；（2）根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）×4≥0，解得k≤2且k≠1，即k的取值范围为k≤2且k≠1．26．（8分）（2022秋•闵行区校级期中）2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？解：设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组有x支队伍，根据题意得：8××x（x﹣1）＝48，整理得：x2﹣8x﹣768＝0，解得：x1