第18章《正比例函数与反比例函数》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.知识点02：正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.

3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx的图像.为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐减小.知识点03：反比例函数

1、定义

定义域为不等于零的一切实数的函数，（k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

3、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．4、反比例函数的性质：（1）当＞0时，函数图像的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，随的增大而减小；（2）当＜0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，随的增大而增大。（3）两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。知识点04：函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.1、解析法把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如、、……，2、列表法这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．3、图象法这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）已知长方形的两条边长为x、y，面积是4，那么y关于x的函数的图象是（）A． B． C． D．2．（2分）（2021秋•金山区期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（）A．它的图象是双曲线 B．它的图象在第一、三象限 C．y的值随x的值增大而减小 D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上3．（2分）（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．4．（2分）（2022秋•长宁区校级期中）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点（﹣，y1），（，y2），则y1﹣y2的值是（）A．负数 B．非正数 C．正数 D．非负数5．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系6．（2分）（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣27．（2分）（2022秋•青浦区期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（）A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边8．（2分）（2022秋•杨浦区期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0）图象的两支分别在（）A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限9．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）函数y＝3x与函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．10．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象没有交点，若点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为．12．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如图：某人从甲地行走到乙地的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是小时．13．（2分）（2021秋•金山区期末）已知f（x）＝，那么f（5）＝．14．（2分）（2022秋•杨浦区期末）已知：点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝图象上（k＞0），用“＜”表示y1、y2、y3的大小关系是．15．（2分）（2022秋•宝山区期末）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在函数y＝﹣的图象上，则a、b、c的大小关系是．（用“＜”号连接）16．（2分）（2022秋•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点A，过A作AB⊥x轴于点B，联结OA，已知△OAB的面积为4．则反比例函数的解析式为．17．（2分）（2022秋•宝山区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与双曲线y＝交于点A（﹣1，2）和点B，则点B的坐标为．18．（2分）（2022秋•奉贤区期中）如果函数f（x）＝，那么f（﹣1）＝．19．（2分）（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是．20．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数（k＜0）的图象上，那么a、b的大小关系是．（用“＜”号连接）三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•宝山区期末）已知：函数f（x）＝﹣3x．（1）求这个函数的定义域；（2）计算．22．（6分）（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了吨油；运输飞机的油箱有余油量吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行小时．23．（8分）（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，联结AC，若△ABC是等腰三角形，求k的值．24．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，3）．（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围．25．（8分）（2022秋•徐汇区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．26．（8分）（2022秋•宝山区期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加热．此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在20℃时接通电源．一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．（1）水温从20℃加热到100℃，需要min；（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？27．（8分）（2022秋•黄浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．（1）求直线y＝kx的函数解析式；（2）求点C到直线OA的距离；（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．28．（8分）（2022秋•青浦区校级期中）如图，A为反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．（1）联结AO，当S△APO＝2时，求反比例函数的解析式；（2）联结AO，若A（﹣1，2），y轴上是否存在点M，使得S△APM＝S△APO，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由，（3）点B在直线AP上，且PB＝3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.知识点02：正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.

3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx的图像.为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐减小.知识点03：反比例函数

1、定义

定义域为不等于零的一切实数的函数，（k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

3、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．4、反比例函数的性质：（1）当＞0时，函数图像的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，随的增大而减小；（2）当＜0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，随的增大而增大。（3）两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。知识点04：函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.1、解析法把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如、、……，2、列表法这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．3、图象法这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）已知长方形的两条边长为x、y，面积是4，那么y关于x的函数的图象是（）A． B． C． D．解：依题意xy＝4，即，且x＞0，∴y关于x的函数的图象反比例函数图象，且图象在第一象限，故选：C．2．（2分）（2021秋•金山区期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（）A．它的图象是双曲线 B．它的图象在第一、三象限 C．y的值随x的值增大而减小 D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上解：A．反比例函数，它的图象是双曲线，故此选项不合题意；B．反比例函数，图象在第一、三象限，故此选项不合题意；C．反比例函数，每个象限内，y的值随x的值增大而减小，故此选项符合题意；D．反比例函数，若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上，故此选项不合题意．故选：C．3．（2分）（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故A不符合题意；B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C符合题意；D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D不符合题意；故选：C．4．（2分）（2022秋•长宁区校级期中）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点（﹣，y1），（，y2），则y1﹣y2的值是（）A．负数 B．非正数 C．正数 D．非负数解：∵k＜0，∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二四象限．∵﹣＜0，＞0，∴点（﹣，y1）在第二象限，点（，y2）在第四象限，∴y1＞0，y2＜0，∴y1﹣y2＞0．故选：C．5．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系解：一个人的体重与他的年龄不成正比例关系，故选项A不符合题意；圆的周长与直径成正比例关系，故选项B符合题意；周长一定时，长方形的长与宽不成反比例关系，故选项C不符合题意；车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成正比例关系，故选项D不符合题意；故选：B．6．（2分）（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，∴k＜2，故选：A．7．（2分）（2022秋•青浦区期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（）A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边解：A、圆的面积＝π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意；B、正方形的周长＝边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意；C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s＝vt，是反比例函数，故本选项符合题意；D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s＝2×（a+b），不是反比例关系，故本选项不符合题意．故选：C．8．（2分）（2022秋•杨浦区期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0）图象的两支分别在（）A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限解：在反比例函数y＝中，∵k＜0，∴2﹣k＞0，∴y＝图象的两支分别在第一、三象限．故选：A．9．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）函数y＝3x与函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．解：∵y＝2x，2＞0，∴图象经过一、三象限，∵函数y＝﹣中系数小于0，∴图象在二、四象限．故选：B．10．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象没有交点，若点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1解：∵正比例函数y＝2x过一、三象限，且与反比例函数的图象没有交点，∴反比例函数的图象过二、四象限，且在这两个象限y随x的增大而增大，∵（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在这个反比例函数的图象上，∴点（﹣1，y1）在第二象限，点（1，y2），（2，y3）在第四象限，∵1＜2，∴0＞y3＞y2，∵点（﹣1，y1）在第二象限，∴y1＞0，∴y1＞y3＞y2．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为y＝﹣3x．解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）．因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0，解得：t＝﹣3．故正比例函数为y＝﹣3x，故答案为：y＝﹣3x．12．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如图：某人从甲地行走到乙地的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是1.25小时．解：由图可知，速度＝12÷3＝4千米/时，所以，行走5千米所用的时间＝5÷4＝1.25小时．故答案为：1.25．13．（2分）（2021秋•金山区期末）已知f（x）＝，那么f（5）＝2．解：∵f（x）＝，∴f（5）＝＝＝2，故答案为：2．14．（2分）（2022秋•杨浦区期末）已知：点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝图象上（k＞0），用“＜”表示y1、y2、y3的大小关系是y1＜y3＜y2．解：∵反比例函数中k＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵﹣1＜0，∴点A（﹣2，y1）位于第三象限，∴y1＜0，∵0＜2＜3，∴点B（2，y2），C（3，y3）位于第一象限，∴y2＞y3＞0．∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．15．（2分）（2022秋•宝山区期末）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在函数y＝﹣的图象上，则a、b、c的大小关系是c＜a＜b．（用“＜”号连接）解：将点A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）分别代入反比例函数y＝﹣得，a＝﹣＝3；b＝﹣＝6；c＝﹣＝﹣2．∴b＞a＞c．故答案为：c＜a＜b．16．（2分）（2022秋•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点A，过A作AB⊥x轴于点B，联结OA，已知△OAB的面积为4．则反比例函数的解析式为．解：根据题意可知：，∵反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，∴k＝﹣8，∴反比例函数解析式为．故答案为：．17．（2分）（2022秋•宝山区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与双曲线y＝交于点A（﹣1，2）和点B，则点B的坐标为（1，﹣2）．解：∵直线y＝ax与双曲线y＝交于点A（﹣1，2）和点B，∵点A、B关于原点对称，∴B（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．18．（2分）（2022秋•奉贤区期中）如果函数f（x）＝，那么f（﹣1）＝﹣．解：将x＝﹣1代入入f（x）＝，得：f（﹣1）＝．故答案为：．19．（2分）（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．解：∵正比例函数与反比例函数的一个交点为，∴正比例函数为y＝﹣x，反比例函数为y＝﹣．∴当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即﹣x＞﹣，解得x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．20．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数（k＜0）的图象上，那么a、b的大小关系是a＜b．（用“＜”号连接）解：∵反比例函数（k＜0）中k＜0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣3＜0，﹣2＜0，∴点（﹣3，a），（﹣2，b）位于第二象限，∴a＞0，b＞0，∵﹣3＜﹣2＜0，∴a＜b．故答案为：a＜b．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•宝山区期末）已知：函数f（x）＝﹣3x．（1）求这个函数的定义域；（2）计算．解：（1）根据题意得，x﹣1≠0，解得x≠1，∴定义域为x≠1；（2）f（2）＝﹣3×2＝3﹣6＝﹣3，f（）＝﹣3＝3（+1）﹣3＝3+3﹣3＝3．22．（6分）（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油；运输飞机的油箱有余油量40吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需10分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟0.1吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行11.5小时．解：（1）由题意及图象得加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5．23．（8分）（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，联结AC，若△ABC是等腰三角形，求k的值．解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，则kx＝，∴点B坐标为（，3），同理可求出点A的坐标为（，），∵BD⊥x轴，∴点C（，），∴BA＝，AC＝，BC＝，∴BA2≠AC2，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则＝，解得k＝；②AC＝BC，则＝，解得k＝；故k的值为或．24．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，3）．（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围．解：（1）把A（a，3）的坐标代入y＝x，即3＝a，解得a＝2，∴A（2，3），又∵点A（2，3）是反比例函数y＝的图象上，∴k＝3×2﹣6，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，当m＝﹣3时，n＝＝﹣2，当m＝3时，n＝＝2，由图象可知，若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．25．（8分）（2022秋•徐汇区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵AB＝3，∴点A的纵坐标为3，∵正比例函数y＝x的图象经过点A，当y＝3时，x＝，∴A（），设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），将点A（，3）代入得k＝3，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为（，y），在Rt△ABO中，OB＝，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，∵OB＝，∴∠OAB＝30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB＝CG，当点C在AB上时，则OC平分∠AOB，∴∠BOC＝30°，∴BC＝＝1，∴C（，1），当点C在AB延长线上时，同理可得C'（，﹣3），综上所述：C（，1）或（，﹣3）；（3）当AO＝AP＝2时，则P（，3﹣2）或（，3+2），当OA＝OP时，由OB⊥AP得，AB＝BP，∴P（，﹣3），当PA＝PO时，∴∠OAP＝∠POA＝30°，则OP平分∠AOB，∴P（，1），综上所述：P（，3﹣2）或（，3+2）或（，﹣3）或（，1）．26．（8分）（2022秋•宝山区期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加热．此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在20℃时接通电源．一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．（1）水温从20℃加热到100℃，需要4min；（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？解：（1）∵开机加热时水温每分钟上升20℃，∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为＝4（min），故答案为：4；（2）由题可得，（4，100）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为y＝，代入点（4，100）可得，k＝400，∴y＝，当y＝20时，x＝＝20，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝（4≤x≤20）；（3）由计算可知，水温从20℃开始加热到100℃再